第五章二元一次方程组单元测 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第五章《二元一次方程组》 单元综合练习题 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各项中，是二元一次方程的是（　　） A．y+5x B．x+y＝1 C． D．3x+1＝2xy 2．将二元一次方程3x﹣y＝6化成用x的代数式表示y的形式为（　　） A．y＝3x﹣6 B．y＝6﹣3x C．y＝6+3x D．y＝﹣6﹣3x 3．下列各对数值中是方程x+2y＝5的解的是（　　） A． B． C． D． 4．已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组正确的是（　　） A．①×5﹣②×7 B．①×2+②×3 C．①×3﹣②×2 D．①×7﹣②×5 5．已知关于x，y的方程组中，x与y互为相反数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的自变量x与因变量y1，y2的部分对应数值如下表，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y1 … ﹣3 1 5 9 … y2 … ﹣7 ﹣3 1 5 … A． B． C． D．无解 7．若方程组与有相同的解，则a、b的值为（　　） A．2，﹣3 B．2，﹣1 C．3，﹣2 D．﹣1，2 8．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝1，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的周长为l，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为l，则标号为①的正方形的边长为（　　） A．l B．l C．l D．l 10．已知关于x、y的方程组的解为，则直线y＝x+1与直线y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的交点坐标是（　　） A．（4，5） B．（5，4） C．（4，0） D．（5，0） 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若方程3x|m|+（m+1）y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　． 12．在解关于x，y的方程组时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝ 　 　． 13．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则y关于x的一次函数y＝kx+b、y＝mx+n的交点坐标为 　 　． 14．五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每隔x分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x＝　 　分钟． 15．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+6的图象相交于点P，若点P的纵坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解方程组： （1）． （2）． 17．已知关于x、y的方程组（m，n为非零实数），若m+4n＝5，试探究方程组的解x、y之间的关系． 18．已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＝4，求点P的坐标． 19．下面是小聪同学在学完解二元一次方程组后写的一道解二元一次方程组的解答过程，请你认真阅读后完成相应的任务． 解方程组：． 解：由①×2，得2x﹣2y＝﹣10③第一步 由②﹣③，得2x﹣3y﹣（2x﹣2y）＝﹣1第二步 解得y＝﹣1第三步 将y＝﹣1代入①，得x＝﹣6第四步 ∴原方程组的解为． ．第五步任务一：这种解二元一次方程组的方法叫做　 　法，其中第一步的依据是　 　； 任务二：第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　； 任务三：请你写出正确的解答过程． 20．在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S（次/分）与这个人年龄n（岁）满足关系式：S＝an+b，其中a、b均为常数． （1）根据图中提供的信息，求a、b的值； （2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？ 21．【综合与实践】某校组织老师和学生外出参加社会实践活动，让同学们运用所学知识策划租车方案：原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，求参加此次活动的总人数和原计划租用45座客车的数量． 【合作探究】 小聪：“我们可以用二元一次方程组解决这个问题，设外出参加社会实践活动的总人数为x人，原计划租用45座客车的数量为y辆，用含有y的式子表示x，得方程x＝　 　”． 小明：“若租用同样数量的60座客车，说明60座客车也是租用y辆，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，可得坐满的客车数量比y少1，可以表示为 　 　辆，由于每辆车可乘坐60人，所以乘客的总数量为 　 　，这个数量恰好与参加活动的总人数x相等，也可得一个方程”． 【问题解决】 （1）请按顺序写出小聪和小明分析的结论：　 　，　 　，　 　； （2）根据上面的合作探究分析，列出方程组并求出它的解； （3）若45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．若租用同一种车，要使每位参加活动的人都有座位，怎样租车更合算？请直接写出租车的类型和数量即可． 22．解关于x、y的方程组时，甲正确地解得方程组的解为，乙因为把c抄错了，在计算无误的情况下解得方程组的解为． （1）求a、b、c的值； （2）2024c﹣2的值． 23．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段CD对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程中，轿车行驶多少时间，两车相距30千米？ 24．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 　 　． （3）请你用上述方法解方程组． 25．如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与x轴交于点B（4，0），直线l1与l2交于点C（2，n）． （1）求点C的坐标及直线l2的函数表达式； （2）若点D是线段BC上一个动点，点D的横坐标是m，△ADB的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式； （3）在y轴上是否存在点P，使得PB+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．BAACB． 6-10．DCABA． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．1． 12．． 13．（2，6）． 14．4． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）， 由①﹣②得：7y＝7， 解得：y＝1， 把y＝1代入①得：3x+2＝11， 解得x＝3， ∴原方程组的解为：； （2）原方程组变形为：， ，由①×2﹣②得：y＝1， 把y＝1代入②得：2x+3＝7， 解得：x＝2， ∴原方程组的解为：． 17．解：， 由①，得m， 由②，得n（8﹣2x﹣y）． ∵m+4n＝5， ∴（x﹣y﹣1）+4（8﹣2x﹣y）＝5． 整理，得﹣x﹣y+5＝5， ∴x+y＝0． 所以x、y互为相反数． 18．解：（1）由题意可得：y﹣3＝k（2x﹣1） 将（1，6）代入得，6﹣3＝k（2﹣1），解得k＝3 即y﹣3＝3（2x﹣1），化简得：y＝6x 即y＝6x； （2）将点P（m，n）代入得，n＝6m 则，解得， 即． 19．解：（1）根据解方程组的基本方法和基本特点，判断这是加减消元法， 根据等式的基本性质，等式的两边同时乘以同一个数等式不变， 故答案为：加减消元，等式的基本性质． （2）根据题意，解得y＝1，发现求得y值是错误，系数化成1时，符号处理错误， 故答案为：三，解方程2x﹣3y﹣（2x﹣2y）＝﹣1出错；系数化成1时，符号处理错误． （3）解方程组： 由①×2，得2x﹣2y＝﹣10③， 由②﹣③，得2x﹣3y﹣（2x﹣2y）＝﹣1， 解得y＝1， 将y＝1代入①，得x＝﹣4， ∴原方程组的解为 20．解：（1）根据题意，得 解这个方程组，得 所以，a，b＝174． （2）当n＝63时，S63+174＝132（次/分）． 即63岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数为132次/分． 而26156（次/分）＞132（次/分）． 所以，他有危险． 21．解：（1）依题意可得：x＝45y+15，（y﹣1），乘客的总数量为60（y﹣1）； （2）依题意可列方程组为， 解得， 所以，参加此次活动的总人数为240人，原计划租用45座客车5辆； （3）若租用45座客车，则需租6辆才能保证人人有座位，费用为6×220＝1320元每天， 若租用60座客车则需租4辆即可，刚好每辆车都坐满，费用为4×300＝1200元每天，故租用60座客车4辆更合算． 故应租用60座客车4辆更合算． 22．解：（1）由题意知，甲求得方程组的解， 满足方程组，所以有2a+4b＝9，6﹣4c＝﹣2， 解得：c＝2； 乙因抄错了c而得到的解， 必是ax+by＝9的解，即4a﹣b＝9； 联立得：， 解方程组得：， 故a＝2.5，b＝1，c＝2； （2）当时， 原式 ． 23．解：（1）由图象可得， 货车的速度为300÷6＝50（千米/小时）， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是50×5＝250（千米）， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是250千米； （2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b， ∵点C（3，90），点D（5，300）， ∴ 解得． 即线段CD对应的函数表达式是y＝105x﹣225（3≤x≤5）； （3）当x＝3时，两车之间的距离为：50×3﹣90＝70， ∵70＞15， ∴在轿车行进过程，两车相距30千米时间是在3～5之间， 由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝50x， 则|50x﹣（105x﹣225）|＝30， 解得x1，x2， ∵轿车比货车晚出发1.5小时，1.5（小时），1.5（小时）， 答：在轿车行进过程，轿车行驶小时或小时，两车相距30千米． 24．解：（1）对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）∵方程组的解是， ∴， 解得：． （3）依题意，令m＝x+y，n＝x﹣y则原方程组为， 即 ①×2﹣②×3得，﹣4n+9n＝﹣75 解得：n＝﹣15， ①×3﹣②×2得，9m﹣4m＝﹣50， 解得：m＝﹣10 ∴ ③+④得，2x＝﹣25， 解得： ③﹣④得，2y＝5， 解得：， ∴原方程组的解为． 25．解：（1）∵直线l1：y＝x+2过点C（2，n）， ∴n＝2+2＝4， ∴C（2，4）， ∵直线y＝kx+b过B（4.0），C（2，4）， ∴，解得， ∴直线l2的函数表达式为y＝﹣2x+8； （2）设D坐标是（m，h）， ∵D（m，h）在直线y＝﹣2x+8上， ∴h＝﹣2m+8， ∵直线y＝x+2与x轴交于点A， ∴y＝0时x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6， ∵S△ADB6h ＝3h ＝3（﹣2m+8） ＝﹣6m+24， ∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣6m+24； （3）如图，作出B关于y轴的对称点B′，连接B′C，与y轴的交点即为P点，此时，PB+PC在值最小， ∵B（4，0）， ∴B′（﹣4，0）， ∴C（2，4）， ∴B′C2， ∴PB+PC的最小值为2， 设直线B′C的解析式为y＝k′x+b′， ∴，解得， ∵直线B′C的解析式为yx， 令x＝0，则y， ∴P点坐标（0，）。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$