精品解析：河南省周口市扶沟县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度上期期中考试八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（ ） A. ①对，②不对 B. ①不对，②对 C. ①、②都不对 D. ①、②都对 3. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ） A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 4. 如图所示，以下描述错误的是（ ） A. 点A位于点B北偏西方向 B. 点A位于点C北偏东方向 C. 点C位于点B北偏西方向 D. 5. 在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 7. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在六边形中，，分别平分和，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，为的中线，为的中线，为的中线……按此规律，为的中线．若的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是 _____________． 12. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 13. 如图，，于E，于F，等于140°，_________． 14. 如图，，于点，于点，且，点从点向点运动，每分钟走，点从点向点运动，每分钟走，若、两点同时开始出发，运动_____分钟后． 15. 如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 已已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b-5）2+（c-7）2=0，a为方程|a-3|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 17. 已知，如图，，，于． （1）与相等吗？为什么？ （2）试说明是的高． 18. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图：是等边三角形，点D、E、F分别在边、、的延长线上，且．求证：是等边三角形． 20. 如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 21. 如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． （1）上述问题有哪几个真命题？ （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 22. 感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 23. 【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组对如图所示的课本上的一道例题进行了深入探究，发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平分线上一点作角的平行线构造等腰三角形．如图1，P为∠AOB的角平分线OC上一点，过点P作PD∥OB交OA于点D，易证△POD为等腰三角形． 【基本运用】（1）如图2，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，重合部分△ACE是等腰三角形吗？为什么？ 【类比探究】（2）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线BO与外角∠ACG的角平分线交于点O，过点O作OD//BC分别交AB、AC于点D、点E，试探究线段BD、DE、CE之间的数量关系并说明理由； 【拓展提升】（3）如图4，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，且AE平分∠BAD，连接BE，求证：AE⊥BE． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上期期中考试八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（ ） A. ①对，②不对 B. ①不对，②对 C. ①、②都不对 D. ①、②都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 按角分类为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边的相等关系分为不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；据此即可解答． 【详解】解：按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形，即①正确． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．即②的分类不正确． 故选：A． 3. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ） A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°， ②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质． 4. 如图所示，以下描述错误的是（ ） A. 点A位于点B北偏西方向 B. 点A位于点C北偏东方向 C. 点C位于点B北偏西方向 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方位角，三角形的内角和定理等知识，根据方位角的定义可得出点A位于点B北偏西方向， 点C位于点A南偏西方向，利用三角形内角和定理可求出，然后根据方位角的定义逐项判定即可． 【详解】解∶由图知∶ 点A位于点B北偏西方向， 点C位于点A南偏西方向， ∴点A位于点C北偏东方向，， ∴， ∴点C位于点B北偏西方向， 故选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 5. 在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质和三角形内角和定理，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 【详解】解：∵， A、，则， 解得：，则，故不是直角三角形，不合题意； B、，只能确定是等腰三角形，不一定是直角三角形，不合题意； C、，则， 解得：，故是直角三角形，符合题意； D、，则，故不是直角三角形，不合题意； 故选：C． 6. 如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找出对应角．根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，， ∵两个三角形是全等三角形， ∴， 即， 故选：A． 7. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，在六边形中，，分别平分和，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握多边形内角和，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，六边形的内角和为，则，由分别平分和，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，六边形的内角和为， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， 故选：D． 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 10. 如图，为的中线，为的中线，为的中线……按此规律，为的中线．若的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质，得的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半，找到规律即可求解． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵为的中线 ∴， …… 按此规律，为的中线，则的面积为： 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键，三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是 _____________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据题意，三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 【答案】三条角平分线的交点处 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 13. 如图，，于E，于F，等于140°，_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】三角形的外角的性质以及垂直的定义，推出，再用即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 14. 如图，，于点，于点，且，点从点向点运动，每分钟走，点从点向点运动，每分钟走，若、两点同时开始出发，运动_____分钟后． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，求出和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】解：若时，则， ∴， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 故答案为：4． 15. 如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质 ，解题的关键是掌握“两点之间线段最短”与“点到直线的所有连线当中，垂线段最短”. 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点.作于点， 证明： 的最短距离为，再证明点、、三点共线，，然后根据三角形的面积求解即可. 【详解】解：如图： 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点. ∵平分与交于点， ， ∴由作图可知： ， ∴与关于直线对称， 即点与点关于直线对称， ∵作于点， 交于点， ∴是点到的最短距离， ∴， 作于点， 则， 在与中， ， ， ∴，即. ∴点、、三点共线， ， ∵的面积为 ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 已已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b-5）2+（c-7）2=0，a为方程|a-3|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 【答案】△ABC的周长为17，△ABC是等腰三角形． 【解析】 【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程|a-3|=2的解，即可得到a=5或1，依据三角形三边关系，即可得到a=5，进而得出△ABC的周长，以及△ABC的形状． 【详解】解：∵（b-5）2+（c-7）2=0， ∴， 解得， ∵a为方程|a-3|=2的解， ∴a=5或1， 当a=1，b=5，c=7时，1+5＜7， 不能组成三角形，故a=1不合题意； ∴a=5， ∴△ABC的周长=5+5+7=17， ∵a=b=5， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 17. 已知，如图，，，于． （1）与相等吗？为什么？ （2）试说明是的高． 【答案】（1） ，理由如下： ， ， ； （2） 证明：，， ， ， ， ，即是的高． 【解析】 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同位角相等证明结论； （2）根据平行线的性质得到，根据三角形的概念证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、三角形的高的概念，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 18. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：在与中， ， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 19. 如图：是等边三角形，点D、E、F分别在边、、的延长线上，且．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，证明，得到，即可． 【详解】略 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 20. 如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：是的平分线上一点，，， ，， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； （2）．证明： 是的平分线上一点，， ， ，， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键． （1）先根据是的平分线上一点，，得出，可得出，，，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出是的垂直平分线； （2）先根据是的平分线上一点，可得出，由直角三角形的性质可得出，同理可得出即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． （1）上述问题有哪几个真命题？ （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】（1）命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒① （2） 选择命题1：①②⇒③． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 选取命题2：②③⇒①． 证明: ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三个条件写出真命题即可； （2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，即可得到，进而求出即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角的定义得到，进而得到,然后根据三角形的内角和定理得到即可证明结论． 【小问1详解】 解：上述问题有两个真命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①． 【小问2详解】 略 22. 感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 感悟：证明：∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用：（1）图形如图所示． （2）图形如图所示． AI 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【详解】感悟：略 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 23. 【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组对如图所示的课本上的一道例题进行了深入探究，发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平分线上一点作角的平行线构造等腰三角形．如图1，P为∠AOB的角平分线OC上一点，过点P作PD∥OB交OA于点D，易证△POD为等腰三角形． 【基本运用】（1）如图2，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，重合部分△ACE是等腰三角形吗？为什么？ 【类比探究】（2）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线BO与外角∠ACG的角平分线交于点O，过点O作OD//BC分别交AB、AC于点D、点E，试探究线段BD、DE、CE之间的数量关系并说明理由； 【拓展提升】（3）如图4，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，且AE平分∠BAD，连接BE，求证：AE⊥BE． 【答案】 （1）△AEC是等腰三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是长方形， ∴， ∴∠DCA=∠BAC， 由折叠的性质可知，∠BAC=∠EAC， ∴∠ECA=∠EAC， ∴AE=CE， ∴△AEC是等腰三角形 （2）BD=DE+CE，理由如下： ∵BO，CO分别是∠ABC和∠ABG的角平分线， ∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠GCO， ∵， ∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠GCO， ∴∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO， ∴BD=OD，CE=OE， ∵OD=OE+DE， ∴BD=DE+CE； （3）如图所示，延长AE交点BC延长线于F， ∵， ∴∠F=∠DAE，∠D=∠ECF， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∴∠BAF=∠BFA， ∴BA=BF， ∵E是CD的中点， ∴DE=CE 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AE=EF， ∴BE⊥AE（三线合一定理）． 【解析】 【分析】（1）由，得到∠DCA=∠BAC，由折叠的性质可知∠BAC=∠EAC，则∠ECA=∠EAC， 可以得到AE=CE，由此即可得到答案； （2）由BO，CO分别是∠ABC和∠ABG的角平分线，得到∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠GCO，再由，得到∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠GCO，则∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO，则BD=OD，CE=OE，由此求解即可； （3）延长AE交点BC延长线于F，同理可证BA=BF，然后证明△ADE≌△FCE得到AE=EF，即可得到BE⊥AE（三线合一定理）． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $