精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

鹤岗一中2023-2024学年高三年级 12月月考数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题4分，40分） 1. 椭圆与双曲线焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线的渐近线斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出椭圆的焦点坐标，离心率，得到双曲线的离心率，焦点坐标，然后求解双曲线的渐近线斜率． 【详解】解：在椭圆，，，焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线焦点相同，则双曲线的焦点坐标为， 即双曲线的， 又因为这两条曲线的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为：，解得，则． 所以双曲线方程为 则双曲线的渐近线为，斜率为． 故选：． 【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的综合应用，属于基础题． 2. 函数是区间上的单调函数，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用单调性的定义，在任取，则可得，由条件可判断，可得当 时，可判断的正负，从而可得答案 【详解】在单调， 在任取， 则， ， ， ， ，，， ， ∵在单调， ∴当时无法判明正负， ∴，即， ∴在单调递减． 故选：A． 3. 已知，，则向量按向量平移后得到的向量坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的减法运算可得，再利用相等向量的判定可得：将向量按向量平移后得到的向量坐标是，得解. 【详解】解：因为，， 所以, 将向量按向量平移后得到的向量方向与相同，模相等，由相等向量可得向量按向量平移后得到的向量坐标是， 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题. 4. 已知，若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. 1 B. －i C. i D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，结合已知条件求出的值，然后代入复数化简即可求出，则复数的共轭复数的虚部可求． 【详解】解：是纯虚数， ，解得， ． 则． 复数的共轭复数的虚部是． 故选：D． 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合，利用交集的运算求出结果. 【详解】∵， ， ∴. 故选：A. 6. 将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义，求得的正弦值与余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案. 【详解】由点在单位圆上，则，解得， 由锐角，即，则， 故， 所以 . 故选：D 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可. 【详解】设，则， 由可得，所以，充分性成立， 当时，即，则，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 8. 已知cos，且-π<α<-，则cos等于（ ） A. B. - C. D. - 【答案】D 【解析】 【分析】由cos，利用诱导公式转化为cos=sin，再根据-π<α<-，利用平方关系求解. 【详解】∵cos=sin， 又-π<α<--α< ∴cos=-=- 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式和同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题. 二、多选题（每题6分，24分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定是“，使得” B. 方程组的解集为 C. 若函数的定义域为，则的定义域为 D. 是非奇非偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】 选项,由于全称命题的否定是特称命题，所以该命题正确； 选项,方程组的解集应为，所以该命题错误； 选项,由题得的定义域为，所以该命题正确； 选项，是奇函数，所以该选项错误. 【详解】选项,由于全称命题的否定是特称命题，所以该命题正确； 选项,方程组的解集应为，所以该命题错误； 选项,由题得，所以，的定义域为，所以该命题正确； 选项，解得，或，所， 所以，所以是奇函数，所以该选项错误. 故选：AC 【点睛】易错点睛：本题的易错点有两个，（1）单元素的点集表示为，不能写成；（2）求复合函数的定义域，应该解不等式，而不是根据得到. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的分位数是23.5 B. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是 C. 函数的定义域为，则的定义域为 D. 若，则的值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由百分位数概念可判断A；根据不等式的解集可知，以及的关系，进而可判断结果B；对于C，可求得的定义域，利用抽象函数的定义域的求法可判断结果；对于D，利用指对互化可得，再利用换底公式代入即可求得结果. 【详解】对于A，由 ，可知样本数据的分位数是第7项和第8项数据的平均数，即为，故A正确； 对于B，不等式的解集为，可知， 由题意可得 与是关于的方程的两根， 所以,解得. 所以不等式可化为，解得:，故B正确； 对于C，因为函数的定义域为，所以，则， 所以，解得:，所以的定义域为，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 如图是某省2015-2019五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ） A. 这五年，2018年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多 C. 这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，2019年进口增速最快 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条形图、折线图逐一分析即可 【详解】由柱状图可得2015年出口额最少，出口总额比进口总额高，故错误，正确； 由折线图可得第一年出口增速上升，故错误； 这一年的进口增速折线最陡，故其最快，故正确， 故选：． 【点睛】本题考查学生数据处理的能力，考查了数形结合思想，属于基础题． 12. 四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】满足要求的四棱锥有三种情形，对三种情况进行讨论求出结果. 【详解】满足要求的四棱锥有如下三种情形. （1） 如图，四条侧棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，连接交于点，连接， 则平面，是四棱锥的高， 则，， 所以， 四棱锥的高为； （2） 如图，有两条侧棱长为， 作平面，记，，是四棱锥的高， 于是，， 且. 解得，. 四棱锥的高为； （3） 如图，三条侧棱（、、）长为，一条侧棱， ，， 设与交于点.记. 由等腰三角形三线合一可得：, 平面，平面，， 则平面， 因为平面，所以平面平面， 过O作，因为平面平面, 所以平面，是四棱锥的高， 则有，，. 因为， 于是，. 将前面的结果代入上式， 解得或. 显然，故. ， 在中， 由余弦定理得, ， ， 四棱锥的高为. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，20分） 13. 在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有__________种． 【答案】24 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法技术原理以及排列组合公式即可求解. 【详解】第一类： 三位数的每个数字都是奇数，（即1，3，5） 共有种； 第二类： 三位数的2个数字是偶数，另一个数字是奇数， 共有种； 综上所述，共有种. 故答案为：24. 14. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合余弦函数的图象与性质计算即可得. 【详解】由，得， 由，得； 由在上恰有两个零点可得， 解得. 故答案为：. 15. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是___________ ( 台体体积计算公式为) 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，几何体上部是圆台，下部是半球，根据三视图数据，求出几何体的体积即可. 【详解】三视图复原的几何体上部是圆台，下部是半球， 半球的半径为4，则半球的体积：， 圆台的体积：， 几何体的体积为：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：（1）解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；（2）由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法． 16. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.设点O为的费马点，且满足，则边a的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式和正弦定理可得是以的直角三角形，再利用平面向量数量积定义和等面积可得，再由基本不等式即可得. 【详解】由可得， 即得. 由正弦定理可得，即为直角三角形，. 由费马定义可得， 设，，， 显然, 即， 可得， 又由可得， ， 得， 因此 由可得， 当且仅当时，等号成立. 即边的最小值为， 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用费马点定义及数量积运算得出等量关系，再由基本不等式可得结果. 四、解答题 17. 为了探究成年人晕车与性别是否有关，调查了320名成年人，其中男士152人，而且男士与女士中，晕车的分别有28人与32人.用2×2列联表示这些数据. 【答案】 2×2列联表为 男士 女士 合计 晕车 28 32 60 不晕车 124 136 260 合计 152 168 320 【解析】 【分析】根据条件列2×2列联表 【详解】由题意得2×2列联表为 男士 女士 合计 晕车 28 32 60 不晕车 124 136 260 合计 152 168 320 【点睛】本题考查列联表，考查基本分析列表能力，属基本题. 18. 在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足： ，. （1）求的最小值； （2）设数列的前项和，证明：. 【答案】 （1）若选择②③；； 若选择①②； ； 若选择①③；. （2）由（1）可得， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）选择②③、①②、①③条件中的一组，利用等差数列的性质及条件，求得的通项公式，利用通项公式的单调性，结合题意，即可求得的最小值； （2）由（1）可得数列的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得证. 【详解】（1）若选择②③； 由题知：， 又因为，解得 所以，解得， 所以， 所以， 所以； 若选择①②； 由题知：， 又因为，解得， 所以，解得， 所以， 所以， 所以 ； 若选择①③； 由题知：，所以 ， 由题知：，所以 联立解得：， 所以， 所以， 所以. （2）略 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 19. 设函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）8（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据二项定理展开式展开，即可确定对应项的系数，即可求解. （Ⅱ）代入值后可求得的解析式，经过检验可知点不在曲线上，即可设切点坐标为，代入曲线方程并求得，由导数的几何意义及两点间斜率公式，可得方程，且由题意可知该方程有三个不同的实数根；分离参数并构造函数，进而求得，令求得极值点和极值，由直线截此图象有三个交点即可确定的取值范围. 【详解】（Ⅰ）根据二项式定理展开式的应用，展开可得 所以 （Ⅱ）由题意 因为点不在曲线上，所以可设切点为． 则．因为，所以切线的斜率为． 则，即． 因为过点可作曲线的三条切线， 所以方程有三个不同的实数解． 分离参数， 设函数， 所以， 令，可得， 令，解得或， 所以在单调递增，在单调递减． 所以的极大值为，极小值为. 用直线截此图象， 当两图象有三个交点， 即时，即可作曲线的三条切线. 【点睛】本题考查了二项式定理展开式的简单应用，两点间斜率公式及导数的几何意义应用，分离参数及构造函数研究三次函数性质的综合应用，属于中档题. 20. 如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量： （2）求OE的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用空间向量的线性运算求解即可； （2）应用数量积运算律求出，再求即可. 【小问1详解】 解：依题意， ， 即. 【小问2详解】 解：因为 ， 所以，即OE的长. 21. 已知，其中， （1）求 （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式计算即可； （2）利用同角三角函数基本关系和二倍角公式计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， . 22. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 【答案】（1） 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为. （2） 要证，需证， 而，即有， 则只需证明，即证，即证， 令，则，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，则， 令，则，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 从而，即成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出的解集即可. （2）根据给定条件，借助分析法将不等式转化为，再求出左右两边函数的最值即可推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 若，则，且当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减； 若，令，解得， 若，即，则恒成立，当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增； 若，即，则当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减； 若，即，则在上恒成立，函数在上递增； 若，即，则当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减， 所以当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤岗一中2023-2024学年高三年级 12月月考数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题4分，40分） 1. 椭圆与双曲线焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线的渐近线斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 函数是区间上的单调函数，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则向量按向量平移后得到的向量坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. 1 B. －i C. i D. －1 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知cos，且-π<α<-，则cos等于（ ） A. B. - C. D. - 二、多选题（每题6分，24分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定是“，使得” B. 方程组的解集为 C. 若函数的定义域为，则的定义域为 D. 是非奇非偶函数 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的分位数是23.5 B. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是 C. 函数的定义域为，则的定义域为 D. 若，则的值为1 11. 如图是某省2015-2019五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ） A. 这五年，2018年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多 C. 这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，2019年进口增速最快 12. 四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，20分） 13. 在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有__________种． 14. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为__________. 15. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是___________ ( 台体体积计算公式为) 16. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.设点O为的费马点，且满足，则边a的最小值为______. 四、解答题 17. 为了探究成年人晕车与性别是否有关，调查了320名成年人，其中男士152人，而且男士与女士中，晕车的分别有28人与32人.用2×2列联表示这些数据. 18. 在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足： ，. （1）求的最小值； （2）设数列的前项和，证明：. 19. 设函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 20. 如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量： （2）求OE的长. 21. 已知，其中， （1）求 （2）求 22. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $