精品解析：河北秦皇岛海港区第四中学2024-2025学年上学期第三次质量检测九年级数学试卷

2024－2025学年度九年级数学第一学期第三次质量检测试卷 满分100分；考试时间：90分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 5 2. 已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 3. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A. 3次 B. 5次 C. 6次 D. 7次 5. 已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线经过，，则它的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（ ）m． A. B. C. D. 9. 如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D．下列结论中错误的是（　　） A. PA＝PB B. AD＝BD C. OP⊥AB D. ∠PAB＝∠APB 10. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D为AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为1；其中正确的结论个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 二次函数的图像的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标是______. 14. 抛物线y＝﹣x2＋2关于原点对称的抛物线对应的函数解析式为______． 15. 已知二次函数．当__________时，随的增大而减小． 16. 六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为2，求中间正六边形的面积_____． 三、解答题（共52分） 17. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P． （1）求二次函数的解析式及P点坐标； （2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值． 18. 如图，已知是的直径，点在上，点在外． （1）尺规作图：作的角平分线，与圆交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在你所作的图中，连接，若，求证：是的切线． 证明：连接， ， ① ． ， ② ． 是的直径， ③ ． 即 ④ ． ． 又 ⑤ ． 是的切线． 19. 某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量（件）与售价（元）符合一次函数关系． （1）求每周销量（件）与售价（元）之间的关系式； （2）若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元 （3）商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大最大利润为多少元 20. 如图，在Rt中，，点在上，以为直径的经过上的点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示：_______，_______； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； 22. 如图1，在正方形中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交于点E，交的延长线于点F，点M，N是弧的三等分点（点M在点N的左侧）．将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为（），旋转后，点F的对应点为点． （1）如图2，在旋转过程中，当经过点N时． ①求的度数；并求的长； ②连接，求与的长度，并比较大小；（取1.7，取3） （2）在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，请直接写出点A到切点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度九年级数学第一学期第三次质量检测试卷 满分100分；考试时间：90分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据抛物线与x轴没有交点，知无解，根据根的判别式小于0，列不等式求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， 无解， ， 解得， 故选：D． 2. 已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】比较圆的半径与点P到圆心的距离的大小关系，判断点与的位置关系． 【详解】解：∵， ∴圆的半径大于点P到圆心的距离，则点P与的位置关系是点在内． 故选：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆位置关系的方法． 3. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由拋物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 则根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 4. 如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A. 3次 B. 5次 C. 6次 D. 7次 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点， 设O1O2交圆O1于M， ∴PM=8-3-1=4， 圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切， ∴根据图形得出有5次． 故选B． 5. 已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入中，将函数解析式进行变形，可求定点坐标． 【详解】解：把代入得， ， ∴， ∴ ， 当，即或时，， ∴该抛物线必然还经过定点或． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的点的坐标，掌握二次函数图象上点的坐标以及整体代入的思想是解题的关键． 6. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 7. 若抛物线经过，，则它的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，， ∴对称轴为直线 故选：C． 8. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（ ）m． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴通过以上条件可设顶点式， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：, ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得： ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度当然是增加了米， 故选：B． 9. 如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D．下列结论中错误的是（　　） A. PA＝PB B. AD＝BD C. OP⊥AB D. ∠PAB＝∠APB 【答案】D 【解析】 【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD． 因此A．B．C都正确． 无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的． 综上可知：只有D是错误的． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答． 10. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1-x，根据y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH，求函数关系式，判断函数图象． 【详解】解：依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1， 即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=． 故答案选C ． 11. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D为AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接AE，可得∠AED=∠BEA=90°，从而知点E在以AB为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值． 【详解】如图，连接AE，则∠AED=∠BEA=90°， ∴点E在以AB为直径的⊙Q上， ∵AB=2， ∴QA=QB=1， 当点Q、E、C三点共线时，CE最小， ∵AC=2， ∴QC=， ∴CE=QC-QE=-1， 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题． 12. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为1；其中正确的结论个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由抛物线的开口可知：a＜0， 由抛物线与y轴的交点可知：c＜0， 由抛物线的对称轴可知：﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＞0，故①正确； 令x＝3，y＞0， ∴9a+3b+c＞0，故②错误； ∵OA＝OC＜1， ∴c＞﹣1，故③正确； 观察图象可知关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）＝0的两根：一个根在0与1之间，一个根在3与4之间，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．本题属于中等题型． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 二次函数的图像的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标是______. 【答案】 ①. 向上 ②. ③. 【解析】 【分析】根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标及对称轴； 【详解】∵， ∴图象开口向上； ∵， ∴对称轴是，顶点坐标是； 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，构造完全平方求得顶点式是解题的关键. 14. 抛物线y＝﹣x2＋2关于原点对称的抛物线对应的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出抛物线y＝﹣x2＋2的顶点坐标为（0，2），对称轴为y轴，然后根据关于原点对称的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2＋2， ∴顶点坐标为（0，2），对称轴为y轴， ∴设抛物线y＝﹣x2＋2关于原点对称的抛物线对应的函数解析式为， ∵抛物线y＝﹣x2＋2与关于原点对称， ∴，的顶点坐标为（0，-2）， ∴， ∴物线y＝﹣x2＋2关于原点对称的抛物线对应的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质以及关于原点对称的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． 15. 已知二次函数．当__________时，随的增大而减小． 【答案】 【解析】 【详解】根据y=ax2+bx+c（a、b、c为常数）当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，可得答案. 解：∵， 开口向上，对称轴为． ∴当时随的增大而减小． 16. 六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为2，求中间正六边形的面积_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG=BH，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BG=2AG，接着证明HG=AG可得结论． 【详解】解：如图，作正六边形的中心点O，连接OM、ON、OP、OQ、OH、OG， ∵△ABG≌△BCH， ∴AG=BH， ∵∠ABG=30°， ∴BG=2AG， 即BH+HG=2AG， ∴HG=AG=2， ∴中间正六边形可以看作是6个边长为2的正三角形组成的， ∴中间正六边形的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出HG． 三、解答题（共52分） 17. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P． （1）求二次函数的解析式及P点坐标； （2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数得出答案； （2）分①时，②当时，两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：解：点、在二次函数的图象上， ， 解得， 二次函数的解析式为：， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：时，的最小值为， ，即， ①时，， 由，解得：（舍去），， ②当时，， 由， 解得：（舍去），（舍去）， 综上：的值为． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出的取值范围． 18. 如图，已知是的直径，点在上，点在外． （1）尺规作图：作的角平分线，与圆交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在你所作的图中，连接，若，求证：是的切线． 证明：连接， ， ① ． ， ② ． 是的直径， ③ ． 即 ④ ． ． 又 ⑤ ． 是的切线． 【答案】（1） 解：如图，射线即为所求； （2）①；②；③；④；⑤是的直径 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、圆周角定理、切线的判定． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）根据圆周角定理、切线的判定结合推理过程的前后步骤的逻辑关系填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接， ， ∴， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 即， ∴． ∴． 又∵是的直径． ∴是的切线． 故答案为：①；②；③；④；⑤是的直径． 19. 某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量（件）与售价（元）符合一次函数关系． （1）求每周销量（件）与售价（元）之间的关系式； （2）若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元 （3）商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大最大利润为多少元 【答案】（1） （2）23元 （3）25元；250元 【解析】 【小问1详解】 解：（1）设每周销量（件）与销售单价（元）之间的关系式为 则解得： （件）与销售单价（元）之间的关系式为： 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意可得 整理，得，解得， 利润不高于， 舍去 答：该玩具的售价为23元． 故答案为：23元． 【小问3详解】 根据题意得：， 随着的减小而增大 当时，取最大值且元 答：最大利润为250元． 故答案为：250元 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像和性质、解一元二次方程、解二元一次方程以及待定系数法求一次函数．解题过程中需要注意通过因式分解实现降次求得的取值是否符合题意以及是否能熟练掌握顶点式二次函数的解析式． 20. 如图，在Rt中，，点在上，以为直径的经过上的点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接、，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键． （）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， 21. 综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示：_______，_______； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； 【答案】（1） （2）①，；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线解析式可求出点B的坐标，则可求得直线的解析式为；设点，则点，从而得的解析式； ②由①可得；由，得关于m的方程，即可求得点P的坐标； ③由建立方程，可求点P的坐标． 【小问1详解】 解：由于抛物线过点与点， 把这两点代入抛物线解析式中，得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：①令，解得：， ∴； 设直线的表达式为， 把点、的坐标代入，得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则，； 故答案为：，； ②由①知，； 若，则， 解得：（舍去）或， 即点； ③若，则， 解得：（舍去）或， 即点； 22. 如图1，在正方形中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交于点E，交的延长线于点F，点M，N是弧的三等分点（点M在点N的左侧）．将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为（），旋转后，点F的对应点为点． （1）如图2，在旋转过程中，当经过点N时． ①求的度数；并求的长； ②连接，求与的长度，并比较大小；（取1.7，取3） （2）在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，请直接写出点A到切点的距离． 【答案】（1）①；；②的长为；；的长度 （2）或或3 【解析】 【分析】（1）①连接，过点B作于点L，则，根据题意可得，再由，以及三角形外角的性质，即可求解；②根据弧长公式求出的长；过点于点W，根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理可得，即可求解； （2）分类讨论当半圆O与相切的三种情况，画出对应的几何图，根据切线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，连接，过点B作于点L，则， ∵点M，N是弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； ∴， ∴， ∴； ②根据题意得：， ∴的长为； 如图，过点作于点W， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴的长度； 【小问2详解】 解：有三种情况讨论： 当半圆O与相切时，如图所示：设切点为点G，连接并延长，交与点H，连接， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当半圆O与相切时，如图所示：设切点为点G，连接，过点E作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 当半圆O与相切时，切点为，如图所示， ； 综上所述，点A到切点的距离为或或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $