精品解析： 贵州省贵阳市清镇市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

贵州省贵阳市清镇市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时长为120分钟．考试形式闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 化简分式，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 某市招聘教师，规定将笔试和面试成绩按照计算总分并择优录取．小星本次参加测试的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，则小星最后得分是（ ） A. 80分 B. 85分 C. 86分 D. 90分 7. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 9. 小红掷一枚质地均匀的硬币5次，其中2次正面朝上，3次反面朝上，在抛掷第6次时，以下说法正确的是（ ） A. 一定是正面朝上 B. 一定是反面朝上 C. 反面朝上的概率为 D. 正面朝上的概率为 10. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是正方形 11. 关于的一元二次方程有实数根，则能取到的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 12. 如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分) 13. 化简的结果是______． 14. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 15. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有301次摸到红球，估计这个口袋中红球的个数约为__________个． 16. 如图，在边长为的菱形中，，E是边上的动点，F是边上的动点，且，连接，则的最小值是________cm． 三、解答题（本大题9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解不等式； （2）小星在用公式法解方程时，呈现了如下解答过程∶ 解：将原方程化为一般形式，得 ……………………………………………………………………第一步； 这里……………………………………………………………第二步； ……………………………………………第三步； ．…………………………………………………………第四步； 即．……………………………………………………………………第五步． ①小星从第___________步开始出错（填序号“一、二、三、四、五”中其中一个）； ②请用公式法将正确求解方程的过程写出来． 18. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点．分别按相应要求解决问题（图中给出的所有点均在格点上）． （1）在图①中画一个，使点在格点上，且； （2）在图②中画一条线段，使； （3）小星在图③中画了一个格点，猜想说明的形状并求出它的面积． 19. 互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． （1）小红在支付中，选用微信支付的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 20. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点是点E，的对应边交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 21. 在一块长、宽的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小红和小星的设计方案． 小红说：我的设计方案如图①，其中花园四周小路的宽度相等，若设四周小路的宽度为，列出方程可以求解； 小星说：我的设计方案如图②，其中花园中小路的宽度相等，若设小路的宽度为，列出方程可以求解． 请你选择上述其中一种方案，求出相应小路的宽． 22. 如图，四边形是平行四边形，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，交，于点和点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的周长． 23. 如图，一次函数的图象经过点． （1）_________，_________； （2）直线上有一点，求的值； （3）点为轴上的一点，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 24. 春节是中国最重要的传统节日，也是家人团聚的时刻．许多家庭都会选择春节长假外出旅游．2024年春节长假期间，某景区一商店老板将某种进货价为30元的纪念品以40元售出，平均每周能售出600件．经调查发现，售价在40元至60元范围内，这种纪念品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件． （1）若商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出_________件； （2）设该纪念品每件上涨元，则该纪念品每周的销售量是_________件（用含的代数式表示）； （3）为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少？ 25. 在中，，点是的中点，点是直线上一点，连接． （1）【问题解决】 如图①，当，点在线段上时，将射线绕点顺时针方向旋转交于点，连接．求证：； （2）【问题探究】 如图②，当，点在线段延长线上时，将射线绕点顺时针方向旋转交延长线于点，请猜想三条线段之间的关系并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】 如图③，当，点在线段延长线上时，将线段绕点逆时针方向旋转得到，点恰好落在线段BC的延长线上．若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省贵阳市清镇市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时长为120分钟．考试形式闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据点P在数轴上的位置可得答案． 【详解】解：由图可知，数轴上点表示的数可能是1， 故选C． 2. 如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 3. 化简分式，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分，直接约分即可，熟练掌握将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去是解决此题的关键． 【详解】.， 故选：A． 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，该方程利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得， 故选B． 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标的符号即可判断所在象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴符合第四象限点的坐标符号特征，点在第四象限． 6. 某市招聘教师，规定将笔试和面试成绩按照计算总分并择优录取．小星本次参加测试的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，则小星最后得分是（ ） A. 80分 B. 85分 C. 86分 D. 90分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可，熟练掌握加权平均数的计算公式计算是解决此题的关键． 【详解】由题意可知，小星最后得分是：（分）， 故选：C． 7. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的配方法．利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 配方得，即， 只有选项B符合题意； 故选：B． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形中求线段长，涉及矩形性质、勾股定理等知识，先由矩形性质得到，，，再结合中，由勾股定理得到长即可确定答案，熟记矩形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，对角线与相交于点， ，，， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：B． 9. 小红掷一枚质地均匀的硬币5次，其中2次正面朝上，3次反面朝上，在抛掷第6次时，以下说法正确的是（ ） A. 一定是正面朝上 B. 一定是反面朝上 C. 反面朝上的概率为 D. 正面朝上的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，掷第6次时，抛掷的结果只有两种：正面朝上和反面朝上，计算概率即可解答，解题的关键是掌握随机事件A的概率 ． 【详解】抛掷第6次时，抛掷的结果为：正面朝上和反面朝上， ∴正面朝上和反面朝上的概率为 故选：D． 10. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形与正方形的定义及判定定理等知识点，由矩形、菱形与正方形的定义及判定定理逐一判定即可得解，熟练掌握矩形、菱形与正方形的定义及判定定理是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，但不一定是菱形， 故A不符合题意； ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，但不一定是矩形， 故B不符合题意； ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， 故C符合题意； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，但不一定是正方形， 故D不符合题意， 故选：C． 11. 关于的一元二次方程有实数根，则能取到的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴m能取到的最小整数值是1． 故选：C． 12. 如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．由正方形的性质得，，而，则，即可证明，得，，可判断①正确，②正确，由，得，可判断③正确；设，则，求得，所以，由，求得，则，所以点不是的中点，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点， ， ， 在和中， ， ， ，，， 故①②正确； ， ， 故③正确； 设， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 点不是的中点， 故④错误； 故选：C． 二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分) 13. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项． 根据合并同类项法则，只需将系数相加，字母部分保持不变，计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 15. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有301次摸到红球，估计这个口袋中红球的个数约为__________个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，用球的总个数乘以摸到红球的频率即可，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解决此题的关键． 【详解】估计这个口袋中红球的数量为（个）， 故答案为：3． 16. 如图，在边长为的菱形中，，E是边上的动点，F是边上的动点，且，连接，则的最小值是________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，首先证明是等边三角形，构建垂线段最短可知，当时，最短，即最短． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵时，线最小，最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解不等式； （2）小星在用公式法解方程时，呈现了如下解答过程∶ 解：将原方程化为一般形式，得 ……………………………………………………………………第一步； 这里……………………………………………………………第二步； ……………………………………………第三步； ．…………………………………………………………第四步； 即．……………………………………………………………………第五步． ①小星从第___________步开始出错（填序号“一、二、三、四、五”中其中一个）； ②请用公式法将正确求解方程的过程写出来． 【答案】（1）； （2）①一； ②解：将原方程化为一般形式，得； ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，公式法解一元二次方程． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）①根据公式法解一元二次方程的方法步骤判断即可；②用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）①小星从第一步开始出错，理由：移项时，没有变号； ②略 18. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点．分别按相应要求解决问题（图中给出的所有点均在格点上）． （1）在图①中画一个，使点在格点上，且； （2）在图②中画一条线段，使； （3）小星在图③中画了一个格点，猜想说明的形状并求出它的面积． 【答案】（1） 如图①中，即为所求（答案不唯一）； （2） 如图②中， （3）的形状为直角三角形，的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，勾股定理及其逆定理等知识， （1）画一个根据正方形的有个角都为直角即可以得到； （2）画一个边长分别为1和2的直角三角形即可； （3）根据勾股定理及其逆定理解答即可； 熟练掌握勾股定理及其逆定理是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴线段即为所求（答案不唯一）； 【小问3详解】 如图③中， 是直角三角形，理由如下： 由勾股定理得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积． 19. 互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． （1）小红在支付中，选用微信支付的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：令微信、支付宝、现金三种支付方式分别为，列表如下： 由表可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 20. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点是点E，的对应边交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将矩形沿对角线折叠， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）根据折叠的性质我们可得出，，，证明，设，利用勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将矩形沿对角线折叠， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴． 【点晴】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 21. 在一块长、宽的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小红和小星的设计方案． 小红说：我的设计方案如图①，其中花园四周小路的宽度相等，若设四周小路的宽度为，列出方程可以求解； 小星说：我的设计方案如图②，其中花园中小路的宽度相等，若设小路的宽度为，列出方程可以求解． 请你选择上述其中一种方案，求出相应小路的宽． 【答案】解：如果选择①，四周小路的宽为，如果选择②，四周小路的宽为， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据花园所占面积为荒地面积的一半列出方程，即可求解，根据面积得到相应的关系式是解决本题的关键． 【详解】如果选择①： 设四周小路的宽度为， 依题意，得， 整理，得， ∴， ∴，（不合题意，舍去） 答：四周小路的宽度为， 如果选择②： 设小路的宽度为， 依题意，得， 整理，得， ∴， ∴，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为． 22. 如图，四边形是平行四边形，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，交，于点和点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： 由作图可知：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）四边形的周长为 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质与判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题； （2）根据菱形的性质和平行四边形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形的周长． 23. 如图，一次函数的图象经过点． （1）_________，_________； （2）直线上有一点，求的值； （3）点为轴上的一点，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）2，2； （2） （3）点D的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点， （1）将点代入之中即可求出的值； （2）由（1）可知直线的表达式为，再将点代入之中即可得出m的值； （3）先求出，再分两种情况进行讨论：①当A为该等腰三角形的顶点时，以点A为圆心，以为半径画弧交x轴于D，，根据等腰三角形的性质点D，的坐标即可；②当点B为该等腰三角形的顶点时，以点B为圆心，以为半径画弧交x轴于，根据等腰三角形的性质求出点的坐标即可，综上所述即可得出答案； 熟练掌握其性质进行分类讨论是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵一次函数的图象经过点， ∴，解得：， 故答案为：2，2； 【小问2详解】 由（1）可知：直线的表达式为：， 将点代入，得：， 即； 【小问3详解】 ∵点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵点D为x轴上的一点，且是以为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当A为该等腰三角形的顶点时，以点A为圆心，以为半径画弧交x轴于D，，如图1所示： 则， ∴和均为符合条件的等腰三角形， ∴，， ∴点，； ②当点B为该等腰三角形的顶点时，以点B为圆心，以为半径画弧交x轴于，如图2所示： 则， ∴为符合条件的等腰三角形， ∵， ∴， ∴点， 综上所述：点D的坐标为或或． 24. 春节是中国最重要的传统节日，也是家人团聚的时刻．许多家庭都会选择春节长假外出旅游．2024年春节长假期间，某景区一商店老板将某种进货价为30元的纪念品以40元售出，平均每周能售出600件．经调查发现，售价在40元至60元范围内，这种纪念品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件． （1）若商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出_________件； （2）设该纪念品每件上涨元，则该纪念品每周的销售量是_________件（用含的代数式表示）； （3）为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少？ 【答案】（1）590 （2） （3）为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为50元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及列代数式， （1）由题意列式计算即可； （2）由题意列出代数式即可； （3）设该纪念品每件上涨x元，销售量减少个，则该纪念品的售价为元，每周的销售量是件，根据实现平均每周10000元的销售利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 由题意可知，（件）， 即商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出590件， 故答案为：590； 【小问2详解】 设该纪念品每件上涨x元，销售量减少个，则该纪念品每周的销售量是件， 故答案为：； 【小问3详解】 设该纪念品每件上涨x元，销售量减少个，则该纪念品的售价为元，每周的销售量是件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴符合题意，不符合题意，舍去； ∴， 答：为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为50元． 25. 在中，，点是的中点，点是直线上一点，连接． （1）【问题解决】 如图①，当，点在线段上时，将射线绕点顺时针方向旋转交于点，连接．求证：； （2）【问题探究】 如图②，当，点在线段延长线上时，将射线绕点顺时针方向旋转交延长线于点，请猜想三条线段之间的关系并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】 如图③，当，点在线段延长线上时，将线段绕点逆时针方向旋转得到，点恰好落在线段BC的延长线上．若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点O为斜边中点， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点O顺时针方向旋转交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ，证明如下：连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点O为斜边中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点O顺时针方向旋转交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，，根据直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，，根据直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到； （3）连接，由点O是斜边的中点，得到，根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵点O是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵将线段绕点O逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $