考前专项复习8 投影与识图-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学专项（青岛版）

　－４８　－ ３０ｃｍ。在Ｒｔ△ＯＤＥ中，ｓｉｎ∠ＤＯＥ＝ ＤＥ ＯＥ ＝１５ ３０ ＝１ ２ ， ∴∠ＤＯＥ＝３０°。同理可得∠ＣＯＦ＝３０°。∴∠ＥＯＦ＝ １８０°－３０°－３０°＝１２０°。 ∴∠ＥＯＦ对应的弧长为 １２０π×３０ １８０ ＝２０π（ｃｍ）。 ∴此扇形纸片围成的圆锥形帽子的底面圆的周长为 ２０πｃｍ。 １７．解：∵底面积为２π×１０２＝２００π（ｃｍ２）， 侧面积为２π×１０×２０＝４００π（ｃｍ２）， ∴２００π＋４００π＝６００π（ｃｍ２）。 ∴这个圆柱体的表面积为６００πｃｍ２。 １８．解：（１）如图，连接 ＢＣ，ＯＢ，ＯＣ，过点 Ｏ作 ＯＤ⊥ＢＣ， 垂足为Ｄ。 ∵∠ＢＡＣ＝６０°，ＯＢ＝ＯＣ＝槡３，ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ＝１２０°，∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝３０°， △ＡＢＣ是等边三角形。 在Ｒｔ△ＢＯＤ中，ｃｏｓ∠ＯＢＤ＝ ＢＤ ＯＢ ＝ＢＤ 槡３ ＝槡３ ２ ， ∴ＢＤ＝ ３ ２ 。 ∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝２ＢＤ＝２× ３ ２ ＝３。 ∴这个扇形的半径为３。 （２）设所围成圆锥的底面圆的半径为ｒ。 根据题意，得 ６０×π×３ １８０ ＝２πｒ。解得ｒ＝ １ ２ 。 故所围成圆锥的底面圆的半径为 １ ２ 。 １９．解：（１）剩下部分折成的无盖长方体盒子的体积为 ｘ（６０－２ｘ）（４０－２ｘ）ｃｍ３， 当ｘ＝５ｃｍ时，无盖长方体盒子的体积＝５×（６０－１０） ×（４０－１０）＝７５００（ｃｍ３）。故答案为７５００。 （２）根据题意，得６０－２ｘ＝２（４０－２ｘ）。 解得ｘ＝１０。 ∴６０－２ｘ＝４０，４０－２ｘ＝２０。 ∴该无盖盒子的体积为４０×２０×１０＝８０００（ｃｍ３）。 ∴该无盖盒子的体积为８０００ｃｍ３。 ２０．解：（１）９　５ （２）补全三棱柱的侧面展开图如图。（答案不唯一） （３）由图形可知没有剪开的棱有４条，则至少需要剪 开９－４＝５（条）棱。 需剪开棱的棱长的和的最大值为 ７×３＋５×２＝ ３１（ｃｍ）。故答案为５；３１。 ２１．解：（１）圆柱 （２）圆柱的体积＝底面积×高， ①当ｘ＝４时，Ｖｙ＝πｘ ２ｙ＝９６π，解得ｙ＝６。 此时ｘ＋ｙ＝１０，即ａ＝１０； 当ｘ＝２时，ｙ＝１０－２＝８，ｍ＝πｙ２ｘ＝π×８×８×２＝１２８π； 当ｘ＝６时，ｙ＝１０－６＝４，ｎ＝πｘ２ｙ＝π×６×６×４＝１４４π。 故答案为１０；１２８π；１４４π。 ②Ｖｙ＝πｘ ２ｙ＝πｘ２（１０－ｘ），当 ｘ逐渐增大时，Ｖｙ的变 化为先增大，后减小。 ③Ｖｙ＝πｘ ２ｙ＝πｘ２（１０－ｘ），Ｖｘ＝πｙ ２ｘ＝π（１０－ｘ）２ｘ， 当Ｖｙ≥Ｖｘ时，πｘ ２（１０－ｘ）≥π（１０－ｘ）２ｘ，解得 ｘ≥５。 ∴５≤ｘ＜１０。 当Ｖｙ＜Ｖｘ时，πｘ ２（１０－ｘ）＜π（１０－ｘ）２ｘ，解得０＜ｘ＜５。 综上所述，５≤ｘ＜１０时，Ｖｙ≥Ｖｘ；０＜ｘ＜５时，Ｖｙ＜Ｖｘ。 ２２．解：（１）圆锥的底面周长与其侧面展开图的弧长 相等。 ∵ ｎπｌ １８０ ＝２πｒ，ｒ＝３，ｌ＝９， ∴ｎ＝ １８０×２π×３ ９π ＝１２０。故答案为相等；１２０。 （２）由圆锥的底面周长等于扇形 ＢＯＢ′的弧长，得 ２πｒ＝ ｎπｌ １８０ ，∴ｎ＝ ２πｒ×１８０ πｌ ＝３６０ｒ ｌ 。 （３）如图是圆锥形生日帽的侧面展开图。 ∵ｌ＝６ｃｍ，ｒ＝ １ ２ ＡＢ＝３ｃｍ，∴ｎ＝ ３６０×３ ６ ＝１８０。 ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为１８０°。 ∴∠Ａ′ＰＣ＝ １ ２ ×１８０°＝９０°。 ∵ＰＡ′＝ＰＢ＝６ｃｍ，∴ＰＣ＝ １ ２ ＰＢ＝３ｃｍ。 在Ｒｔ△Ａ′ＰＣ中， Ａ′Ｃ＝ ＰＡ′２＋ＰＣ槡 ２＝ ６２＋３槡 ２＝槡３５（ｃｍ）， ∴彩带长度的最小值为２Ａ′Ｃ＝槡６５ｃｍ。 考前专项复习八 投影与识图 １．Ｄ　２．Ｄ ３．Ｂ　【解析】如图所示，当人从灯向墙运动时，她在墙 上的影子的大小变化情况是变小。故选Ｂ。 ４．Ｂ ５．Ｂ　【解析】∵当小亮走到灯下以前，ｌ随ｓ的增大而减 小；当小亮走到灯下以后再往前走时，ｌ随 ｓ的增大而 增大，∴用图象刻画出来应为Ｂ。故选Ｂ。 ６．Ｂ ７．Ｂ　【解析】一天中太阳位置的变化规律：从东到西。 太阳的高度变化规律：低→高→低。影子位置的变化 规律：从西到东。影子的长短变化规律：长→短→长。 根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序 是②④①③⑤。故选Ｂ。 ８．Ｃ ９．Ｂ　【解析】如图，∵点Ｐ（２，４），Ａ（１，２），Ｂ（４，１）， 设直线ＰＡ的表达式为ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ１，直线ＰＢ的表达式 为ｙ２＝ｋ２ｘ＋ｂ２。 ∴ ２ｋ１ ＋ｂ１＝４， ｋ１＋ｂ１＝２，{ ２ｋ２＋ｂ２＝４， ４ｋ２＋ｂ２＝１。{ 解得 ｋ１＝２， ｂ１＝０，{ ｋ２ ＝－３ ２ ， ｂ２＝７。 { ∴ｙ１＝２ｘ，ｙ２＝－ ３ ２ ｘ＋７。 在ｙ１＝２ｘ中，当ｙ＝０时，ｘ＝０，则点Ａ′（０，０）； 在ｙ２＝－ ３ ２ ｘ＋７中，当ｙ＝０时，ｘ＝ １４ ３ ，则点Ｂ′（ １４ ３ ，０）。 ∴Ａ′Ｂ′＝ １４ ３ 。故选Ｂ。 １０．Ａ　【解析】底层正方体最少有 ３个，第二层正方体 最少应该有２个，因此这个几何体最少由 ５个小正 方体组成。故选Ａ。 １１．中心　１２．π １３．１２　【解析】设旗杆的高度为ｘｍ。 根据题意，得 ｘ ９ ＝０．８ ０．６ 。解得ｘ＝１２， 即旗杆的高度为１２ｍ。 １４．俯视图　【解析】其三视图如下： 主视图 　 左视图 　 俯视图 主视图是轴对称图形，不是中心对称图形；左视图是 轴对称图形，不是中心对称图形；俯视图既是轴对称 图形，又是中心对称图形。 １５．槡８１３　【解析】∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝ ８ｃｍ，Ｂ１Ｃ１＝２４ｃｍ， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ８２＋１２槡 ２＝槡４１３（ｃｍ）。 ∵△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１，∴Ａ１Ｂ１ ∶ＡＢ＝Ｂ１Ｃ１ ∶ＢＣ＝ ２ ∶１。∴Ａ１Ｂ１＝槡８１３ｃｍ。 １６．２４π　【解析】∵几何体的主视图及左视图都是相同 的矩形，俯视图是一个圆， ∴这个几何体是一个圆柱。由俯视图可知，底面圆 的半径为 １ ２ ×４＝２（ｃｍ），由主视图知圆柱的高为 ６ｃｍ。∴该几何体的体积为π×２２×６＝２４π（ｃｍ３）。 １７．解：如图所示。 １８．解：（１）如图所示。 （３）３ １９．解：（１）如图所示，ＥＦ即为所求。 （２）根据题意，得 ５ ３ ＝ＤＥ ６ 。 解得ＤＥ＝１０。 ∴ＤＥ的长为１０ｍ。 ２０．解：（１）③　②　① （２）２０×２０×６＝２４００（ｃｍ２）。 ∴这个几何体的表面积为２４００ｃｍ２。 ２１．解：（１）三棱柱 （２）ａ＝ ５ ２ × １ ｔａｎ３０° ＝槡５３ ２ ，则这个几何体的体积为５× 槡５３ ２ ×１ ２ ×１２＝ 槡７５３（ｃｍ ３）。 ２２．解：（１）（１．８ｘ＋１．２）ｃｍ （２）由三视图可知共有７＋４＋３＝１４（个）菜碟， ∴叠成一摞的高度为１．８×１４＋１．２＝２６．４（ｃｍ）。                                                                                                                                                                                                          －４７－ 　－３０　－ 考前专项复习八 投影与识图 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题 １．下列简单几何体中，俯视图是四边形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３．如图，在一间黑屋子的地面Ａ处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，她在墙上的影子的大 小变化情况是 （　　） Ａ．变大 Ｂ．变小 Ｃ．不变 Ｄ．不能确定 第３题图 　　　　　　　 第４题图 　　　　　　　 第５题图 ４．一个正五棱柱如图摆放，光线由上到下照射，此正五棱柱的正投影是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５．如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小亮由Ａ处径直 走到Ｂ处，他在灯光照射下的影长ｌ与行走的路程ｓ之间的变化关系用图象刻画出来，大致 图象是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６．一个矩形木框在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ７．如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午８时至下午５时之 间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是 （　　） ① 　　 ② 　　 ③ 　　 ④ 　　 ⑤ 　 Ａ．①②③④⑤ Ｂ．②④①③⑤ Ｃ．⑤④①③② Ｄ．⑤③①④② ８．如图１是有五个相同的小正方体粘在一起的几何体，图２是佳佳、音音对几何体分别设计的 不同的操作方案，其中能使左视图保持不变的是 （　　） Ａ．佳佳的方案 Ｂ．音音的方案 Ｃ．两个方案均可 Ｄ．两个方案均不可以 图１ 　　 佳佳的方案 　　 音音的方案 图２ 第８题图 　　　　 第１０题图 ９．在平面直角坐标系中，点Ｐ（２，４）是一个光源。若木杆ＡＢ两端的坐标分别是（１，２），（４，１）， 则木杆ＡＢ在ｘ轴上的投影Ａ′Ｂ′的长是 （　　） Ａ．４ Ｂ． １４ ３ Ｃ． ９ ２ Ｄ．５ １０．在桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则 组成这个几何体的小正方体最少有 （　　） Ａ．５个 Ｂ．８个 Ｃ．１０个 Ｄ．１３个 二、填空题 １１．台灯照射书本所形成的影子属于 （填“平行”或“中心”）投影。 １２．如图，已知圆锥的底面圆的半径为１，则该圆锥的俯视图的面积为 。 第１２题图 　　　　　　 第１３题图 １３．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及 其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度 为 ｍ。 －２９－ 　－３２　－ １４．某机器零件的尺寸标注如图所示，在其主视图、左视图和俯视图中，既是轴对称图形又是中 心对称图形的是 。 第１４题图 　　　 第１５题图 　　　 第１６题图 １５．一块直角三角尺ＡＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝８ｃｍ，测得ＢＣ边的中心投影Ｂ１Ｃ１的长 为２４ｃｍ，投影面与三角尺所在的平面平行，则Ａ１Ｂ１的长为 ｃｍ。 １６．如图是某几何体的三视图，根据图所给各边长度算出该几何体的体积是 ｃｍ３。 （结果保留π） 三、解答题 １７．确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子。 １８．如图是用１０个完全相同的小立方体搭成的几何体。 （１）已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图； （２）若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭 个小立方体。 　　　　　 １９．如图，ＡＢ和ＤＥ是直立在地面上的两根立柱，已知ＡＢ＝５ｍ，某一时刻ＡＢ在太阳光下的影 子长ＢＣ＝３ｍ。 （１）在图中画出此时ＤＥ在太阳光下的影子ＥＦ； （２）在测量ＡＢ的影子长时，同时测量出ＥＦ＝６ｍ，计算ＤＥ的长。 ２０．如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体。 　 ① 　　 ② 　　 ③ （１）①②③三个图形中，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是　　　　、　　　 　、　　　　； （２）若大正方体的棱长为２０ｃｍ，小正方体的棱长为１０ｃｍ，求这个几何体的表面积。 ２１．如图所示的是一个几何体的三视图，俯视图是等边三角形，主视图和左视图均为矩形，其数 　主视图 左视图 俯视图 据信息如图所示（单位：ｃｍ），请解答以下问题： （１）这个几何体的名称为 ； （２）求ａ的值及该几何体的体积。 ２２．学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的菜碟，每一摞菜碟的高度与菜碟的 个数的关系如表所示。 菜碟的个数 菜碟的高度／ｃｍ １ ３ ２ ３＋１．８ ３ ３＋３．６ ４ ３＋５．４ … … （１）把ｘ个菜碟放成一摞时，请直接写出这一摞菜碟的高度： （用含 ｘ的式子 表示）； （２）如图所示是几摞菜碟的三视图，厨师想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度是 多少。 主视图 　　 左视图 　　 俯视图 －３１－