1.3勾股定理的应用 同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级上册

1.3勾股定理的应用 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.如图,一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上,这时梯子底端C离墙7米.如果梯子的顶端A下滑了4米,那么梯子底端C在水平方向滑动了( )米 A.7米 B.8米 C.9米 D.10米 2.如图,正方体的棱长为,是正方体的一个顶点,是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行,从点爬到点的最短路径是( ) A.9 B. C. D.12 3.如图,已知长方体的三条棱、、分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程是( ) A. B. C. D.11 4.勾股定理历史悠久,三国时期的赵爽证明了勾股定理,后人借助“赵爽弦图”,用三个正方形证明勾股定理,如图所示,B,C,M,G在同一条直线上,四边形ABCD,四边形CEFG,四边形AMFN都为正方形,若五边形ABGFN的面积为34,CM=2,则 ABM的面积为( ) A.10 B. C.5 D.4 5.如图,在一个高为3m,长为5m的楼梯表面铺地毯,则地毯长度为( ) A.7m B.8m C.9m D.10m 6.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了( )步路(假设2步为1米),却踩伤了花草. A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图所示,将一根长为的筷子,置于底面直径为,高为的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为,则h的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.如图是一个底面半径为,高为的圆柱形花器(壁厚不计),插花时,小颖同学为了使效果美观(花茎不超出花器口),需预留花茎最长为( ) A. B. C. D. 9.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到岸边1.2m远的河底,竹竿高出水面0.4m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ) A.1.65m B.1.5m C.1.55m D.1.6m 10.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长,宽和高分别等于,和,和是这个台阶的两个相对的端点,点上有一只蚂蚁,想到点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从点出发,沿着台阶面爬到点,最短线路是( ) A. B. C. D. 11.如图:是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从顶点A出发,沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路线的长是( )cm A. B. C. D. 12. 如图所示,一场台风过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2,则树高为( )米. A.1+ B.1+ C.2-1 D.3 二、填空题 13.一棵高9米的树从离地面4米处折断,树旁有一个身高为1米的小孩,则小孩至少离开这棵树 米才是安全的. 14.如图,为线段上一动点,分别过,作,,连接,,已知,,,设.请用含的代数式表示的长为 ,根据上述方法,求出的最小值为 . 15.我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深几何?(注:丈、尺是长度单位,1丈尺)意思为:如图,有一个边长为1丈的正方形水池,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边,它的顶端恰好碰到池边的水面.则这根芦苇的长度是 尺 16.如图,圆柱形玻璃容器高13cm,底面周长为24cm.在容器外壁距下底1cm的点A处有一只蚂蚁,在蚂蚁正对面容器外壁距上底3cm的点B处有一滴蜂蜜,则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm. 17.如图,在长方体的顶点G处有一滴糖浆,棱AE上的P处的蚂蚁想沿长方体表面爬到容器G处吃糖浆,已知容器长AB=5cm,宽AD=4cm,高AE=4cm,AP=1cm,那么蚂蚁需爬行的最短距离是 cm.(结果保留根号) 三、解答题 18.如图,一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离是8m.如果梯子的顶端下滑2m,那么它的底端是否也滑动2m?请你通过计算来说明. 19.印度的数学家婆神迦罗在他的著作《丽拉瓦提》中提出这样一个问题:波平如镜一湖面,半尺高处出红莲.婷婷多姿湖中立,突遭狂风吹一边.离开原处两尺远,花贴湖边似睡莲.请你动动脑筋看,池塘在此多深浅.你能根据诗意,画出示意图,求出此处池塘有多深吗? 20.如图,某攀岩中心攀岩墙的顶部A处安装了一根安全绳,让它垂到地面时比墙高多出了1米,发现其下端刚好接触地面(即米),,求攀岩墙的高度. 21.如图,圆柱形无盖玻璃容器,高,底面圆的直径为,在外侧距下底的点处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.(结果保留根号) 22.如图,开州大道上,两点相距,,为两商场,于,于.已知,.现在要在公路上建一个土特产产品收购站,使得,两商场到站的距离相等, (1)求站应建在离点多少处? (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站,需要多少小时? 23.已知,,,且. (1)如图①,若点在线段上,连接,试判断的形状,并说明理由. (2)如图②,连接,,且与相交于点,若,,,求和的长. 24.勾股定理是初等几何中最重要的定理之一,它的证明方法很多,如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,通过对图形的切割、拼接,巧妙的利用面积关系证明了勾股定理. (1)定理证明: 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间的部分是一个小正方形(阴影).如果直角三角形较小的直角边长为a,较大的直角边长为b,斜边长为c,请你根据图1证明勾股定理; (2)问题解决: 如图2,圆柱的底面半径为,高为,蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A爬到点B的最短路程是多少厘米?(结果保留 ) 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C A D D B D B 题号 11 12 答案 B A 1.B 【分析】根据云梯长与梯子底端C离墙7米,由勾股定理得到AB的长,根据下滑的长度得到BD的长,由勾股定理即可得到BE的长度,进而的到答案. 【详解】由题知: 梯子的顶端A下滑了4米 故梯子底端C在水平方向滑动了15-7=8(米) 故答案选:B 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用,能从题中得到相应的线段长度是关键. 2.C 【分析】本题考查了最短路径问题,勾股定理,解题的关键是将平面展开,组成一个直角三角形.将正方体的左侧面与前面展开,构成一个长方形,用勾股定理求出距离即可. 【详解】解:如图,正方体的左侧面与前面展开,得到长方形,过B作于C点; 由于正方体棱长为,则,, 由勾股定理得:; 故选:C. 3.C 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答,注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有三种,分别求出,选取最短的路程. 【详解】解:如图①:, 如图②:; 如图③:. 故最短路程是. 故选C. 【点睛】此题主要考查了平面展开图,求最短路径,解决此类题目的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”,用勾股定理解决. 4.C 【分析】可证得,设 ,则,根据五边形ABGFN的面积等于正方形AMFN的面积加上两个的面积即可求得结论. 【详解】∵四边形ABCD、四边形CEFG、四边形AMFN都为正方形, ∴∠ABM=∠AMF=∠MGF=90 ,AM= MF, ∴∠AMB+∠BAM=90 ,∠AMB+∠GMF=90 , ∴∠BAM=∠GMF, ∴, 设 ,则, 在中, ∴,即, ∵,即, ∴, 化简得:, ABM的面积为, 故选:C. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用,全等三角形的判定和性质,利用面积公式变形化简求得是解题的关键. 5.A 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和,根据勾股定理求得水平宽度,然后求得地毯的长度即可. 【详解】解:由勾股定理得: 楼梯的水平宽度==4, ∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和, ∴地毯的长度至少是3+4=7(m). 故选:A. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用,正确应用勾股定理是解题关键. 6.D 【详解】解:在直角 ABC中, ∵AB2=AC2+BC2. ∴AB=米. 则少走的距离是AC+BC−AB=3+4-5=2米=4步, 故选:D. 7.D 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合,解题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值.先根据题意画出图形,再根据勾股定理解答即可. 【详解】解:当筷子与杯底垂直时h最大,. 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小, 如图所示: 此时, , 故. 所以h的取值范围是:. 故选∶D. 8.B 【分析】本题是勾股定理在实际生活中的应用,把花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键.圆柱形花器内容下的花茎最长时,花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者正好构成一个直角三角形,根据勾股定理即可求解. 【详解】解:如图, 为圆柱形花器底面直径,是圆柱形花器高, ∴, ∴线段的长度就是圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度, ∴. 故圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度为. 故选:B. 9.D 【分析】经分析知:可以放到一个直角三角形中计算.此直角三角形的斜边是竹竿的长,设为x米.一条直角边是1.2,另一条直角边是(x-0.4)米.根据勾股定理,得:x2=1.22+(x-0.4)2,求出x的值,即可得出答案. 【详解】如图, 若假设竹竿长x米,则水深(x-0.4)米, 由题意得,x2=1.22+(x-0.4)2, 解得.x=2, 所以水深2-0.4=1.6(米). 故选D. 【点睛】此题考查了勾股定理的应用,解题的难点在于能够理解题意,正确画出图形. 10.B 【分析】将台阶展开,根据勾股定理即可求解. 【详解】将台阶展开,如下图, 因为AC=3 3+1 3=12,BC=5, 所以 =169, 所以AB=13(cm), 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm. 故选B. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用,掌握勾股定理是解题的关键. 11.B 【详解】试题分析:共有三种途径,即对该三边分别展开,从而可知,最短路径分别是,所以依据题意,最短路径是,故选B 考点:勾股定理 点评:本题属于对勾股定理的基本知识的理解和运用以及分析 12.A 【分析】根据题意利用勾股定理得出BC的长,进而得出答案. 【详解】解:由题意得:在直角 ABC中, AC2+AB2=BC2, 则12+22=BC2, ∴BC=, ∴树高为:(1+)m. 故选:A. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用,熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键. 13.4 【分析】此题考查勾股定理的应用.根据题意构建直角三角形,利用勾股定理解答. 【详解】解:如图, 即为大树折断处减去小孩的高, 则,, 在中,. 故小孩至少离开大树4米之外才是安全的, 故答案为:4. 14. 13 【分析】由于 ABC和 CDE都是直角三角形,故AC,CE可由勾股定理求得;若点C不在AE的连线上,根据三角形中任意两边之和>第三边知,AC+CE>AE,故当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小;于是可作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C,则AE的长即为代数式的最小值,然后构造矩形AFDB,Rt AFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值. 【详解】解:AC+CE=; 当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小; 如右图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C, 设BC=x,则AE的长即为代数式的最小值. 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF, 则AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5, 所以AE==13, 即的最小值为13, 故答案为:;13. 【点睛】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识,本题利用了数形结合的思想,通过构造直角三角形,利用勾股定理求解. 15.13 【分析】本题考查勾股定理的应用,设这根芦苇的长度是尺,根据勾股定理列出方程进行求解即可. 【详解】解:设这根芦苇的长度是尺,由题意,得:水深为尺, 由勾股定理,得:, 解得:; 故答案为:13. 16.15 【分析】根据题意得到圆柱体的侧面展开图,确定,的位置,利用勾股定理即可求解. 【详解】解:圆柱体侧面展开图如下: 由题意知:,,, 过点作, , , 底面周长为24, , 在中,,根据勾股定理,得:, , , 故答案为:. 【点睛】本题考查了最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理是解题的关键,同时还考查了创造性思维. 17. 【分析】求蚂蚁爬行的最短距离,需将长方体的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果. 【详解】解:∵AE=4cm,AP=1cm, ∴PE=3cm, 如图1, ∴PH=3+4=7(cm), ∴PG=(cm); 如图2, ∴PG=(cm); 如图3, ∴PG=(cm), 故蚂蚁需爬行的最短距离是cm. 故答案为: . 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,将长方体展开,根据两点之间线段最短,运用勾股定理解答即可. 18.底端滑动2m,理由见解析 【详解】试题分析:先根据勾股定理求出CB′的长,再根据勾股定理求出CB的长,求出二者之差,即可得出正确结论. 解:底端滑动2m,理由: 在Rt ACB中,BC2+AC2=AB2,BC=, 又∵AA′=2, ∴AC=6,在Rt A′CB′中,B′C=8, ∴BB′=2, ∴底端滑动2m. 考点:勾股定理的应用. 19.水深为尺. 【详解】试题分析:设水深为h尺,则红莲长x+0.5尺,利用勾股定理列方程求解即可. 试题解析: 解:设水深为h尺,则红莲长x+0.5尺,根据勾股定理可得, x2+22=(x+0.5)2, 解得:x=尺 答:水深为尺. 考点:勾股定理. 20.12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用,将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键. 设攀岩墙的高为x米,则绳子的长为米,然后在中,根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】解:设攀岩墙的高为x米,则绳子的长为米, 在中,, ∴,解得. 答:攀岩墙的高为12米. 21. 【分析】本题考查了最短路径问题,解题思路为:①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短;②构建直角三角形,利用勾股定理列式求解,首先将圆柱展开,将两个点放在同一平面上,构建直角,可知捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线就是的长;根据已知求出,由题意可知:是底面的周长的一半,根据底面圆的直径为和圆的周长公式,可以求的长,从而由勾股定理求出的长. 【详解】解:画圆柱的展开图,如图所示:过作于, 由题意得:,, , , 由勾股定理得:, 答:急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为. 22.(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用,利用勾股定理正确建立方程是解题关键. (1)先根据垂直的定义可得,再根据勾股定理可得,,从而可得,设,则,据此建立方程,解方程即可得; (2)由勾股定理求出,用路程除以速度即可得出时间. 【详解】(1)解:∵使得,两村到站的距离相等, ∴, ∵,, ∴, ∴,, ∴, 设,则, ∵,, ∴, 解得:, ∴, 答:站应建在离站处; (2)解:, (小时) 答:需要2小时. 23.(1)是直角三角形 (2), 【分析】本题考查了勾股定理,直角三角形的判定,线段垂直平分线的判定和性质,解题的关键是掌握勾股定理的应用,垂直平分线的性质. (1)根据等腰三角形的性质,则,,根据三角形的内角和为,则;得到,即可得:是直角三角形; (2)根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分,根据勾股定理即可得到结论. 【详解】解:(1)是直角三角形, 理由:∵, ∴,, ∵且, ∴, ∴, ∴是直角三角形; (2)∵, ∴点在线段的垂直平分线上, ∵, ∴点在线段的垂直平分线上, ∴垂直平分, ∴, ∵,, ∴,, ∴, ∴, ∴. 24.(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路程是厘米 【分析】(1)利用阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积额即可得答案; (2)画出圆柱侧面展开图矩形,利用勾股定理即可得答案. 【详解】(1)阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积, , , ; (2)画出圆柱侧面展开图: 根据圆柱底面半径为,得出, 高为, , 从点爬到点的最短路程是厘米. 【点睛】本题考查勾股定理证明,掌握面积法是解题关键. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$