精品解析：江苏省盐城市建湖县2024-2025学年上学期期中调研八年级数学试卷

2024-2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试题 （时间：100分钟 试卷满分：120分 考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 4的平方根是（　　） A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 16 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果等腰三角形的两边长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 25 D. 17或22 5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在正方形网格中，到两边距离相等的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，在中，，，，点C为线段上一动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 9. 27的立方根为_____． 10. 若等腰三角形有一个内角为，则该等腰三角形的底角为_______． 11. 如图，，则的度数为__________． 12. 如图，在中，，平分并交于点，则______． 13. 如图在中，，平分交于点，且，则点到的距离是_________． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∠A＝30°，CD＝4cm，那么BC＝_____cm． 15. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 16. 在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．） 17. 已知一个正数x的两个不同的平方根分别是和． （1）求m的值； （2）求的立方根． 18. 已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 19. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用无刻度的直尺画图）． （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； （2）的面积是________； （3）在上画出点Q，使最短． 20. 如图，已知：，，求的面积 21. 已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得． 22. 如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． （1）若长为16，求的周长； （2）若，求的度数． 23. 如图，四边形中，，E，F分别是对角线的中点，连接． （1）求证； （2）当，时，求的长． 24. 综合与实践 【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？ 【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形． 【探索新知】 （1）从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形的面积，并写出得到等式的过程． （2）如果满足等式的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数．已知m、n是正整数且，证明：、、是勾股数． 【灵活运用】 （3）在如图所示的五边形中，若，，则空白部分的面积为________． （4）请写出任意一组含有85的“勾股数”：________． （5）小明在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是________、________． 25. 已知：点D为等边内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到． （1）如图1，连接、．求证：； （2）如图2，连接，若B、D、E三点共线，求的度数； （3）如图3，点D在的高上运动，连接，若，则的最小值为________． （4）如图4，若，，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试题 （时间：100分钟 试卷满分：120分 考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 4的平方根是（　　） A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±2 ）2=4， ∴4的平方根是±2， 故选A． 【点睛】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键. 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性结合实际问题进行解答． 【详解】解：屋顶支撑架，自行车脚架，旧门钉木条都是利用了三角形的稳定性， 伸缩门是利用了四边形的不稳定性， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形． 4. 如果等腰三角形的两边长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 25 D. 17或22 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①若4为腰长，9为底边长， 由于，则三角形不存在； ②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：B． 5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边，小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 6. 如图，，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，根据性质直接得到． 【详解】∵，， ∴， 故选B． 7. 如图，在正方形网格中，到两边距离相等的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等． 【详解】解：由图可知，平分， ∴点F到两边距离相等， 故选：B． 8. 如图，在中，，，，点C为线段上一动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理得，根据垂线段最短，可知当时，最小，根据面积法即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，最小， 此时 解得， ∴的最小值为4.8． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 9. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 10. 若等腰三角形有一个内角为，则该等腰三角形的底角为_______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据三角形的内角和为，可得只能为顶角，从而可求出底角． 【详解】解：∵， ∴为三角形的顶角， ∴底角为：． 故答案为：． 11. 如图，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，然后结合图形利用角的和差关系得出． 【详解】解： ， ． 12. 如图，在中，，平分并交于点，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知为的中线，继而可得出的长度． 【详解】解：，平分， ， ， 故答案为：10． 13. 如图在中，，平分交于点，且，则点到的距离是_________． 【答案】##5厘米 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， ，平分交于点，， ， 点到的距离是， 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∠A＝30°，CD＝4cm，那么BC＝_____cm． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质求出AB的长，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝4cm， ∴AB＝2CD＝8（cm）， ∵∠A＝30°， ∴BC＝AB＝4（cm）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 15. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 16. 在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分三种情形，分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1中，当，时，满足条件． 如图2中，当，时，可得， ∴． 如图3中，当，时，， ∴， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．） 17. 已知一个正数x的两个不同的平方根分别是和． （1）求m的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）5 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查立方根、平方根，掌握立方根、平方根的定义是关键． （1）根据正数的平方根的性质即可得出答案； （2）先求出的值，再根据立方根的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）得，， 的立方根为， 的立方根为． 18. 已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得证． 【详解】略 19. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用无刻度的直尺画图）． （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； （2）的面积是________； （3）在上画出点Q，使最短． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3） 点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）利用网格的特点结合三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）根据轴对称确定最短路线问题，连接与DE的交点即为所求的点Q． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积； 【小问3详解】 连接，与直线相交于点Q． 20. 如图，已知：，，求的面积 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理，得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 21. 已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，点E即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法进行解答即可； （2）作的垂直平分线，交于点E，连接，由垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得，再根据三角形外角的性质得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． （1）若长为16，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据对顶角相等、直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质计算即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵分别垂直平分和 ∴， ∴的周长 ． ∵， ∴的周长为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，四边形中，，E，F分别是对角线的中点，连接． （1）求证； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵，E为中点， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）由直角三角形中线的性质可得，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明； （2）由（1）得，，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，E，F分别是对角线的中点，， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质及等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；等腰三角形底边的中线、底边的高与顶角的角平分线“三线合一”． 24. 综合与实践 【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？ 【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形． 【探索新知】 （1）从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形的面积，并写出得到等式的过程． （2）如果满足等式的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数．已知m、n是正整数且，证明：、、是勾股数． 【灵活运用】 （3）在如图所示的五边形中，若，，则空白部分的面积为________． （4）请写出任意一组含有85的“勾股数”：________． （5）小明在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是________、________． 【答案】 （1）如图所示： 方法一： 方法二： ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵m、n是正整数且， ∴、、都是正整数， ∴、、是勾股数； （3）48； （4）85，3612，3613（答案不唯一）； （5）； 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股数，准确识图，理解勾股数，熟练掌握勾股定理，根据不同的方法求出同一个图形的面积是解决问题的关键． （1）方法一：，方法二：，由此可得出结论； （2）根据即可得出结论； （3）由（1）中的方法一得，得，再求出，由此可得图中空白部分的面积； （4）不妨假设，m、n是正整数且，则，①当，时得，，进而可得到一组勾股数；②当，时得，，进而可得到一组勾股数（答案不唯一）； （5）根据即可得出另两个表达式． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵，， 由（1）可知：， 又∵， ∴图中空白部分的面积为：， 故答案为：48； （4）不妨假设，m、n是正整数且， ∴， ①当时，解得：， ∴，， ∴85，3612，3613是一组勾股数； ②当时，解得：， ∴，， ∴85，132，157是一组勾股数， 故答案为：85，3612，3613（答案不唯一）； （5） ， ∴另两个表达式为：，， 故答案为：，． 25. 已知：点D为等边内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到． （1）如图1，连接、．求证：； （2）如图2，连接，若B、D、E三点共线，求的度数； （3）如图3，点D在的高上运动，连接，若，则的最小值为________． （4）如图4，若，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴； （2） （3）2 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再证明，即可得结论； （2）由（1）知，可得，，即可求出； （3）连接，证得，从而得出点E的运动轨迹，当垂直于该直线时，最小进而求得最小值． （4）将绕点A逆时针旋转到，连接，由得得到是等边三角形，由，得到，即可求出； 本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵B、D、E三点共线， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解：连接， 由（1）知， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴点E在过点C且与垂直的直线上运动， ∴当垂直于该直线时，最小图中点， ∵， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2； 【小问4详解】 解：将绕点A逆时针旋转到，连接． ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $