清单08 幂函数与二次函数（考点清单，知识导图+2个考点清单+7题型解读+变式训练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单08 幂函数与二次函数（2个考点梳理+7题型解读+变式训练） 【清单01】幂函数 1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 【清单02】二次函数 1、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， 3、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 考点题型一：幂函数的定义及其图像 【典例1-1】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【典例1-2】（2024·高一·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·广东·期中）已知函数是幂函数，若为增函数，则等于（    ） A． B． C．或1 D．1 【变式1-2】（2024·高一·四川遂宁·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-3】（2024·高一·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数的取值为（   ） A．2 B．2 C．0或2 D．0或2 【变式1-4】（2024·高一·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 考点题型二：幂函数性质的综合应用 【典例2-1】（2024·高一·云南楚雄·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增. 【典例2-2】（2024·高一·安徽芜湖·期中）已知幂函数为定义域上的偶函数. (1)求实数的值； (2)求使不等式成立的实数的取值范围. 【变式2-1】（2024·高一·河北衡水·期中）幂函数为偶函数，． (1)求函数的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【变式2-2】（2024·高一·陕西咸阳·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)若函数，求的最小值． 【变式2-3】（2024·高一·上海奉贤·期中）已知幂函数在上为严格增函数． (1)求的解析式； (2)若对任意x都成立，求k的取值范围． 【变式2-4】（2024·高一·福建泉州·期中）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数n使得的最小值为，若存在，求出实数n的值． 考点题型三：由幂函数的单调性比较大小 【典例3-1】（2024·高一·山东泰安·期中）已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高一·云南昆明·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高一·浙江·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高一·福建泉州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高一·山西大同·期中）设，，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点题型四：二次函数的解析式 【典例4-1】（2024·高一·广东江门·期中）已知二次函数满足，且，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高一·海南·期末）将函数图象向左平移一个单位，得到的函数图象解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高一·广东韶关·期末）若二次函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·吉林松原·期中）已知二次函数满足，则（ ） A． B． C．2 D．4 【变式4-3】（2024·高一·北京海淀·期中）已知二次函数，，且，那么这个函数的解析式是（ ）． A． B． C． D． 考点题型五：二次函数的图象、单调性与最值 【典例5-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，当时恒成立，则的最小值为 . 【典例5-2】（2024·高一·天津滨海新·期中）函数的单调减区间是 ． 【变式5-1】（2024·高一·浙江绍兴·期中）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【变式5-2】（2024·高一·福建莆田·期中），用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为 . 【变式5-3】（2024·高一·湖南永州·期中）函数在区间上是增函数，则的取值范围是 . 【变式5-4】（2024·高一·吉林长春·期中）若函数为增函数，则实数的取值范围为 ． 考点题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 【典例6-1】（2024·高一·江苏镇江·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 【典例6-2】（2024·高一·四川眉山·期中）已知函数，其中为常数 (1)若，设函数，若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)求函数在上的最大值． 【变式6-1】（2024·高一·浙江·期中）已知函数，. (1)当时，若，求的最大值； (2)若，求的最小值； (3)若，使得成立，求的取值范围. 【变式6-2】（2024·高一·河北衡水·期中）已知函数在的最小值为． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【变式6-3】（2024·高一·黑龙江大庆·期中）已知二次函数的最小值为1，． (1)求的解析式； (2)若，试求的最小值． 【变式6-4】（2024·高一·广东惠州·期中）已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a、b的值； (2)若函数，求值域. 考点题型七：二次方程实根的分布及条件 【典例7-1】（2024·高一·上海·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 【典例7-2】（2024·高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 【变式7-1】（2024·高一·四川·期中）若函数在区间内有零点（即函数在区间内与轴有交点），则实数的取值范围是 ． 【变式7-2】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）若函数在上有2个零点，则的取值范围是 ． 【变式7-3】（2024·高一·江苏徐州·期中）已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 . 【变式7-4】（2024·高一·浙江宁波·期中）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 幂函数与二次函数（2个考点梳理+7题型解读+变式训练） 【清单01】幂函数 1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 【清单02】二次函数 1、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， 3、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 考点题型一：幂函数的定义及其图像 【典例1-1】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为是幂函数，所以，解得，则， 所以. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高一·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 【变式1-1】（2024·高一·广东·期中）已知函数是幂函数，若为增函数，则等于（    ） A． B． C．或1 D．1 【答案】D 【解析】由题意可得，，解得或， 当时，，则函数不是增函数，不符合题意； 当时，，易知函数是增函数，符合题意. 故选：D. 【变式1-2】（2024·高一·四川遂宁·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】设，则，得， 所以， 所以， 故选：D. 【变式1-3】（2024·高一·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数的取值为（   ） A．2 B．2 C．0或2 D．0或2 【答案】C 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得，或，或， 又因为函数的图象与坐标轴没有公共点，所以舍去， 所以，或. 故选：C. 【变式1-4】（2024·高一·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 考点题型二：幂函数性质的综合应用 【典例2-1】（2024·高一·云南楚雄·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增. 【解析】（1）由幂函数的定义可知，，解得， 由幂函数在上单调递增，则，可得， 所以； （2）由的图象经过点，得，所以， 则， 对，且， 则有， 因为，所以，所以． 因为，所以，所以，则， 故函数在上单调递增． 【典例2-2】（2024·高一·安徽芜湖·期中）已知幂函数为定义域上的偶函数. (1)求实数的值； (2)求使不等式成立的实数的取值范围. 【解析】（1）由于是幂函数，所以或， 当时，是奇函数，不符合题意. 当时，是定义在上的偶函数，符合题意. 所以. （2）由（1）得是定义在上的偶函数， 在上单调递减，在上单调递增， 所以等式即， 两边平方并化简得， 解得，所以不等式的解集为. 【变式2-1】（2024·高一·河北衡水·期中）幂函数为偶函数，． (1)求函数的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为函数为幂函数且为偶函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去； 所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立，, 等价于对于恒成立，所以， 设，，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故. 【变式2-2】（2024·高一·陕西咸阳·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)若函数，求的最小值． 【解析】（1）函数为幂函数， ，解得或． 又的图象过点， ． ，． （2）由（1）易知，． ， 当且仅当，即时等号成立． 的最小值为5． 【变式2-3】（2024·高一·上海奉贤·期中）已知幂函数在上为严格增函数． (1)求的解析式； (2)若对任意x都成立，求k的取值范围． 【解析】（1）由题意可得：，解得， 所以. （2）因为，即，可得， 原题意即为对任意x都成立， 若，即时，不恒成立，不合题意； 若，即时，则，解得， 所以k的取值范围为. 【变式2-4】（2024·高一·福建泉州·期中）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数n使得的最小值为，若存在，求出实数n的值． 【解析】（1）由是幂函数，得，解得或， 当时，函数在区间上单调递减，不满足，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，满足，符合题意， 所以函数的解析式是． （2）假设存在实数n使得的最小值为，即， 由（1）得， 令，由，得，则，即，此时， 于是化为，此时，即， 当，即时，在上单调递增，则， 由，得，解得，不满足题意； 当，即时，则， 由，解得或，因此； 当，即时，在上单调递减，则， 由，解得，不满足题意； 所以存在实数使得的最小值为，． 考点题型三：由幂函数的单调性比较大小 【典例3-1】（2024·高一·山东泰安·期中）已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为，，且， 所以，所以， 所以. 故选：C 【典例3-2】（2024·高一·云南昆明·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，， 因为幂函数在上单调递增，所以， 又因为，所以， 由上可知， 故选：B. 【变式3-1】（2024·高一·浙江·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B 【变式3-2】（2024·高一·福建泉州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在定义域上单调递减且过点， 定义域为，在定义域上单调递增且过点， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下： 所以与有且仅有一个交点，且交点的横坐标属于，又， 所以，又，所以， 因为，所以， 综上可得. 故选：D 【变式3-3】（2024·高一·山西大同·期中）设，，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解析：因为在上是增函数，所以，故A正确； 因为在上是减函数，所以，故B正确； 当时，，所以C错误； 因为；所以.故D正确. 故选：C. 考点题型四：二次函数的解析式 【典例4-1】（2024·高一·广东江门·期中）已知二次函数满足，且，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 由，得， 化简得， ，解得 ， 由，得， 故. 故选：A 【典例4-2】（2024·高一·海南·期末）将函数图象向左平移一个单位，得到的函数图象解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象向左平移一个单位，得到的函数图象解析式为. 故选：D． 【变式4-1】（2024·高一·广东韶关·期末）若二次函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴所求函数解析式为：，即， ∴函数的最小值为. 故选：C. 【变式4-2】（2024·高一·吉林松原·期中）已知二次函数满足，则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为，所以函数的对称轴为， 所以，解得：． 故选A． 【变式4-3】（2024·高一·北京海淀·期中）已知二次函数，，且，那么这个函数的解析式是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，二次函数对称轴为．四个选项中只有D选项对称轴为． 故选． 考点题型五：二次函数的图象、单调性与最值 【典例5-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，当时恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，，则，且在单调递增， 当时，；当时，； 因为当时恒成立，所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以. 令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，， 所以，且，所以. 故答案为： 【典例5-2】（2024·高一·天津滨海新·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【解析】当时，， 所以，在上函数单调递增，在上函数单调递减， 当时，，即在上函数单调递增， 综上，函数的单调减区间为. 故答案为： 【变式5-1】（2024·高一·浙江绍兴·期中）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，在R上递减，符合题意； 当时，由二次函数的性质可知，且对称轴，解之得. 综上：的取值范围是. 故答案为： 【变式5-2】（2024·高一·福建莆田·期中），用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】根据已知函数解析式，可得如下示意图，为实线部分图象， 由图知，的单调递减区间为. 故答案为： 【变式5-3】（2024·高一·湖南永州·期中）函数在区间上是增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-4】（2024·高一·吉林长春·期中）若函数为增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】①若要单调递增，则，解得； ②若要单调递增， 当时，由飘带函数的特性可知在恒增； 当时，单调递增； 当时，由对勾函数的特性可知在上单调递增， 则，所以； 所以若要单调递增，； ③考虑，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 考点题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 【典例6-1】（2024·高一·江苏镇江·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 【解析】（1）由是定义在上的奇函数，且当时，， 则，解得，即时，； 当时，，， 故； （2）作出函数的大致图象如图所示： 当时，函数在上单调递增，则； 当，，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，则， 则； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则， 则，所以； 当时，即当时，函数在上单调递增， 此时， 综上所述，． 【典例6-2】（2024·高一·四川眉山·期中）已知函数，其中为常数 (1)若，设函数，若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)求函数在上的最大值． 【解析】（1），解得． 可得，其对称轴方程为， 若在上为增函数，则，解得， 若在上为减函数，则，解得， 综上可知，的取值范围为或． （2）当时函数在上单调递增，最大值是11； 当时，对称轴， 在上单调递增，所以， 当时，对称轴； ①当，即时， 在上单调递减， ②当，即时， ③当，即时， 在上单调递增，， 综上所述，当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是11； 当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是； 【变式6-1】（2024·高一·浙江·期中）已知函数，. (1)当时，若，求的最大值； (2)若，求的最小值； (3)若，使得成立，求的取值范围. 【解析】（1）当， 令，即， 由，则； （2）易知，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，则； 若，即时，在上单调递减，则； 若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上； （3）由在上恒成立， 令，由对勾函数的性质知t在时单调递减，上单调递增， 易得， 则， 分离参数得在上恒成立，即， 令，， 由对勾函数的性质知在上单调递增，即，所以， 即的取值范围. 【变式6-2】（2024·高一·河北衡水·期中）已知函数在的最小值为． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数，对称轴为， ①当即时，函数在上单调递增， 所以，即； ②当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即； ③当即时，函数在上单调递减， 所以，即， 故. （2）由（1）知，当时，，函数单调递增， 当时，，对称轴为，函数在上单调递增， 当时，，所以函数在R上单调递增. 由， 得或， 解得或 故实数m的取值范围为. 【变式6-3】（2024·高一·黑龙江大庆·期中）已知二次函数的最小值为1，． (1)求的解析式； (2)若，试求的最小值． 【解析】（1）∵是二次函数，且， ∴图象的对称轴为． 又的最小值为1， ∴设． 又，∴． ∴． （2）由（1）知，函数的图象的对称轴为． ①若，则在上是增函数，； ②若，即，则在上是减函数，； ③若，即，则． 综上所述，函数的最小值． 【变式6-4】（2024·高一·广东惠州·期中）已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a、b的值； (2)若函数，求值域. 【解析】（1）∵的解集为或， ∴的根为，， ， ∴，. （2）由（1）知， ， 抛物线开口向上，对称轴为. ∵，∴； 又，∴. ∴函数的值域为. 考点题型七：二次方程实根的分布及条件 【典例7-1】（2024·高一·上海·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，有，解得，，符合题意； 当时，若，则有，解得， 此时方程为，即， 解得，，符合题意； 当，且时，即且时，令 若在区间上恰有一个x满足方程， ①，又，， 所以有：，解得或， ②当时，，符合题意； 当时，，，解得或，不合题意； 综上所述，的取值范围为：. 故答案为： 【典例7-2】（2024·高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-1】（2024·高一·四川·期中）若函数在区间内有零点（即函数在区间内与轴有交点），则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得:为连续函数, 且在上单调递减,在上单调递增, 故, 所以只需或, 解得:, 所以实数的取值范围是. 故答案为: 【变式7-2】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）若函数在上有2个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意，，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式7-3】（2024·高一·江苏徐州·期中）已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】函数有两个零点，一个大于1另一个小于1， 又，则，函数的示意图如下： 或 所以或，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式7-4】（2024·高一·浙江宁波·期中）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】记题设的两个零点为，则 由知 所以 所以 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$