函数模型的应用 限时训练-2025届高三数学二轮复习

函数模型的应用 一、单项选择题 1．(★)(2023·福州模拟)中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为2022年的重点任务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方式转变．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，约消耗10 L汽油 C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最多 D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案　D 解析　对于A，当乙车速度为80 km/h时，乙车每消耗1 L汽油行驶的里程超过5 km，所以A错误； 对于B，甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h约消耗8 L汽油，所以B错误； 对于C，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，所以C错误； 对于D，机动车最高限速80 km/h，相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确． 2．(★★)(2023·宁波模拟)教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋λ(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位：分钟)的最小整数值为(参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)(　　) A．7 B．9 C．10 D．11 答案　A 解析　由题意知，当t＝0时，y＝0.05＋λ＝0.25，解得λ＝0.2， 即y＝0.05＋0.2. 令y＝0.05＋0.2<0.15， 即<0.5，即－<ln 0.5＝ln ＝－ln 2≈－0.693， 解得t>6.93，故所需时间t的最小整数值为7. 3．(★★)随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时的能量损耗满足传输公式L＝32.44＋20lg D＋20lg F，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗(亦称衰减)，单位是dB.若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18 dB，则传输距离约增加了(参考数据：lg 2≈0.3，lg 4≈0.6)(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 答案　C 解析　设L′是变化后的传输损耗，D′是变化后的传输距离，F′是变化后的载波频率， 则L′＝L＋18，F′＝2F， 18＝L′－L＝20lg D′＋20lg F′－20lg D－20lg F ＝20lg ＋20lg ＝20lg ＋20lg 2， 则20lg ＝18－20lg 2≈12， 即lg ≈0.6≈lg 4， 从而D′≈4D，即传输距离约增加了3倍． 4．(★★)(2024·南昌模拟)某大型家电商场在一周内计划销售A，B两种电器，已知这两种电器每台的进价都是1万元，若厂家规定，一家商场进货B的台数不高于A的台数的2倍，且进货B至少2台，而A，B的售价分别为12 000元/台和12 500元/台，若该家电商场每周可以用来进货A，B的总资金为6万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一周内销售A，B电器的总利润(利润＝售价－进价)的最大值为(　　) A．1.2万元 B．2.8万元 C．1.6万元 D．1.4万元 答案　D 解析　设该商场在一周内进货B的台数为x，则一周内进货A的台数为(6－x)，设该商场在一周内销售A，B电器的总利润为y万元， 由题意可得可得2≤x≤4，且x∈N， 则y＝0.2(6－x)＋0.25x＝0.05x＋1.2， 所以ymax＝0.05×4＋1.2＝1.4. 5．(★★)(2023·唐山模拟)某地锰矿石原有储量为a万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m(0<m<1，且m为常数)倍，那么第n(n∈N*)年开采完成后剩余储量为a(1－m)n万吨，并按该计划方案，用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%，则需开采约(参考数据：≈1.4)(　　) A．4年 B．5年 C．6年 D．8年 答案　B 解析　设第n年开采完成后剩余储量为y万吨，则y＝a(1－m)n ，当n＝10时，y＝a， 所以a＝a(1－m)10，a>0， 故＝(1－m)10，即1－m＝， 进而y＝， 设第x年开采完成后，剩余储量为原有储量的70%，即y＝＝0.7a， 故＝，即＝， 即＝＝log2≈log21.4≈log2＝， 解得x≈5.故需开采约5年． 6．(★★)(2023·东城区模拟)某校学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12 m长的围栏，准备围成两边靠墙(墙足够长)的菜园，若P处有一棵树(不考虑树的粗细)与两墙的距离分别是2 m和a m(0<a≤10)，如图所示．设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内(包括边界)，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　) 答案　B 解析　由题意，设CD＝x，则AD＝12－x， 所以矩形菜园ABCD的面积S＝x(12－x)＝－x2＋12x＝－(x－6)2＋36， 因为要将这棵树围在菜园内(包括边界)，所以解得2≤x≤12－a， 当12－a>6，即0<a<6时，在x＝6处矩形菜园ABCD的面积S最大， 最大面积u＝Smax＝36； 当12－a≤6，即6≤a≤10时，在x＝12－a处矩形菜园ABCD的面积S最大， 最大面积u＝Smax＝a(12－a)． 综上，u＝f(a)＝ 根据函数解析式可知，其图象为B. 二、多项选择题 7．(★)(2023·潍坊模拟)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(　　 ) A．图①中点A的实际意义表示该游乐场投入的成本费用为1万元 B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万时，该游乐场的收支恰好平衡 C．图②表示游乐场采取的措施是降低门票的售价 D．图③表示游乐场采取的措施是减少投入的成本费用 答案　ABD 解析　图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，A正确； 图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万时，游乐场的收支恰好平衡，B正确； 图②表示游乐场采取的措施是提高门票的售价，C错误； 图③表示游乐场采取的措施是减少投入的成本费用，D正确． 8．(★)(2024·长沙模拟)某购物节中，某团购平台对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠： ①若购物总额不超过50元，则不给予优惠； ②若购物总额超过50元但不超过100元，则可以使用一张15元优惠券； ③若购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予8折优惠； ④若购物总额超过300元，其中300元内的按第③条给予优惠，超过300元的部分给予7折优惠． 某人购买了部分商品，则下列说法正确的是(　　) A．若购物总额为66元，则应付款为51元 B．若应付款为208元，则购物总额为260元 C．若购物总额为360元，则应付款为252元 D．若购物时一次性全部付款为380元，则购物总额为500元 答案　ABD 解析　对于A，若购物总额为66元，满足购物总额超过50元但不超过100元， 可以使用一张15元优惠券，则应付款为66－15＝51(元)，故A正确； 对于B，若应付款为208元，则购物总额超过100元但不超过300元， 所以购物总额为208÷0.8＝260(元)，故B正确； 对于C，若购物总额为360元，则购物总额超过300元，则应付款为300×0.8＋60×0.7＝282(元)，故C错误； 对于D，若购物时一次性全部付款380元，说明购物总额超过300元， 设购物总额为x元，则300×0.8＋(x－300)×0.7＝380，解得x＝500，故D正确． 9．(★★)(2023·镇江模拟)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)之间的关系满足函数t＝且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．该食品在6 ℃时的保鲜时间是8小时 B．当x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减小 C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D．到了此日14时，甲所购买的食品已过保鲜时间 答案　AD 解析　由题意可得24k＋6＝16，解得k＝－， ∴t＝ ∴当x＝6时，t＝23＝8，A正确； 当x∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时； 当x∈(0,6]时，保鲜时间t随x增大而逐渐减小，B错误； 此日11时至13时，温度超过11度，其保鲜时间不超过2小时，故到了此日13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，C错误； 由以上分析知，到了此日14时，甲所购买的食品已过保鲜时间，D正确． 10．(★★★)(2024·赣州模拟)从4G到5G通信，网络速度提升了40倍．其中，香农公式C＝Wlog2是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.699 0)(　　) A．若不改变信噪比，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍 B．若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍 C．若不改变带宽W，而将信噪比从255提升至1 023，C增加了25% D．若不改变带宽W，而将信噪比从999提升至4 999，C大约增加了23.3% 答案　ACD 解析　对于A，若不改变信噪比，而将信道带宽W增加一倍， 即2Wlog2＝2C，则C增加一倍，所以A正确； 对于B，若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S， 而将高斯噪声功率N降低为原来的一半， 即Wlog2＝Wlog2 ≠Wlog2＝2Wlog2， 所以B错误； 对于C，若不改变带宽W，而将信噪比从255提升至1 023， 则－1＝－1＝－1＝， 所以C增加了25%，所以C正确； 对于D，若不改变带宽W，而将信噪比从999提升至4 999， 则－1＝－1 ＝－1＝－1＝ ≈0.233，所以C大约增加了23.3%，所以D正确． 三、填空题 11．(★★)(2023·宁波模拟)某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的造价成本是9万元．又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30 年间每年的能源消耗费用N(单位：万元)与隔热层厚度h(单位：厘米)满足关系N(h)＝(0≤h≤10)，经测算，如果不建隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设F(h)为隔热层的建造费用与30年的能源消耗费用总和，那么当F(h)达到最小时， 隔热层厚度h为________厘米． 答案　 解析　由题意得，当h＝0时，N(h)＝＝10，解得m＝40， 又F(h)＝9h＋30×N(h)＝9h＋30×(0≤h≤10)， 所以F(h)＝9h＋＝3(3h＋4)＋－12≥2－12＝108， 当且仅当3(3h＋4)＝，即h＝时，等号成立． 故当F(h)达到最小时，隔热层厚度h为 厘米． 12．(★★★)(2024·青岛模拟)长江流域水库群的修建和联合调度极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾作用．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度、统一蓄水．用蓄满指数(蓄满指数＝水库实际蓄水量÷水库总蓄水量×100)来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： (1)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100]； (2)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； (3)调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式： ①y＝－x2＋6x；②y＝10；③y＝；④y＝100sin x. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是________． 答案　②④ 解析　① y＝－x2＋6x＝－(x2－120x)＝－(x－60)2＋180，该函数在x＝60时函数值为180，超过了范围，不符合题意； ②y＝10，x∈[0,100]，y∈[0,100]， 又≤10，则x≤10，当x∈[0,100]时，y＝10单调递增，符合题意； ③y＝，当x＝50时，＝10<50，蓄满指数降低，不符合题意； ④y＝100sin x，当x∈[0,100]时，x∈，故该函数在[0,100]上单调递增，又y＝100sin x∈， 设g(x)＝100sin x－x，x∈[0,100]， 则g′(x)＝100··cos x－1 ＝cos x－1，x∈[0,100], 易知g′(x)＝cos x－1在[0,100]上单调递减，且存在x0∈[0,100]，使得g′(x0)＝0， 当x∈[0，x0]时，g′(x)≥0；当x∈[x0,100]时，g′(x)≤0； 故g(x)在[0，x0]上单调递增，在[x0,100]上单调递减． 又g(0)＝0，g(100)＝0， 故在[0,100]上，g(x)≥0， 即在[0,100]上，100sin x≥x，符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数模型的应用 一、单项选择题 1．(★)(2023·福州模拟)中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为2022年的重点任务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方式转变．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，约消耗10 L汽油 C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最多 D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 2．(★★)(2023·宁波模拟)教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋λ(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位：分钟)的最小整数值为(参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)(　　) A．7 B．9 C．10 D．11 3．(★★)随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时的能量损耗满足传输公式L＝32.44＋20lg D＋20lg F，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗(亦称衰减)，单位是dB.若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18 dB，则传输距离约增加了(参考数据：lg 2≈0.3，lg 4≈0.6)(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 4．(★★)(2024·南昌模拟)某大型家电商场在一周内计划销售A，B两种电器，已知这两种电器每台的进价都是1万元，若厂家规定，一家商场进货B的台数不高于A的台数的2倍，且进货B至少2台，而A，B的售价分别为12 000元/台和12 500元/台，若该家电商场每周可以用来进货A，B的总资金为6万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一周内销售A，B电器的总利润(利润＝售价－进价)的最大值为(　　) A．1.2万元 B．2.8万元 C．1.6万元 D．1.4万元 5．(★★)(2023·唐山模拟)某地锰矿石原有储量为a万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m(0<m<1，且m为常数)倍，那么第n(n∈N*)年开采完成后剩余储量为a(1－m)n万吨，并按该计划方案，用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%，则需开采约(参考数据：≈1.4)(　　) A．4年 B．5年 C．6年 D．8年 6．(★★)(2023·东城区模拟)某校学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12 m长的围栏，准备围成两边靠墙(墙足够长)的菜园，若P处有一棵树(不考虑树的粗细)与两墙的距离分别是2 m和a m(0<a≤10)，如图所示．设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内(包括边界)，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　) 二、多项选择题 7．(★)(2023·潍坊模拟)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(　　 ) A．图①中点A的实际意义表示该游乐场投入的成本费用为1万元 B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万时，该游乐场的收支恰好平衡 C．图②表示游乐场采取的措施是降低门票的售价 D．图③表示游乐场采取的措施是减少投入的成本费用 8．(★)(2024·长沙模拟)某购物节中，某团购平台对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠： ①若购物总额不超过50元，则不给予优惠； ②若购物总额超过50元但不超过100元，则可以使用一张15元优惠券； ③若购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予8折优惠； ④若购物总额超过300元，其中300元内的按第③条给予优惠，超过300元的部分给予7折优惠． 某人购买了部分商品，则下列说法正确的是(　　) A．若购物总额为66元，则应付款为51元 B．若应付款为208元，则购物总额为260元 C．若购物总额为360元，则应付款为252元 D．若购物时一次性全部付款为380元，则购物总额为500元 9．(★★)(2023·镇江模拟)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)之间的关系满足函数t＝且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．该食品在6 ℃时的保鲜时间是8小时 B．当x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减小 C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D．到了此日14时，甲所购买的食品已过保鲜时间 10．(★★★)(2024·赣州模拟)从4G到5G通信，网络速度提升了40倍．其中，香农公式C＝Wlog2是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.699 0)(　　) A．若不改变信噪比，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍 B．若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍 C．若不改变带宽W，而将信噪比从255提升至1 023，C增加了25% D．若不改变带宽W，而将信噪比从999提升至4 999，C大约增加了23.3% 三、填空题 11．(★★)(2023·宁波模拟)某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的造价成本是9万元．又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30 年间每年的能源消耗费用N(单位：万元)与隔热层厚度h(单位：厘米)满足关系N(h)＝(0≤h≤10)，经测算，如果不建隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设F(h)为隔热层的建造费用与30年的能源消耗费用总和，那么当F(h)达到最小时， 隔热层厚度h为________厘米． 12．(★★★)(2024·青岛模拟)长江流域水库群的修建和联合调度极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾作用．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度、统一蓄水．用蓄满指数(蓄满指数＝水库实际蓄水量÷水库总蓄水量×100)来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： (1)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100]； (2)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； (3)调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式： ①y＝－x2＋6x；②y＝10；③y＝；④y＝100sin x. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$