第14章 专题05 整式的乘除 解答题必刷专题训练 -2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题05 整式的乘除-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（原卷版） 1、已知计算的结果中不含和的项，求m、n的值． 2、已知的展开式中不含和项． （1）求的值． （2）先化简，再求值：． 3、（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 4、将完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，ab＝1， 所以（a+b）2＝9，2ab＝2． 所以a2+2ab+b2＝9，2ab＝2． 得a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝50，则xy的值为 　； （2）①若（9﹣x）x＝14，则（9﹣x）2+x2＝　　； ②若（5﹣x）（7+x）＝10，则（5﹣x）2+（7+x）2＝　　； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝21，求图中阴影部分的面积． 5、如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：______，方法2：________； （2）从中你发现什么结论呢？_________； （3）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 6、乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积： 方法1：　， 方法2：　　； （2）观察图2，请你写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：　　； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值； ②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值． 7、【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图（1）所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积． (1)方法一可表示为______；方法二可表示为______； (2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______（等式的两边需写成最简形式）； (3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______； (4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图（2）是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______；（等号两边需化为最简形式） 8、阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 9、乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：　；方法2：　 （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　 （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证： （a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值； ②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值． 10、图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为　． （2）若m+2n＝7，mn＝3，利用（1）的结论求m﹣2n的值． 11、对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算左图的面积可以得到等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2． 请解答下列问题： （1）观察如图2，写出所表示的等式：　　＝　　； （2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝ 12、（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 　　． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为 　　； （ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． 12、（1）填空： ； ； ． （2）猜想： ．（其中n为正整数，且）． （3）利用（2）猜想的结论计算： ① ② 13、阅读下文，寻找规律： 已知：，观察下列各式： ； ； ； ； … (1)填空： ①_________； ②_________． (2)根据你的猜想，计算： ①_________； ②那么的末尾数字为_________． 14、我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例． 这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等． （1）根据上面的规律，（a+b）4展开式的各项系数中最大的数为　 ； （2）求出25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5的值； （3）若（x﹣1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，求出a1+a2+a3+……+a2019+a2020的值． 15、例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”： ， ， ． (1)下列选项中能构成“回文等式”的是______．（填上所有正确的序号） A．与；B．与； C．与；D．与； E.与 (2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 整式的乘除-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（解析版） 1、已知计算的结果中不含和的项，求m、n的值． 【答案】m＝1.5，n＝−10． 【详解】解：（5−3x＋mx2−6x3）•（−2x2）−x（−3x3＋nx−1） ＝−10x2＋6x3−2mx4＋12x5＋3x4−nx2＋x ＝12x5＋（3−2m）x4＋6x3＋（−10−n）x2＋x， 由结果中不含x4和x2项，得到3−2m＝0，−10−n＝0， 解得：m＝1.5，n＝−10． 2、已知的展开式中不含和项． （1）求的值． （2）先化简，再求值：． 【答案】（1）；（2）；． 【详解】（1） ． 展开式中不含和项，．解得． （2） ． 当时，原式． 3、（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】（1）代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系，理由见详解；（2）1；（3）k=20，另一个因式为：． 【详解】解：（1）＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t＝s2＋s． 故代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2）∵（）（）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b， 又∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，=； （3）∵二次三项式有一个因式是， ∴==，∴2m-5=3，5m=k， ∴m=4，k=20，另一个因式为：． 4、将完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，ab＝1， 所以（a+b）2＝9，2ab＝2． 所以a2+2ab+b2＝9，2ab＝2． 得a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝50，则xy的值为 　； （2）①若（9﹣x）x＝14，则（9﹣x）2+x2＝　　； ②若（5﹣x）（7+x）＝10，则（5﹣x）2+（7+x）2＝　　； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝21，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）7； （2）①53； ②124； （3）． 【解答】解：（1）∵x+y＝8，x2+y2＝50， ∴（x+y）2＝64， x2+y2+2xy＝64， 2xy＝64﹣50， 2xy＝14， xy＝7， 故答案为：7； （2）①∵（9﹣x）x＝14， ∴2x（9﹣x）＝28， ∵[（9﹣x）+x]2 ＝（9﹣x+x）2 ＝92 ＝81， ∴（9﹣x）2+x2+2x（9﹣x）＝81， （9﹣x）2+x2＝81﹣2x（9﹣x）， （9﹣x）2+x2＝81﹣28＝53， 故答案为：53； ②∵（5﹣x）（7﹣x）＝10， ∴2（5﹣x）（7﹣x）＝20， ∵[（5﹣x）+（7+x）]2 ＝（5﹣x+7+x）2 ＝122 ＝144， ∴（5﹣x）2+（7+x）2+2（5﹣x）（7+x）＝144， （5﹣x）2+（7+x）2＝144﹣20， （5﹣x）2+（7+x）2＝124， （3）设AC＝x，BC＝y， ∵， ∴x2+y2＝21， ∵AB＝AC+BC＝6， ∴x+y＝6， ∴（x+y）2＝36， x2+y2+2xy＝36， 21+2xy＝36， 2xy＝36﹣21， 2xy＝15， ， ∴阴影部分的面积为：． 5、如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：______，方法2：________； （2）从中你发现什么结论呢？_________； （3）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）①28；②． 【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即， 方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即， 故答案为：，； （2）在（1）两种方法表示面积相等可得，， 故答案为：； （3）①，，又， ； ②设，，则，， ， 答：的值为． 6、乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积： 方法1：　（a+b）2　， 方法2：　a2+b2+2ab　； （2）观察图2，请你写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：　（a+b）2＝a2+b2+2ab　； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值； ②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值． 【答案】（1）（a+b）2，a2+b2+2ab； （2）（a+b）2＝a2+b2+2ab； （3）①ab＝8；②﹣2． 【解答】解：（1）（a+b）2，a2+b2+2ab； （2）（a+b）2＝a2+b2+2ab； （3）①∵a+b＝7，a2+b2＝33，且 （a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴49＝33+2ab， 解得：ab＝8； ②设2023﹣a＝m，a﹣2021＝n，可得 m2+n2＝8，m+n＝2023﹣a+a﹣2021＝2， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn，即4＝8+2mn， 解得：mn＝﹣2， 则（2023﹣a）（a﹣2021）的值为﹣2． 7、【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图（1）所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积． (1)方法一可表示为______；方法二可表示为______； (2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______（等式的两边需写成最简形式）； (3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______； (4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图（2）是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______；（等号两边需化为最简形式） 【答案】(1)；(2)；(3)10 (4) 【解析】(1)方法一可表示为： 方法二可表示为： 故答案为： (2) ， 故答案为： (3) 故答案为：10 (4)方法一可表示为：（a+b）3； 方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3． ∴等式为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3． 故答案为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3． 8、阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2； (2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； (3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29． 【解析】(1)大正方形的面积可表示为=（a+2b）2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2， 所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2， 故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2； (2)大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b）， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2， 所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； (3)①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； ③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29． 9、乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：　（a+b）2　；方法2：　a2+b2+2ab　 （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证： （a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值； ②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图2大正方形的面积＝（a+b）2 图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab 故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab； （2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （3）如图所示， （4）①∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25， ∴a2+b2+2ab＝25， 又∵a2+b2＝11， ∴ab＝7； ②设2018﹣a＝x，a﹣2017＝y，则x+y＝1， ∵（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5， ∴x2+y2＝5， ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2， ∴xy＝＝﹣2， 即（2018﹣a）（a﹣2017）＝﹣2． 10、图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为　（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2　． （2）若m+2n＝7，mn＝3，利用（1）的结论求m﹣2n的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2； （2）（m﹣2n）2＝（m+2n）2﹣8mn＝25， 则m﹣2n＝±5． ∵m﹣2n＝﹣5时，m＝1，n＝3，2m＜2n不符合题意舍弃， ∴m﹣2n＝5． 故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2． 11、对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算左图的面积可以得到等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2． 请解答下列问题： （1）观察如图2，写出所表示的等式：　（a+b+c）2　＝　a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　； （2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图形可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； 故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）∵a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37， ∴2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2） ＝（7x﹣5﹣4x+2﹣3x+4）2﹣37 ＝12﹣37 ＝1﹣37 ＝﹣36． ∴ab+bc+ac＝﹣18． 12、（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 　6　． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为 　6　； （ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． 【答案】（1）6； （2）（i）6；（ii）5． 【解答】解：（1）3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2） ＝3a2﹣6ab+3b2﹣2a2+mab﹣2b2 ＝a2+（m﹣6）ab+b2， ∵不含有ab项， ∴m﹣6＝0， ∴m＝6， 故答案为：6． （2）（i）设正方形BCFG和AEDC的边长分别为a和b，则△AFC的面积为ab． 根据题意，得a+b＝8，a2+b2＝40， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64， ∴ab＝12， ∴S△AFC＝×12＝6， 故答案为：6． （ii）令（9﹣x）＝m，（x﹣6）＝n，则（9﹣x）2+（x﹣6）2＝m2+n2， ∴m+n＝3，mn＝2， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝9， ∴m2+n2＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣6）2＝5． 12、（1）填空： ； ； ． （2）猜想： ．（其中n为正整数，且）． （3）利用（2）猜想的结论计算： ① ② 【答案】（1），，；（2）；（3）①；② 【详解】（1）； ； ； 故答案分别为：，，； （2）由（1）的规律可得：原式， 故答案为：； （3）① ； ②∵ 即 ． 13、阅读下文，寻找规律： 已知：，观察下列各式： ； ； ； ； … (1)填空： ①_________； ②_________． (2)根据你的猜想，计算： ①_________； ②那么的末尾数字为_________． 【答案】(1)①；②；(2)①；②1 【解析】(1)解：①根据规律可得：； ②原式； (2)解：①∵， 把x=2，n=2020代入， 得：， ②∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…， ∵， ∴的末尾数字是2， ∴的末尾数字是1. 14、我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例． 这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等． （1）根据上面的规律，（a+b）4展开式的各项系数中最大的数为　 ； （2）求出25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5的值； （3）若（x﹣1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，求出a1+a2+a3+……+a2019+a2020的值． 【答案】（1）6；（2）﹣1；（3）﹣1 【详解】解：（1）第五行即为1、 4、 6、 4 、1对应（a+b）4展开式中各项的系数， ∴（a+b）4展开式的各项系数中最大的数为6，故答案为6； （2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，．．．．．． 根据展式中的2最大指数是5，首项a =2，末项b=-3, ∴25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5＝[2+（﹣3）]5＝（2﹣3）5＝﹣1； （3）∵（x﹣1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021， ∴当x＝1时，（1﹣1）2020＝a1×12020+a2×12019+a3×12018+……+a201912+a2020×1+a2021， 即a1+a2+a3+……+a2019+a2020+a2021＝0， 当x＝0时，（0﹣1）2020＝a1×02020+a2×02019+a3×02018+……+a2019×02+a2020×0+a2021，即a2021＝1， ∴a1+a2+a3+……+a2019+a2020= a1+a2+a3+……+a2019+a2020+a2021- a2021＝0﹣1＝﹣1． 15、例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”： ， ， ． (1)下列选项中能构成“回文等式”的是______．（填上所有正确的序号） A．与；B．与； C．与；D．与； E.与 (2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明． 【答案】(1)CDE；(2)见解析 【解析】(1)解：A、，，，故该选项不符合题意； B、与不是回文等式，故该选项不符合题意； C、，，所以，故该选项符合题意； D、，故该选项符合题意； E、， ，所以，故该选项符合题意； 所以能构成“回文等式”的是CDE 故答案为：CDE； (2)解：“回文等式”左边（右边）的两个两位数中十位数的积等于个位数的积，理由如下： 设回文等式左边的两个两位数为，，其中a，b，c，d为小于10的正整数， 依题意得：， ，解得：，所以． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$