清单09 三角函数（考点清单，知识导图+8个考点清单+23题型解读+变式训练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单09 三角函数（8个考点梳理+23题型解读+变式训练） 【清单01】弧度制 （1）弧度的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么． 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）弧度与角度的换算 （3）关于扇形的几个公式 设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有 ①； ②； ③． 【清单02】三角函数的概念 （1）三角函数的定义 一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 ，； 余弦函数 ，； 正切函数 ，（）． 设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为． 可以证明：；；． （2）几个特殊角的三角函数值 ，，，的三角函数值如下表所示： 函 数 不存在 不存在 （3）三角函数值的符号 （4）诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数值相等． ， ， ， 其中． 【清单03】同角三角函数间的基本关系 （1）平方关系 ． （2）商数关系 ． 作用： （1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角函数恒等式． 【清单04】诱导公式 （1） 公式二 ， ， ． （2）公式三 ， ， ． （3）公式四 ， ， ． 小结： （1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． （2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： （4） 公式五 ， ． （5）公式六 ， ． 小结： ，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． 【清单05】正弦函数、余弦函数的图象 （1）正弦函数的图象． ①画点 在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点． ②画（）的图象 把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象． ③（）的图象 由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）． 正弦函数的图象叫做正弦曲线． ④五点作图法 在函数，的图象上，有以下五个关键点： ，，，，． 画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”． （2）余弦函数的图象 因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象． 余弦函数，的图象叫做余弦曲线． 余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，． 【清单06】正弦函数、余弦函数的性质 （1）周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ， 那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． 余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． （2）奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． （3）单调性 正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． 余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． （4）最大值与最小值 正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 【清单07】正切函数的图象与性质 正切函数的图象叫做正切曲线． 正切函数的性质 （1）定义域 正切函数的定义域为 （2）周期性 正切函数是周期函数，最小正周期是． （3）奇偶性 正切函数是奇函数． （4）单调性 正切函数在每一个开区间（）上都单调递增． （5）值域 正切函数的值域是实数集． 【清单08】由得图象通过变换得到的图象 （1）振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． （2）周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． （3）相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． （4）函数的图象经变换得到的图象的两种途径 考点1：任意角 【典例1-1】（2024·高一·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·湖南长沙·期末）下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 【变式1-1】（2024·高一·甘肃兰州·期末）下列命题正确的是（    ） A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于的角是锐角 D．集合内的角不一定是钝角 【变式1-2】（2024·高一·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 考点2：终边相同的角 【典例2-1】（2024·高一·重庆渝北·期中）与30°角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·江苏淮安·期中）下列各角中，与角终边相同的的角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高一·山东日照·期中）在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·河南南阳·期中）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 考点3：终边在某条直线上的角的集合 【典例3-1】（2024·高一·山东威海·期末）下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高一·重庆长寿·期末）角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高一·河南驻马店·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 考点4：角度制与弧度制的转化 【典例4-1】（2024·高一·北京房山·期中）化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（9-10高一下·陕西渭南·阶段练习）将化为弧度为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 考点5：区域角的表示 【典例5-1】（2024·高一·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例5-2】（2024·山东烟台·高一校考期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 . 【变式5-1】（2024·高一课时练习）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为 ． 【变式5-2】（2024·高一课时练习）终边落在第四象限平分线到第一象限平分线的区域（包括边界）的角的集合为 ． 考点6：用弧度制表示区域角 【典例6-1】（2024·高一课时练习）下图中阴影部分表示的角的集合为 （包括边界）． 【典例6-2】（2024·高一课时练习）已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角的范围为 .    【变式6-1】（2024·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合： . 考点7：扇形中的计算问题 【典例7-1】（2024·高一·天津·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为 .    【典例7-2】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为 . 【变式7-1】（2024·高一·上海·期中）一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是 ． 【变式7-2】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    考点8：利用三角函数的定义求三角函数值 【典例8-1】（2024·高一·河北保定·期中）已知角的终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（    ） A． B．7 C． D． 【典例8-2】（2024·高一·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·高一·辽宁大连·期末）已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高一·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 考点9：三角函数在各象限内符号 【典例9-1】（2024·高一·吉林·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例9-2】（2024·高一·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【变式9-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）在中，B为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【变式9-2】（2024·高一·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点10：三角函数线的应用 【典例10-1】（2024·高一·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】（2024·高一·辽宁沈阳·期中）已知，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·高二·陕西西安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点11：根据同角三角函数关系求值 【典例11-1】（2024·高一·河北保定·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】（2024·高一·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024·高一·北京延庆·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 考点12：根据同角三角函数关系化简三角函数式 【典例12-1】（2024·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考阶段练习）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； 【典例12-2】（2024·全国·高一随堂练习）化简． (1); (2) 【变式12-1】（2024·全国·高一课堂例题）化简： (1)； (2)． 考点13：根据同角三角函数关系证明三角恒等式 【典例13-1】（2024·高一·江苏·课后作业）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【典例13-2】（2024·高一·全国·课后作业）证明：. 【变式13-1】（2024·高一·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【变式13-2】（2024·高一·湖南邵阳·期末）求证： 考点14：sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及应用 【典例14-1】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例14-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式14-1】（2024·高一·浙江·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2024·高一·湖北·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 考点15：诱导公式的应用 【典例15-1】（2024·高一·新疆喀什·期中）求下列各式的值： (1)； (2)． (3). 【典例15-2】（2024·高一·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【变式15-1】（2024·高一·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. 【变式15-2】（2024·高一·广西柳州·期中）已知 (1)若角的终边过点，求； (2)若，求的值． 考点16：三角函数的周期性及应用 【典例16-1】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例16-2】（2024·高一·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（2024·高一·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式16-2】（2024·高一·山东东营·期末）函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 考点17：三角函数奇偶性及应用 【典例17-1】（2024·高一·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 【典例17-2】（2024·高一·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【变式17-1】（2024·上海浦东新·二模）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 【变式17-2】（2024·高一·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 考点18：三角函数的单调性及应用 【典例18-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ． 【典例18-2】（2024·全国·高一课堂例题）函数的单调递增区间为 ． 【变式18-1】（2024·全国·高一假期作业）函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为 . 考点19：三角函数对称轴、对称中心 【典例19-1】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为 ． 【典例19-2】（2024·高一·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 【变式19-1】（2024·高一·湖北·期中）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 . 【变式19-2】（2024·高一·广东茂名·期末）已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为 ． 【变式19-3】（2024·高一·山东潍坊·期末）函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为 . 考点20：与三角函数有关的函数定义域问题 【典例20-1】（2024·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考阶段练习）函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 【典例20-2】（2024·高一课时练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式20-1】（2024·高一课时练习）已知函数的定义域是，值域为，则的值为（　　） A． B． C． D． 考点21：与三角函数有关的函数值域(或最值)问题 【典例21-1】（2024·高一·上海·期中）函数，的最大值为 . 【典例21-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【变式21-1】（2024·高一·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【变式21-2】（2024·高一·北京门头沟·期中）当时，函数的最小值为 ． 【变式21-3】（2024·高一·河北衡水·期中）函数的最大值为 . 考点22：用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)图象 【典例22-1】（2024·四川凉山·高一校联考期中）已知函数    (1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像； (2)结合第（1）图象写出函数在上单调递增区间； (3)当时，的取值范围为，求的取值范围. 【典例22-2】（2024·全国·高三专题练习）函数，用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图） 【变式22-1】（2024·河南南阳·高一统考期中）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： (1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式； (2)若在上有两根，求的取值范围. 考点23：三角函数图象的变换 【典例23-1】（2024·高一·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例23-2】（2024·高一·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【变式23-1】（2024·高一·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【变式23-2】（2024·高一·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式23-3】（2024·高一·陕西榆林·期末）已知函数，将函数的图像沿着轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单09 三角函数（8个考点梳理+23题型解读+变式训练） 【清单01】弧度制 （1）弧度的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么． 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）弧度与角度的换算 （3）关于扇形的几个公式 设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有 ①； ②； ③． 【清单02】三角函数的概念 （1）三角函数的定义 一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 ，； 余弦函数 ，； 正切函数 ，（）． 设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为． 可以证明：；；． （2）几个特殊角的三角函数值 ，，，的三角函数值如下表所示： 函 数 不存在 不存在 （3）三角函数值的符号 （4）诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数值相等． ， ， ， 其中． 【清单03】同角三角函数间的基本关系 （1）平方关系 ． （2）商数关系 ． 作用： （1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角函数恒等式． 【清单04】诱导公式 （1） 公式二 ， ， ． （2）公式三 ， ， ． （3）公式四 ， ， ． 小结： （1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． （2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： （4） 公式五 ， ． （5）公式六 ， ． 小结： ，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． 【清单05】正弦函数、余弦函数的图象 （1）正弦函数的图象． ①画点 在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点． ②画（）的图象 把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象． ③（）的图象 由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）． 正弦函数的图象叫做正弦曲线． ④五点作图法 在函数，的图象上，有以下五个关键点： ，，，，． 画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”． （2）余弦函数的图象 因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象． 余弦函数，的图象叫做余弦曲线． 余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，． 【清单06】正弦函数、余弦函数的性质 （1）周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ， 那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． 余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． （2）奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． （3）单调性 正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． 余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． （4）最大值与最小值 正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 【清单07】正切函数的图象与性质 正切函数的图象叫做正切曲线． 正切函数的性质 （1）定义域 正切函数的定义域为 （2）周期性 正切函数是周期函数，最小正周期是． （3）奇偶性 正切函数是奇函数． （4）单调性 正切函数在每一个开区间（）上都单调递增． （5）值域 正切函数的值域是实数集． 【清单08】由得图象通过变换得到的图象 （1）振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． （2）周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． （3）相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． （4）函数的图象经变换得到的图象的两种途径 考点1：任意角 【典例1-1】（2024·高一·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，角和的终边关于y轴对称， 则. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高一·湖南长沙·期末）下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 【答案】C 【解析】，但是由锐角的定义知不是锐角，故A错误； 是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B错误； 因为，所以与终边相同的最小正角是，故C正确； 且，所以是第三象限角，故D错误. 故选：C 【变式1-1】（2024·高一·甘肃兰州·期末）下列命题正确的是（    ） A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于的角是锐角 D．集合内的角不一定是钝角 【答案】D 【解析】A选项：终边与始边重合的角为，故A错； B选项：终边和始边都相同的两个角可能相差的整数倍，故B错误； C选项：小于的角可能是，还可能是负角，所以C错误； D选项：集合内的角包含直角，所以不一定是钝角，D正确； 故选：D 【变式1-2】（2024·高一·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】B 【解析】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误； 若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确； 当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误； 不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误. 故选：B 考点2：终边相同的角 【典例2-1】（2024·高一·重庆渝北·期中）与30°角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与30°角终边相同的角的集合是. 故选：C 【典例2-2】（2024·高一·江苏淮安·期中）下列各角中，与角终边相同的的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与终边相同的角可表示为：， 对A，，解得：，故A错； 对B，，解得：，故B对； 对C，，解得：，故C错； 对D，，解得：，故D错. 故选：B 【变式2-1】（2024·高一·山东日照·期中）在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，而其它项对应角都不满足. 故选：B. 【变式2-2】（2024·高一·河南南阳·期中）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 与角终边相同的角是． 故选：B. 考点3：终边在某条直线上的角的集合 【典例3-1】（2024·高一·山东威海·期末）下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在射线上任取点，显然点在第三象限，故该角也是第三象限角，排除A，B两项； 对于C，因，符合题意，故C正确； 对于D，因，故D错误. 故选：C. 【典例3-2】（2024·高一·重庆长寿·期末）角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】终边在射线上的角是第一象限角，其集合为， 当时，角终边落在射线上，B是； 显然角，角，角分别是第四象限角，第二象限角，第三象限角，ACD不是. 故选：B 【变式3-1】（2024·高一·河南驻马店·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知角的终边在直线上， 故或， 即或， 故角的取值集合为. 故选：C. 【变式3-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知角的终边在直线上， 故或， 即或， 故角的取值集合为， 故选：D 考点4：角度制与弧度制的转化 【典例4-1】（2024·高一·北京房山·期中）化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A 【典例4-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 【变式4-1】（9-10高一下·陕西渭南·阶段练习）将化为弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将化为弧度为. 故选：B 【变式4-2】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 考点5：区域角的表示 【典例5-1】（2024·高一·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 【典例5-2】（2024·山东烟台·高一校考期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 . 【答案】 【解析】因为终边落在y轴上的角为， 终边落在图中直线上的角为； ， 即终边在直线上的角为，， 所以终边落在阴影部分的角为， 故答案为： 【变式5-1】（2024·高一课时练习）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为 ． 【答案】 【解析】终边在直线OM上的角的集合为： ． 同理可得终边在直线ON上的角的集合为， 所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为． 故答案为： 【变式5-2】（2024·高一课时练习）终边落在第四象限平分线到第一象限平分线的区域（包括边界）的角的集合为 ． 【答案】 【解析】由图可知，角的范围可写成：， 故答案为：. 考点6：用弧度制表示区域角 【典例6-1】（2024·高一课时练习）下图中阴影部分表示的角的集合为 （包括边界）． 【答案】 【解析】位于第一象限内阴影部分的角的集合为， 位于第一象限内阴影部分的角的集合为， 故整个阴影部分表示的角的集合为： ， 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高一课时练习）已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角的范围为 .    【答案】 【解析】由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 . 故答案为： 【变式6-1】（2024·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合： . 【答案】 【解析】因为，， 结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为 . 故答案为:. 考点7：扇形中的计算问题 【典例7-1】（2024·高一·天津·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为 .    【答案】 【解析】因为扇形的院校为， 又因为，， 所以，该扇环形砖雕的面积为. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为 . 【答案】4 【解析】由，可得，所以. 从而可得. 故答案为：4. 【变式7-1】（2024·高一·上海·期中）一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是 ． 【答案】 【解析】由题扇形半径为，圆心角为， 所以扇形的面积是. 故答案为：. 【变式7-2】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    【答案】 【解析】如图所示，过作于，的延长线交于. 则，，所以，， 所以，， 所以矢为， 则弧田面积是. 故答案为：；. 考点8：利用三角函数的定义求三角函数值 【典例8-1】（2024·高一·河北保定·期中）已知角的终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【解析】角的终边经过点，则 将角的终边顺时针旋转后得到角，则. 故选：B. 【典例8-2】（2024·高一·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角终边经过点，所以， 故. 故选：C. 【变式8-1】（2024·高一·辽宁大连·期末）已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】线段中点的纵坐标为，则点在第二象限，而，则有点的横坐标为， 点在角的终边上，则点在角的终边上，，， 所以. 故选：A 【变式8-2】（2024·高一·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数，令， 故的图象过定点， 由于点在角的终边上，则， 故选：B 考点9：三角函数在各象限内符号 【典例9-1】（2024·高一·吉林·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以点在平面直角坐标系中位于第二象限， 故选：B. 【典例9-2】（2024·高一·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【解析】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号. 故选：D. 【变式9-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）在中，B为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【答案】D 【解析】在中，因为B为钝角，则为锐角， 则，则点在第四象限. 故选：D. 【变式9-2】（2024·高一·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为点在第二象限，所以，， 则的终边位于第二象限， 反之，若的终边位于第二象限，则，， 故点是第二象限的点， 综上，“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的充要条件. 故选：C. 考点10：三角函数线的应用 【典例10-1】（2024·高一·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 【典例10-2】（2024·高一·辽宁沈阳·期中）已知，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，，角的终边交单位圆于点，与直线交于点， 过点作轴于点，显然， 而，因此，， 则，，又， 所以. 故选：D 【变式10-1】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 【变式10-2】（2024·高二·陕西西安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即， 故， 所以，即， 又，故，， ， 因为，所以，故， 综上，. 故选：B 考点11：根据同角三角函数关系求值 【典例11-1】（2024·高一·河北保定·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，则， 故. 故选：A 【典例11-2】（2024·高一·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是第二象限角，所以. 又，，所以. 所以. 故选：A 【变式11-1】（2024·高一·北京延庆·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为所以 又因为，所以, 因为，所以，所以. 故选：C. 考点12：根据同角三角函数关系化简三角函数式 【典例12-1】（2024·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考阶段练习）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； 【解析】（1）∵，在第二象限， ∴，； （2）由， 所以. 【典例12-2】（2024·全国·高一随堂练习）化简． (1); (2) 【解析】（1）由同角的平方关系可得，. （2）原式 【变式12-1】（2024·全国·高一课堂例题）化简： (1)； (2)． 【解析】（1）原式 ． （2）因为，所以． 原式． 考点13：根据同角三角函数关系证明三角恒等式 【典例13-1】（2024·高一·江苏·课后作业）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【解析】（1），即证. （2） ，即证. 【典例13-2】（2024·高一·全国·课后作业）证明：. 【解析】左边右边. 所以. 【变式13-1】（2024·高一·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【解析】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 【变式13-2】（2024·高一·湖南邵阳·期末）求证： 【解析】证明：， 所以成立. 考点14：sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及应用 【典例14-1】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，解得， 对于A，，则，，A正确； 对于D，，D正确； 对于B，由，，得，B错误； 对于C，，C正确. 故选：B 【典例14-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由， ，即， ，为钝角， ，， ， ， 则， ，， 则. 故选：B. 【变式14-1】（2024·高一·浙江·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故， 即，得， 则，且， 所以， 所以，则， 故， 故选：B 【变式14-2】（2024·高一·湖北·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，解得， 由，得，则，于是， 解得，所以. 故选：C 考点15：诱导公式的应用 【典例15-1】（2024·高一·新疆喀什·期中）求下列各式的值： (1)； (2)． (3). 【解析】（1）. （2） . （3）∵，， ， ∴. 【典例15-2】（2024·高一·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）因为是第三象限角，且， 所以，所以 （2） 【变式15-1】（2024·高一·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）若选①，因为，所以， 则，解得：或， 因为角，所以； 若选②，因为，角， 所以， 所以； （2）由（1）可知，， 所以 【变式15-2】（2024·高一·广西柳州·期中）已知 (1)若角的终边过点，求； (2)若，求的值． 【解析】（1） 若角的终边过点，则， 所以 （2）若， 所以 考点16：三角函数的周期性及应用 【典例16-1】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由题意得为最小值，为最大值，所以的最小值为， 所以的最小值为. 故选：A. 【典例16-2】（2024·高一·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 【变式16-1】（2024·高一·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 【变式16-2】（2024·高一·山东东营·期末）函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【解析】由正切函数的图象可知， 函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期， 又最小正周期为， 所以函数的相邻两个零点之间的距离为. 故选：B. 考点17：三角函数奇偶性及应用 【典例17-1】（2024·高一·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一，） 【解析】函数为奇函数，则， 所以符合条件的一个的取值可以为. 故答案为： 【典例17-2】（2024·高一·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知：关于原点对称，可知， 且，所以. 故答案为：. 【变式17-1】（2024·上海浦东新·二模）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】因为函数是偶函数， 所以，解得， 又， 所以当时，的最小值是. 故答案为：. 【变式17-2】（2024·高一·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【答案】 【解析】，故， . 故答案为： 考点18：三角函数的单调性及应用 【典例18-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为函数在区间上是单调的，所以， 所以，解得， 由函数在区间上是单调的，可知，即， 又，所以或． 所以的取值范围是． 故答案为：. 【典例18-2】（2024·全国·高一课堂例题）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【解析】由题意，得，所以，， 解得，． 令，，则，． 所以的单调递增区间为，， 所以函数的单调递增区间为，． 故答案为：， 【变式18-1】（2024·全国·高一假期作业）函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为 . 【答案】，k∈Z 【解析】由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π. 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－<x<2k＋，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 故答案为：，k∈Z. 考点19：三角函数对称轴、对称中心 【典例19-1】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意，求函数，的对称轴，令，解得 函数，令，解得， 因为函数，与函数的对称轴完全相同,则周期也相同，故，，所以. 故答案为：. 【典例19-2】（2024·高一·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 【答案】/ 【解析】由题意可得，即， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式19-1】（2024·高一·湖北·期中）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 . 【答案】2025 【解析】设， 当时，， 当时，显然， 所以关于中心对称， 设，则的周期为， 且， 所以关于中心对称， 在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象与函数的图象，如图所示： 观察图象可知两函数的一个交点的横坐标为， 除此以外，这两函数图象如下区间：内，各有两个交点， 且注意到这些区间均关于对称， 故所求为. 故答案为：2025. 【变式19-2】（2024·高一·广东茂名·期末）已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为 ． 【答案】，（答案不唯一，横坐标只需符合） 【解析】根据，得，则， 令，即， 所以． 故答案为：（答案不唯一，横坐标只需符合） 【变式19-3】（2024·高一·山东潍坊·期末）函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】因为的图象关于点中心对称， 所以，解得， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 考点20：与三角函数有关的函数定义域问题 【典例20-1】（2024·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考阶段练习）函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为：， 则，解得：， 所以函数的定义域为 故选：D. 【典例20-2】（2024·高一课时练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵的定义域为，值域为，而， ∴，∴， ∴． ∵，，均在区间内，而， 故选：D． 【变式20-1】（2024·高一课时练习）已知函数的定义域是，值域为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵的定义域是, ∴，由,，值域为， 可得当时，；当时，， ∴，∴， 故选：C． 考点21：与三角函数有关的函数值域(或最值)问题 【典例21-1】（2024·高一·上海·期中）函数，的最大值为 . 【答案】 【解析】当时，所以在上单调递增， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 【典例21-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【解析】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 【变式21-1】（2024·高一·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 故， 故答案为：. 【变式21-2】（2024·高一·北京门头沟·期中）当时，函数的最小值为 ． 【答案】// 【解析】， 令，则， 因为，所以，即， 由二次函数性质可知，当时，. 故答案为： 【变式21-3】（2024·高一·河北衡水·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【解析】由于，所以. 又函数， 所以当时，. 故答案为：. 考点22：用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)图象 【典例22-1】（2024·四川凉山·高一校联考期中）已知函数    (1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像； (2)结合第（1）图象写出函数在上单调递增区间； (3)当时，的取值范围为，求的取值范围. 【解析】（1），， 由可得，， 列表如下： 2 5 2 0 0 作图： （2）结合图像，函数在上的单调递增区间为， （3），， 又， 所以， 所以，， 的取值范围是． 【典例22-2】（2024·全国·高三专题练习）函数，用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图） 【解析】， 按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： 【变式22-1】（2024·河南南阳·高一统考期中）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： (1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式； (2)若在上有两根，求的取值范围. 【解析】（1）补充表格: 由最大值为最小值为可知 又，故 再根据五点作图法，可得，得 故 （2）令，则 所以=有两个根，转化为在上有两个根. 即在上有两个根. 由在的图像和性质可得：, 所以 故实数的取值范围为 考点23：三角函数图象的变换 【典例23-1】（2024·高一·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的图象先向左平移可得, 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得. 故选：C. 【典例23-2】（2024·高一·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 【变式23-1】（2024·高一·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【解析】因为， 所以只要把函数的图象向左移个单位即可得到的图象. 故选：C. 【变式23-2】（2024·高一·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】，所以需要将函数的图象向左平移个单位， 故选：A 【变式23-3】（2024·高一·陕西榆林·期末）已知函数，将函数的图像沿着轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的图像沿着轴向左平移个单位长度， 所以，. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$