专题04 多边形及内角和-2023-2024学年人教版八年级数学上册解答题必刷专题训练

专题04多边形内角和-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（原卷版） 1、如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，求∠BGD的度数． 2、已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°． （1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由； （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x． 3、一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于2012°，求这个内角的度数及多边形的边数． 4、小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍 （1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？ （2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？ 5、如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角．若∠A＝120°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数． 6、如图，六边形ABCDEF的内角都相等． （1）若∠1＝60°，求∠ADC的度数； （2）AB与ED有怎样的位置关系？为什么？ 7、如图，正五边形ABCDE，点D、E分别在直线m、n上．若m∥n，∠1＝20°，求∠2 8、如图，六边形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝62°，分别作∠DEF和∠EFA的平分线交于点P，求∠P的度数 9、如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B＝210°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，再作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，求∠O2的度数 10、如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，求∠AOG的度数 11、如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，求∠P的度数 12、在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了1个内角，其和等于1180°，求少算的这个角的度数 13、如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，求正六边形ABCDEF的边长 14、如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　　； （2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　度 （3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明． 15、如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β． （1）如图1，若α+β＝120°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，试说明：∠MBC+∠NDC的度数与α，β的数量关系． （3）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝30°，请写出α、β所满足的等量关系式； （4）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04多边形内角和-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（解析版） 1、如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，求∠BGD的度数． 【分析】由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和，又由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案． 【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°， ∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣400°＝320°， ∴∠G＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝40°． 2、已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°． （1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由； （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x． 【分析】（1）根据多边形内角和公式，列出方程求得θ的值，判断是否为整数即可； （2）根据题意，列出方程（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，求得x的值即可． 【解答】解：（1）甲对，乙不对． 理由：∵当θ取720°时，720°＝（n﹣2）×180°， 解得θ＝6； 当θ取820°时，820°＝（n﹣2）×180°， 解得θ； ∵n为整数， ∴θ不能取820°； （2）依题意得， （n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°， 解得x＝2． 3、一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于2012°，求这个内角的度数及多边形的边数． 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3）且n为整数），可得：多边形的内角和一定是180°的倍数，而多边形的内角一定大于0°，并且小于180°，用2012除以180，根据商和余数的情况，求出这个多边形的边数与2的差是多少，即可求出这个多边形的边数，再用这个多边形的内角和减去2012°，求出这个内角的度数是多少即可． 【解答】解：∵2012÷180＝11…32， ∴这个多边形的边数与2的差是12， ∴这个多边形的边数是：12+2＝14， ∴这个内角的度数是： 180°×12﹣2012° ＝2160°﹣2012° ＝148° 答：这个内角的度数为148°，多边形的边数为14． 4、小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍 （1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？ （2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？ 【分析】（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角度数是180°的倍数，然后利用数的整除性进行求解 （2）设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角度数是180°的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x， 则（n﹣2）•180°＝1840°﹣x， n＝12…40°． 故这个多边形的边数是12． （2）设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x， 则（n﹣2）•180°＝1840°+x， n＝12…40°． 180°﹣40°＝140°， 故漏算的那个内角是140度，这个多边形是十三边形． 5、如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角．若∠A＝120°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数． 【分析】先求出∠A对应的外角度数，根据多边形的外角和等于360°求出即可． 【解答】解： ∵∠A＝120°， ∴∠5＝180°﹣∠A＝60°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝300°． 6、如图，六边形ABCDEF的内角都相等． （1）若∠1＝60°，求∠ADC的度数； （2）AB与ED有怎样的位置关系？为什么？ 【分析】（1）由于六边形的内角和为720°，然后利用六边形ABCDEF的内角都相等得到每个内角的度数为120°，而∠1＝60°，四边形ABCD的内角和为360°，由此即可分别求出∠ADC的度数； （2）四边形ABCD的内角和为360°，求出∠ADC的度数，进一步求出∠EDA的度数，利用平行线的判定方法即可求解． 【解答】解：（1）六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°， ∵六边形ABCDEF的内角都相等， ∴每个内角的度数为：720°÷6＝120°， 又∵∠1＝60°，四边形ABCD的内角和为360°， ∴∠CDA＝360°﹣∠DAB﹣∠B﹣∠C＝360°﹣60°﹣120°﹣120°＝60°； （2）AB∥ED， 理由如下： ∵∠CDA＝60°，∠EDC＝120°， ∴∠EDA＝120°﹣∠CDA＝120°﹣60°＝60°， ∴∠EDA＝∠1＝60°， ∴AB∥ED． 7、如图，正五边形ABCDE，点D、E分别在直线m、n上．若m∥n，∠1＝20°，求∠2 【分析】先根据五边形的内角和求得每个内角度数，在计算∠GED的度数，根据平行线计算∠HDE，接着计算∠CDH，最后根据三角形内角和计算得∠CHD的度数，从而得∠2度数． 【解答】解：如图： 直线m交AB 于G，直线n交BC于H， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠C＝∠AED＝∠CDE108°， ∵∠1＝20°， ∴∠DEG＝∠AED﹣∠1＝108°﹣20°＝88°， ∵m∥n， ∴∠HDE＝180°﹣∠GED＝180°﹣88°＝92°， ∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝108°﹣92°＝16°， 在△CDH中， ∠CHD＝180°﹣∠CDH﹣∠C ＝180°﹣16°﹣108° ＝56°， ∴∠2＝∠CHD＝56°， 8、如图，六边形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝62°，分别作∠DEF和∠EFA的平分线交于点P，求∠P的度数 【分析】根据多边形的外角和定理可得∠5+∠6+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，再根据邻补角的性质可得∠5+∠6+∠AFE+∠DEF＝360°，可得∠AFE+∠DEF＝∠1+∠2+∠3+∠4，进而求出∠EPF+∠EFP的度数，再求出∠P的度数即可． 【解答】解：∵∠5+∠6+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∠5+∠6+∠AFE+∠DEF＝360°， ∴AFE+∠DEF＝∠1+∠2+∠3+∠4＝248°， ∵分别作∠DEF和∠EFA的平分线交于点P， ∴∠EPF+∠EFP（∠AFE+∠DEF）＝124°， ∴∠P＝180°﹣（∠EPF+∠EFP） ＝180°﹣124° ＝56°， 9、如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B＝210°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，再作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，求∠O2的度数 【分析】根据四边形的内角和为360°可得∠ACD+∠BCD＝150°，再根据角平分线的定义可得∠CDO2+∠DCO2＝37.5°，再根据内角和定理可得答案． 【解答】解：∵四边形的内角和是360°，∠A+∠B＝210°， ∴∠ACD+∠BCD＝150°， ∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2， ∴∠CDO2∠CDO1∠ADC，∠DCO2∠DCO1∠BCD， ∴∠CDO2+∠DCO2（∠ADC+∠BCD）＝37.5°， ∴∠O2＝180°﹣37.5°＝142.5°． 故答案为：142.5°． 10、如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，求∠AOG的度数 【分析】欲求∠AOG，可求∠AOC，则需求∠BCO、∠OAB、∠B．因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠EAB＝∠E＝∠BCD＝108°．又因为AO平分∠EAB，CG平分∠DCF，所以可求得∠OAB＝54°，∠BCG＝108°144°． 【解答】解：∵任意多边形的外角和等于360°， ∴∠DCF＝360°÷5＝72°． ∴这个正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°． ∴∠B＝∠EAB＝∠BCD＝108°． 又∵AO平分∠EAB， ∴∠OAB． 又∵CG平分∠DCF， ∴∠DCG． ∴∠BCO＝∠BCD+∠DCG＝108°+36°＝144°． ∴∠AOC＝360°﹣（∠BAO+∠B+∠BCG）＝360°﹣（54°+108°+144°）＝54°． ∴∠AOG＝180°﹣∠AOC＝180°﹣54°＝126°． 11、如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，求∠P的度数 【分析】如图，根据多边形的外角和等于360°，得∠5+∠6+∠7＝360°﹣230°＝130°．根据三角形外角的性质，得∠8＝∠6+∠7，那么∠5+∠8＝130°．根据三角形内角和定理，得∠P＝180°﹣（∠5+∠8）＝50°． 【解答】解：如图． 由题意得：∠1+∠2+∠3+∠4＝230°． ∴∠5+∠6+∠7＝360°﹣230°＝130°． ∵∠8＝∠6+∠7， ∴∠5+∠8＝130°． ∴∠P＝180°﹣（∠5+∠8）＝180°﹣130°＝50°． 12、在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了1个内角，其和等于1180°，求少算的这个角的度数 【分析】设这个多边形的边数为n（n为正整数且n≥3），根据题意得1180°＜180°（n﹣2）＜1180°+180°，从而求得多边形的边数n，进而解决此题． 【解答】解：设这个多边形的边数为n（n为正整数且n≥3）． 由题意得：1180°＜180°（n﹣2）＜1180°+180°． ∴1180°＜180°（n﹣2）＜1360°． ∴． ∴n＝9． ∴这个多边形的内角和为180°×（9﹣2）＝1260°． ∴少算的这个角的度数为1260°﹣1180°＝80°． 13、如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，求正六边形ABCDEF的边长 【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长． 【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF＝120°， ∴∠HAF＝60°， ∵∠AHF＝90°， ∴∠AFH＝30°， ∴AF＝2AH， ∴x＝2（6﹣x）， 解得x＝4， ∴AB＝4， 即正六边形ABCDEF的边长为4， 故答案为：4． 14、如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　　； （2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　度 （3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等．由多边形的内角和得出答案即可； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，由已知条件∠1＝∠2，∠3＝∠4，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B． 【解答】解：（1）如图1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； 故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°． （3）∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②， 如图3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ①+②得： ∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B． 15、如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β． （1）如图1，若α+β＝120°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，试说明：∠MBC+∠NDC的度数与α，β的数量关系． （3）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝30°，请写出α、β所满足的等量关系式； （4）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），再根据∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC可得答案； （2）由（1）的思路可得结论； （3）连接BD，由（1）知∠MBC+∠NDC＝α+β，利用角平分线和外角的性质可得（α+β）+180°﹣β+30°＝180°，整理可得结论； （4）由（1）知，∠MBC+∠NDC＝α+β，利用角平分线和外角的性质则有∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β，∠CBE＝∠DHB，进而可得结论． 【解答】解：（1）由四边形内角和得， ∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β）， ∴∠MBC+∠NDC ＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC ＝360°﹣（∠ABC+∠ADC） ＝360°﹣360°+α+β ＝α+β ＝120°； （2）∠MBC+∠NDC＝α+β， 理由：由四边形内角和得， ∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β）， ∴∠MBC+∠NDC ＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC ＝360°﹣（∠ABC+∠ADC） ＝360°﹣360°+α+β ＝α+β； （3）如图1，连接BD， 由（2）得，∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC， ∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC， ∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β）， 在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β， 在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°， ∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°， ∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°， ∴（α+β）+180°﹣β+30°＝180°， ∴β﹣α＝60°； （4）平行， 理由：如图2，延长BC交DF于H， 由（1）得，∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC， ∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC， ∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β）， ∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB， ∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB， ∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β）， ∵α＝β， ∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β， ∴∠CBE＝∠DHB， ∴BE∥DF． 试卷第34页，共34页 试卷第33页，共34页 学科网（北京）股份有限公司 $$