4.第四章 三角形(教师用书)-【加速度中考】2025年青海中考备考加速度数学课堂精练本

第四章 三角形 第16节线段、角、相交线与平行线 (4一6分) 交中考真题明考向 命题点)线与角 A.∠AOC与∠BOD互为对 1.[2022青海，6]数学课上老师用双手形象的表示了 顶角 “三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直 B.∠ACC与∠COE互为余角 线，食指代表截线.从左至右依次表示 (D) C.∠COE与∠AOD互为邻 會 补角 第3题图 D.∠BOD与∠COE互为 第1题图 余角 A.同旁内角、同位角、内错角 命题点2平行线的性质与判定 B.同位角、内错角、对顶角 4.[2024青海，3]如图，一个弯曲管道AB∥CD, C.对顶角、同位角、同旁内角 ∠ABC-120°，则∠BCD的度数是 (C) D.同位角、内错角、同旁内角 A.120 B.30 C.60° D.150 2.[2023青海，3如图，直线AB,CD相交于点O, D D ∠AOD=140°，则∠AOC的度数是 (A) A.40° B.50 C.60 D.709 D 第4题图 第4一1题图 4一1.变围形·改变管道方向如图，一个弯曲管道 BACD的拐角∠BAC=130°，要保证管道AB∥ CD,则∠ACD的度数是 (C) 第2题图 第2一1题图 A.120°B.50°=C.130 D.150 2一1.变围形·增加线段如图，直线AB与直线CD, 5.[2024西宁期末]如图，当∠1=∠DEF时， EF相交，CD∥EF,图中与∠1互补的角的个数 AB∥EF. 为 (D) A.1 B.2 C.3 D.4 3.[2024西宁期末]如图，直线AB,CD相交于点O, OE⊥OB.下列结论错误的是 (C) 第5题图 情境夯基础 打牢根基学圾枝心知识 2.[2024北京]如图，直线AB和CD相交于点O, 1.[2024湖北]如图，一条公路的两侧铺设了AB. OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB的大小为 CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若 (B) ∠1=120°，则∠2的度数是 (B) B 第1题图 第2题图 A.50° B.60° C.70° D.80° A.29° B.32° C.45 D.58 839 3.[2024淄博]如图，已知AD∥BC,BD平分 令情境提思维 综合找升灵活远州如识 ∠ABC.若∠A=110,则∠D的度数是(C) 8.[2024常州们如图，推动水桶，以点O为支点，使 A.40° B.36 C.35 D.30 其向右倾斜.若在A处分别施加推力F1,F2,则 D F,的力臂OA大于F:的力臂OB.这一判断过 程体现的数学依据是 (A) 1入 人23 B 第3题图 第4題图 4.[2024深圳门如图，一束平行光线照射平面镜后反 射，若入射光线与平面镜夹角∠1=50°，则反射 光线与平面镜夹角∠4的度数为 (B) 第8题图 A.40° B.50 C.60 D.70 A.垂线段最短 5.[2024海南]如图，直线m∥1，把一块含45角的直 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 角三角板ABC按如图所示的方式放置，点B在 C.两点确定一条直线 直线n上，∠A=90°.若∠1=25°，则∠2=(D D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行 9.骑学种·物理[2024达州门当光线从空气射入水中 时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折 射现象（如图所示），图中∠1=80°，∠2=40°，则 第5题图 A.70° B.65 C.25° D.20° ∠3的度数为 (B) 6.[2024呼和浩特]如图，直线1和L:被直线l3和 1,所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，则∠4的度 数为 (B) 第9题图 A.30 B.40°=C.50° D.70 10.传学种·物理[2024山西]一只杯子静止在斜面上， 其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下， 第6题图 支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力F的方 A.75° B.105° C.115° D.130 向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦力 7.[2024福建]在同一平面内，将直尺、含30°角的三 角尺和木工角尺(CDDE)按如图方式摆放，若 F2与重力G方向的夹角3的度数为 (C) AB∥CD,则∠1的大小为 (A) G 第10题图 第7题图 A.30° B.45 D.75° A.155° B.125 C.115 D.65 C.60 0 第17节 三角形及其性质 (3分) 之中考真题明考向 命题点)三角形的三边关系 2一1.变点据·增加线段如图，(O℃平分∠AOB, 1.[2022西宁，2]若长度是4,6，a的三条线段能组 ∠AOC=15°，PE∥OB交OA于点E,PD⊥OB, 成一个三角形，则a的值可以是 (B) 垂足为D.若PD=3,则OE的长度为(D) A.2 B.5 C.10 D.11 A.4 B.33 C.3+23D.6 1一1.度数据·增加线段长度为9,4,6，a的四条线段，选3.[2023青海，15]如图，在△ABC中，DE是BC的 其中3条组成三角形.若a=5,则选法有(C) 垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周 A.1种 B.2种C.3种 D.4种 长是13 命题点2三角形中的重要线段 2.[2024青海，6]如图，QC平分∠AOB,点P在OC上， PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离是(C) A.4 B.3 C.2 D.1 第3题图 第3一1题图 3一1.度多件·垂直平分线变为中线如图，在△ABC中， ∠ABD=∠CBD,E为BC的中点.若BC=8, D 点D到AB的距离为3，则△CDE的面积 第2题图 第2一1题图 为6· 孕情境夯基础 打牢根基学圾核心知识 弧，交AC于点E,再分别以B,E为圆心，大于 1.[2024兰州门如图，小张想估 测被池塘隔开的A,B两处 号BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交 于点F,作射线AF,则∠DAF=10 景观之间的距离，他先在 AB外取一点C,然后步测出 径情境提思维 统合找升灵活运用知识 AC,BC的中点D,E,并步测 4.魏律探究[2024达州门如图，在△ABC中，AE1, 出DE的长约18m,由此估 第1题图 BE分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分 测A,B之间的距离约 (C) 线，且∠EAD=3∠CAB,∠EBD=3∠CBD, A.18mB.24mC.36m D.54m 在△ABE中，AE2,BE分别是内角∠EAB,外 2.[2024凉山州们如图，△ABC中，∠BCD=30°， ∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB 角∠EBD的三等分线，且∠EAD=3∠EAB, 的平分线，则∠AEB的度数是100°. ∠EBD=3∠EBD…以此规律作下去，若 ∠C=m,则∠E= D 第2题图 第3题图 E 3.[2024宿迁]如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C 30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画 第4题图 41 微专题3与中点、角平分线有关的辅助线作法 类型1与中点有关的辅助线作法 方法点拨 1.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O,若∠BAD= 1.构造中位线 ∠BCD=90°，BD=8,则AC的长可能是 (C) 过点D作 A.11 B.9 C.7 D.10 DE∥BC 或作Dr∥AC 图① 作AE∥DC.D 第1题图 第2题图 2.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，其中 图② F为定点.连接AE,EF.M,N分别是AE,EF的中点，连接 2.构造中线 MN.如果点E在边BC上从左向右移动，那么下列结论成立的 构造直角三 角形斜边上 是 (B) 0 的中线 A.线段MN的长逐渐增大 B B.线段MN的长不变 图③ C.线段MN的长逐渐减小 D.线段MN的长的变化情况无法确定 连接4D 3.如图，在△ABC中，AB=AC=16,BC=12,AF⊥BC于点F, 等腰三角形 BE⊥AC于点E,D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的 …三线合一 B D B D 长为 (C) 图④ 3.倍长线段 (1)如图⑤，延长AD到点E,使 DE-AD:或作CE∥AB交AD的延长 线于点E 第3题图 A.7 B.8 C.55 D.73 倍长AD D 4.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,BC的中点，连接 EC,FD,G,H分别是边EC,FD的中点，连接GH.若AB=6, 图⑤ BC=8,则GH的长度为 (C) (2)如图⑥，延长ED到点F,使 A.4 B.3 C.2.5 D.2 DF=ED;或作CF∥BE交ED的延长 D 线于点F G B 倍长ED 第4题图 第5题图 5.如图，在□ABCD中，AB=6,AD=8,点E,F分别是AB,BC 图 的中点，AF与DE相交于点G,则哈架的值是 12 类型2与角平分线有关的辅助线作法 学法点拨 6.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥BC, 1.如图①，在△ABC中，AD为 交AC于点E.若DE=4,AE=5,则AC= (C) ∠BAC的平分线，作DE∥AC. A.7 B.8 C.9 D.10 D 图① 结论：∠EDA=∠DAC=∠DAE, ED-EA. 第6题图 第7题图 2.如图②，OM平分∠AOB,过点A 7.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A= 作AC∥MO交直线BO的延长线于 ∠ABD.若BD=1,BC=3,则AC的长为 (A)点C A.5 B.4 C.3 D.2 8.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40，其三 条角平分线将△ABC分为三个三角形，则So:Sm: S△c0= (C) 图② 结论：△AOC为等腰三角形. A.1:1:1 B.12:3 C.2:3:4 D.3:4:5 3.如图③，M为∠ABC的平分线上 一点，过点M作∠ABC两边的垂线 ME.MF. 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，BC=7cm,BP,CP分别是∠ABC和 图③ ∠ACB的角平分线，且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长 结论：△BEM色≌△BFM, 是7cm. 4.如图④，M为∠ABC的平分线上 一点，过，点M作角平分线的垂线，分别 10.如图，AD∥BC,AE平分∠BAD,E为DC的中点，AD=3, 交两边于点E,F BC=4,则AB=7 C 图④ 结论：△BEM≌△BFM. 第10题图 5.如图⑤，AD平分∠BAC,过点C 11.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC.若AB=6, 作CE∥AB交AD的延长线于点E,则 AC=4.则CD=2· AB BD AC CD B 因⑤ 第11题图 48 第18节特殊三角形 (2-3分) 中考真题明考向 命题点刀等腰三角形 4.[2022青海，7]如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 1.[2023西宁，16改编]在△ABC中，AB=AC,有一 90°，D是AB的中点，延长CB至点E,使BE= 个角为50°，则△ABC顶角的度数为 (D) BC,连接DE,F为DE中点，连接BF.若AC= A.30 B.50 16,BC=12,则BF的长为 (A) C.80 D.50°或80 A.5 B.4 C.6 D.8 命题点2直角三角形 2.[2022西宁，2改编]若长度是4,6，a的三条线段 能构成一个直角三角形，则a的值为 (D) A.2 B.⑤ C.√13 D.2/13 3.[2024青海，7]如图，在Rt△ABC中，D是AC的中 第4题图 第5题图 点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的长是(A) 5.[2022西宁，15]如图，△ABC中，AB=6,BC=8, A.3 B.6 C.5 D.33 点D,E分别是AB,AC的中点，点F在DE上， 且∠AFB=90°，则EF=1 6.[2022青海，15]如图，在Rt △ABC中，∠ABC=90°， ED是AC的垂直平分线，交 AC于点D,交BC于点E, B E 第3题图 第3一1题图 ∠BAE=10°，则∠C的度数 第6题图 3一1.变图形·增加线段如图，在Rt△ABC中，D是 是40° AC的中点，∠BDC=60°，AC=6,DE⊥AB于 7.[2023西宁，16]在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 点E,则DE= 100,点D在BC边上，连接AD,若△ABD为直角 A.1 B. 3 角形，则∠ADB的度数是90或50°_ 女情境夯基础 打牢根基学趨核心知识 2.[2024自贡]如图，等边三角形ABC钢架的立柱 1.[2024兰州门如图，在△ABC中，AB=AC, CD⊥AB于点D,AB长12m.现将钢架立柱缩短 成DE,∠BED=60°，则新钢架减少用钢(D) ∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB=(B) A.100° A.(24-123)m B.(24-83)m B.115° C.130° D.145 C.(24-6、3)m D.(24-43)m 3.[2023西宁期未]如图，在 B △ABC中，∠C= 90°， ∠A=30°，AB的垂直平分 线DE交AC于点E,AE= D 6,则CE的长是 (C) 第3题图 第1题图 第2题图 A.5 B.4 C.3 D.2 44 4.数化[2024巴中]“今有方池一丈，葭生其中 ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么 央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几 进一步推得AB=AC,即知AB+BD= 何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即 AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+ AC=5.DC=1,BD=BA.BC= (C) BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗？ A.8 B.10 C.12 D.13 基于此，社团成员小民进行了探索研究，发现确 实能推出∠B一∠C,如表是小民证明的部分 步骤 小民 证明：，AD⊥BC, .ADB与△ADC均为直角三角形 D 第4题图 第5题图 根据勾股定理，得… 5.[2024贵州门如图，在△ABC中，以点A为圆心， 【问题解决】 线段AB的长为半径画弧，交BC于点D,连接 (1)完成①的证明： AD.若AB=5,则AD的长为5. (2)把②中小民的证明过程补充完整。 6.[2024西宁期末]若一个直角三角形的两边长分 别为6和8，则其斜边上的中线长为5或1 7.[2024新疆]如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB D 8.若点D在直线AB上（不与点 第9题图 A,B重合)，且∠BCD=30°，则 (1)证明：AD BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°， 第7题图 AD的长为6或12· AD=AD, 在△ADB和△ADC中，∠ADB=∠ADC, 学情境提思维 综合提升灵活透用知识 BD=CD, 8.[2024准安]如图，用9个直角三角形纸片拼成 .△ADB≌△ADC(SAS),.∠B=∠C 个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都 (2)解：补全小民的证明过程如下： 有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线 AD⊥BC, 部分)为l,则下列整数与1最接近的是(B) ,.△ADB与△ADC均为直角三角形， 根据勾股定理得AD十BD=AB,AD+CD AC ∴AB-BD=AC-CD, ..AB+CD=AC+BD. .AB+BD=AC+CD, ∴.AB-CD=AC-BD, 第8题图 ..(AB-CD)=(AC-BD), A.14 B.13 C.12 D.11 ∴.AW-2AB·CD+CD=AC-2AC·BD+BD, 9.[2024滨州节选【问题背景】 AB,D=ACBD,提0 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线 又：∠ADB=∠ADC 合一”性质时发现： ∴.△ADBOO△ADC, ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC,BD=CD,则 ∴∠B=∠C 有∠B=∠C: 45 第19节全等三角形 (未单独考查) 中考真题明考向 命题点全等三角形的判定与性质 直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接 1.[人教八上P37第2题改编]工人师傅常用角尺平 BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE 分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个 之间的数量关系，并说明理由。 任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON,移动 角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重 合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平 分线.工人师傅这么做的原理是一种三角形全 等的判定方法，这种判定方法是 (A) 图① 图② 第3题图 (1)证明：，'△ABC和△ADE是顶角相等的等 腰三角形 ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, ·∠BAC∠DAC=∠DAE-∠DAC, 第1题图 即∠BAD=∠CAE, A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS △ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE 2.条件开效[北师七下P92第9题改编]如图，已知 (2)解：∠AEB=90,AE=BE+2CM.理由 ∠ABC=∠DCB,∠EBC=∠ECB,要使 如下： △ABE≌△DCE,只需添加一个条件是BE ,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， CE(写出-一个即可) ∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°， ,.∠ACD=∠BGE, .△ACD≌△BCE(SAS), .AD=BE,∠ADC=∠BEC 第2题图 ,“△CDE是等腰直角三角形， 3.[2022青海，26]两个顶角相等的等腰三角形，如 ∴.∠CDE=∠CED=45, 果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶 ∠ADC=180°-∠CDE=135°， 点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有 ∴.∠BEC=∠ADC=135, 这个规律的图形称为“手拉手”图形 ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=90° (1)问题发现： ,CD=CE,CM⊥DE 如图①，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰 ∴.DM=ME 三角形，BC,DE分别是底边.求证：BD=CE: ,∠DCE=90°， (2)解决问题： ∴.DM=ME=CM, 如图②，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角 ∴.DE=2CM 形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一条 ∴.AE=AD+DE=BE+2CM 46 女情境夯基础 打牢根基学退拔心知识 孕情境提思维 综合提升灵活运用知识 1.[2024济南]如图，已知△ABC≌△DEC,∠A= 5.[2024成都]如图，△ABC≌△CDE,若∠D=35°， 60°，∠B=40°，则∠DCE的度数为 (C) ∠ACB=45°，则∠DCE的度数为100°. A.40° B.60° C.80° D.100° 第1题图 第2题图 第5题图 第6题图 2.[2024临夏州]如图，在△ABC中，点A的坐标为 (0,1),点B的坐标为(4,1)，点C的坐标为(3,4)， 6.酷论开数[2023西宁二模]如图，正方形格点图中， 点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与 点A,B,C,D,E,F均在格点上.若以D.E,F为 △ABC全等，点D的坐标是(L,4) 顶点的三角形与△ABC全等，请写出一个满足 3.[2024云南]如图，在△ABC和△AED中，AB 条件的F点坐标(1,1) AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证：△ABC7.[2024淄搏]如图，已知AB=CD,点E,F在线段 ≌△AED BD上，且AF=CE. 证明：，∠BAE=∠CAD 请从①BF=DE:②∠BAF=∠DCE:③AF= .∠BAE+∠CAE C℉中，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ∠CAD+∠CAE, 得△ABF≌△CDE. 即∠BAC=∠EAD, 你添加的条件是： (只填写一个序号). 在△ABC与△AED中， 添加条件后，请证明AE∥CF AB=AE, ∠BAC=∠EAD. 第3题图 AC=AD, ∴.△ABC≌△AED(SAS 4.[2024镇江]如图，∠C=∠D=90°，∠CBA 第7题图 ∠DAB. 解：选择①.证明如下： (1)求证：△ABC≌△BAD: AB=CD, (2)若∠DAB=70°，则∠CAB= D U 在△ABF和△CDE中，AF=CE, BF=DE, ∴.△ABF≌△CDE(SSS),.∠B=∠D. 第4题图 .BF=DE, (1)证明：在△ABC和△BAD中， ,BF+EF=DE+EF,即BE=DF ∠C=∠D=90°， AB-CD ∠CBA=∠DAB, 在△ABE和△CDF中，∠B=∠D, AB=BA, BE=DF, '.△ABC≌△BAD(AAS). ∴.△ABE≌△CDF(SAS), (2)20 ∴∠AEB=∠CFD,∴.AE∥CF. 47 第20节 相似三角形（含位似） (23分) 中考真题明考向 命题点相似三角形的判定与性质 3.[浙教九上P164第15题改编]如图，是铁路道口的 1.条件开裁[2024青海，14幻如图，AC和BD相交于 栏杆，AB=1m,BC=4m.当栏杆C端从栏杆水 点O,请你添加一个条件 ∠A=∠C,使得 平位置上升1.6m时，求栏杆A端下降的距离. △AOB∽△COD D B 第1题图 第1一1题图 第3题图 1一1.度议问·求面积如图，AC和BD相交于点O 解：：CE⊥DE,ADDE, △AOB△COD,E,F分别为OA,OB的中点 ·∠CEB=∠ADB=90° OD=2,OB=4,S△=2，则S4边形NFE=6 2.[北师九上P80“想一想”改编]黄 ,∠CBE=∠ABD, 金矩形的宽与长之比为黄金分 ∴.△CBE△ABD, 制比5，在很多艺术品以及 赠器 第2题图 大自然中都能找到它，如图，当 41.6 以黄金矩形ABCD的宽AB为边在矩形ABCD AD' 内部作正方形ABEF时，若AF=5一1，则AD 解得AD=0.4. 的长为2 答：栏杆A端下降的距离为0.4m, 孕情境夯基础 打牢根基学堤核心知识 3.[2024镇江]如图，小杰从灯杆AB的底部B处沿 1.[2024内江]已知△ABC与△DEF相似，且相似比 水平直线前进到达C处，他在灯光下的影长 为1：3，则△ABC与△DEF的周长之比是(B) CD=3m,然后他转身按原路返回到B处，返回 A.1:1B.1:3C.1:6 D.1:9 过程中小杰在灯光下的影长可以是 (D) 2.[2024河南]如图，在□ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,E为OC的中点，EF∥AB交 BC于点F.若AB=4,则EF的长为 (B) D 第3题图 第2题图 A.4.5m B.4 m A B.1 c D.2 C.3.5m D.2.5m 48