精品解析：江苏省南通市如东县2024-2025学年八年级上学期数学期中试题

2024~2025学年度第一学期期中学情调研 八年级数学试题 （总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果等腰的一个内角为，那么顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 4. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7. 在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，7），点B的坐标为（5，0），点C是y轴上一个动点，且点A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（ ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 12 10. 如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③长度的最小值为4；④面积的最大值为8；其中正确的结论是　　 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是______． 12. 如果，那么______． 13. 如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为______． 14. 如图，中，，作的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为______． 15. 计算的结果是______． 16. 若，则的值为______． 17. 如图，中，，，P是上任意一点，于点M，于点N，则的值为______． 18. 在如图所示的钢架结构中，，为加固钢架，在的内部焊上等长的钢条，……，若且恰好用了4根钢条，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 分解因式： （1）； （2）． 21. 如图，在和中，与交于点，且，． 求证：． 22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴的对称图形，并写出三个顶点的坐标； （2）在x轴上找一点P，使，直接写出点P的坐标； （3）在第二象限找一点Q，使的面积等于的面积，直接写出点Q的坐标． 23. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： -----第1步 ------------------------------------第2步 ----------------------------第3步 小颖的解法： ------第1步 -------------------------第2步 --------------------------第3步 任务： （1）老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则解答正确的同学是______； （2）老师认为两名同学的解答过程都有道理： 小彬同学的第步依据是运用了______公式； 小颖同学的第步依据是运用了______公式； （3）请你按照做错同学的思路，写出正确的解答过程． 24. 如图，在中，，于点D，平分交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】 （1）如图1，，即为等边三角形，D，E分别是上的点，且．求证：； 【实践探究】 （2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且．当的值最小时，求的度数．（直接写出答案） 26. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别为x轴、y轴上两点，且．点C是x轴上的一个动点，连接，并以为边在的右侧作等边． （1）如图①，当点D恰好在x轴上时，请判断线段和的数量关系，并结合图①证明你的结论； （2）如图②，当点D不在x轴上时，连接，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论； （3）如图③，设点B关于x轴的对称点为M，连接交x轴于点N． 猜想：当点C在射线上移动时，的值是否发生改变？若不改变，请直接写出的值；若发生改变，请简要说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中学情调研 八年级数学试题 （总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式加法运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、完全平方和公式等知识，由整式加法运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、完全平方和公式逐项验证即可得到答案，熟练掌握整式加法运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、完全平方和公式是解决问题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，，计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如果等腰的一个内角为，那么顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理，由题意，分两种情况：①为等腰的顶角；②为等腰的底角；求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质及三角形内角和定理，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，分两种情况：①为等腰的顶角；②为等腰的底角； 当为等腰的顶角时，满足题意； 当为等腰的底角时，由等腰三角形性质及三角形内角和定理可得顶角为； 综上所述，顶角的度数为或， 故选：D． 4. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答． 本题主要考查了提公因式法、平方差公式以及十字相乘法因式分解，属于基础题． 【详解】解：A、原式，故本选项不符合题意． B、原式，故本选项不符合题意． C、原式，故本选项符合题意． D、原式，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图的原理可证明求解． 本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 在和中， ， ∴ ∴， 故选：A． 6. 若，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，将展开，再比较系数即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查乘法公式-平方差公式的结构特征，熟记平方差公式，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：根据的结构特征，可选择乘法公式-平方差公式， ， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，7），点B的坐标为（5，0），点C是y轴上一个动点，且点A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据轴对称最短路径问题得到此时最小，继而解得直线的解析式，最后求直线与轴的交点即可解题． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 当△ABC的周长最小时，即最小， 设直线的解析式为：，代入的坐标得， 解得 当时，解得 故选：B． 【点睛】本题考查待定系数法解一次函数解析式、轴对称求最短路径问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9. 如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（ ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设长方形的长为x，宽为y．依据长方形的周长为16，四个正方形的面积之和为68可得到2x+2y=16，2x2+2y2=68，最后依据完全平方公式进行变形可求得xy的值． 【详解】解：设长方形的长为x，宽为y． 根据题意可知：2x+2y=16，2x2+2y2=68， 所以x+y=8，x2+y2=34． 所以64-2xy=34． 解得：xy=15． 所以长方形ABCD的面积为15． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，依据完全平方公式得到64-2xy=34是解题的关键． 10. 如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③长度的最小值为4；④面积的最大值为8；其中正确的结论是　　 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质．①连接，证明，可以得出结论正确；②根据两三角形全等时面积也相等得：，利用割补法知：，是定点，所以△的面积是定值，即四边形的面积保持不变；③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小，可以得出结论正确；④当面积最大时，此时的面积最小，计算，代入即可． 【详解】解：①连接， ，， ， 是边上的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形；故①正确； ②， ， ． 四边形的面积保持不变；故②正确； ③， 当时，的值最小为4，此时的值最小，的最小值为，故③错误； ④当面积最大时，此时的面积最小， ，， ， ， 此时． 故④正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，根据条件，利用平方差公式，代值求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据题意，作，根据角平分线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，，即，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，中，，作的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘方运算，积的乘方逆运算．根据有理数乘方运算的意义可得，再利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】可以先运用完全平方和公式及多项式乘以多项式运算法则展开，再由多项式相等求出，代入代数式由有理数加减运算求解即可得到答案．也可以根据所求代数式与条件的特征，取特殊值得到答案． 【详解】解：方法一：利用乘法公式展开 ， ， ， ； 方法二：取特殊值法 ， 求的值，可以取得到， 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及整式乘法运算、完全平方和公式、多项式乘以多项式、多项式相等等知识，熟记整数乘法运算展开是解决问题的关键． 17. 如图，中，，，P是上任意一点，于点M，于点N，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，如图，连接，过点B作于点T，利用三角形的面积公式证明，求出即可解决问题，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 【详解】连接，过点B作于点T， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2． 18. 在如图所示的钢架结构中，，为加固钢架，在的内部焊上等长的钢条，……，若且恰好用了4根钢条，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查等边对等角及三角形外角的性质，不等式的应用，理解题意是解题关键． 根据等边对等角得出，，，，再由三角形外角的定义得出，，，结合题意得出不等式组即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， 为的外角，为的外角，为的外角， ∴，，， ∵要使得这样的钢条只能焊上4根， ∴， ∴且， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据整式乘除混合运算，从左到右，先计算乘法、再计算除法，熟练掌握单项式乘以单项式、单项式除以单项式的运算法则即可得到答案； （2）先由完全平方差公式、平方差公式展开，再去括号，最后合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及整式乘除混合运算、单项式乘以单项式、单项式除以单项式、完全平方差公式、平方差公式及整式加减混合运算等知识，熟练掌握整式混合运算法则求解是解决问题的关键． 20. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）直接提取公因式进行分解因式即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，在和中，与交于点，且，． 求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据已知得出，进而证明根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴的对称图形，并写出三个顶点的坐标； （2）在x轴上找一点P，使，直接写出点P的坐标； （3）在第二象限找一点Q，使的面积等于的面积，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） 则即为所求，如图：，，； （2） 解：，作线段的垂直平分线，交轴于点，此时，则点即为所求，如图： （3） 点，即为所求的点，如图： 点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、线段垂直平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）作线段的垂直平分线，交轴于点，则点 即为所求，即可得出答案． （3）过点作的平行线，在第二象限中交网格于点，，，与同底等高，所以它们的面积相等，则点，均满足题意，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： -----第1步 ------------------------------------第2步 ----------------------------第3步 小颖的解法： ------第1步 -------------------------第2步 --------------------------第3步 任务： （1）老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则解答正确的同学是______； （2）老师认为两名同学的解答过程都有道理： 小彬同学的第步依据是运用了______公式； 小颖同学的第步依据是运用了______公式； （3）请你按照做错同学的思路，写出正确的解答过程． 【答案】（1）小彬 （2）完全平方，平方差 （3） ． 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法进行因式分解、完全平方公式、平方差公式等知识点，熟练掌握上述公式是解题的关键． （1）利用因式分解的公式法解答即可； （2）利用因式分解的公式法解答即可； （3）利用平方差公式解答即可． 【小问1详解】 解：小彬的解答是正确的． 故答案为：小彬； 【小问2详解】 解：小彬同学的第1步依据是运用了完全平方公式； 小颖同学的第1步依据是运用了平方差公式； 故答案为：完全平方；平方差； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，于点D，平分交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质等知识点， （1）根据角的和差及直角三角形的性质求出， 再根据“等角对等边”即可得证； （2）根据线段垂直平分线的判定与性质求出．再根据等边三角形的判定与性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据线段的和差求解即可； 熟练掌握等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵于点D，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）可知， ∴． ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 25. 数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】 （1）如图1，，即为等边三角形，D，E分别是上的点，且．求证：； 【实践探究】 （2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且．当的值最小时，求的度数．（直接写出答案） 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作于点M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明； （2）过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到结论． （3）在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接． ∵， ∴， ∴， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别为x轴、y轴上两点，且．点C是x轴上的一个动点，连接，并以为边在的右侧作等边． （1）如图①，当点D恰好在x轴上时，请判断线段和的数量关系，并结合图①证明你的结论； （2）如图②，当点D不在x轴上时，连接，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论； （3）如图③，设点B关于x轴的对称点为M，连接交x轴于点N． 猜想：当点C在射线上移动时，的值是否发生改变？若不改变，请直接写出的值；若发生改变，请简要说明理由． 【答案】（1） ，证明： 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （2） 结论成立， 证明：作于点， ． ， ， ，， ， 在中，， 垂直平分， ； （3）不改变， 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质证出，则可得出结论； （2）作于点，，得出，证出垂直平分，则可得出结论； （3）连接，，证出，，由（2）知，得出垂直平分，则，由直角三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：不会发生改变，． 连接，， 点关于轴的对称点为， ，， ， 是等边三角形， ，， 由（2）知， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，所对的直角边是斜边的一半等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $