精品解析：广东省茂名市茂南区部分学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中质量监测 八 年 级 数 学 试 卷 本试卷共6页，23题，满分120分，考试用时120分钟 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列说法正确的是(　　) A. －64的立方根是4 B. 9的平方根是±3 C. 4的算术平方根是16 D. 0.1的立方根是0.001 2. 以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. B. 1，2，3 C. 2，3，4 D. 3. 在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 若点在轴上，则点在（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知直线过点和点,则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 在平面直角坐标系中，，点Q在x轴下方，轴，若，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（ ） A. B. C. 0 D. 2 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 9. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，小手盖住的点的坐标可能为 ___________ （写出一个即可） ． 12. 比较大小：____________（请用<， >或=填空） 13. 已知点在轴的上方，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是_____． 14. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿，与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从处沿内壁到达处的最短距离为___________． 15. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1） （2） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，点C在线段上，且，垂足别是点B、D、C，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）和关于轴对称，请在坐标系中画出； （2）求的面积； （3）若点是轴上一动点，直接写出长度的最小值为________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）若是轴上一点，且的面积是，直接写出点的坐标． 21. 阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 （1）化简； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 23. 如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量监测 八 年 级 数 学 试 卷 本试卷共6页，23题，满分120分，考试用时120分钟 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列说法正确的是(　　) A. －64的立方根是4 B. 9的平方根是±3 C. 4的算术平方根是16 D. 0.1的立方根是0.001 【答案】B 【解析】 【分析】依据立方根、平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】A.−64的立方根是−4，故A错误； B.9的平方根是±3，故B正确； C.4的算术平方根是2，故C错误； D.0.1是0.001的立方根，故D错误. 故选B. 【点睛】考查平方根，算术平方根以及立方根，掌握它们的概念是解题的关键. 2. 以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. B. 1，2，3 C. 2，3，4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，判断两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出结论． 【详解】解：A、，可以构成直角三角形，符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选A． 3. 在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数有，， （两个1之间依次多一个6），共3个． 故选：C 4. 若点在轴上，则点在（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据轴上的点的横坐标为0，求出的值，进而得到点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点的坐标为：， ∴点在第二象限； 故选B． 5. 已知直线过点和点,则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数上点的坐标特征和性质，掌握一次函数的性质是关键． 是的一次函数，且，随的增大而减小，据此判断即可． 【详解】解：∵是的一次函数，且， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，，点Q在x轴下方，轴，若，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据轴可知P、Q两点横坐标相同，再由可得出Q点的坐标． 【详解】解：∵，轴， ∴Q的横坐标为1， ∵点Q在x轴下方，， ∴点Q的坐标为． 故选：C 【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 7. 若的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的性质，若y随x的增大而增大，则比例系数大于0，进而即可得到答案 【详解】解：∵的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选D． 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 9. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，二次根式的性质，根据二次根式的运算法则和二次根式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算正确； 故选D． 10. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知： OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x， 在Rt△OCP'中，由勾股定理得： [x-（5-1）]2+102=x2．即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，小手盖住的点的坐标可能为 ___________ （写出一个即可） ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了点在第四象限内点的坐标的符号．点在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0．符合此情况即可． 【详解】解：∵小手盖住的点在第四象限， ∴其横坐标是正数，纵坐标是负数， 该点的坐标可能是 故答案为：（答案不唯一）． 12. 比较大小：____________（请用<， >或=填空） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，根据得出，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， 故答案为：>． 13. 已知点在轴的上方，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是_____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是先判断出点在第一或第二象限，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：∵点在轴的上方， ∴点在第一或第二象限，即点的纵坐标为正数， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 14. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿，与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从处沿内壁到达处的最短距离为___________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， 圆柱形容器，高，底面周长为， ， ， 蚂蚁从处到达处的最短距离为； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开图最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． 15. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的减法，平方差公式，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答． （2）先根据平方差公式展开，以及化简，再运算加法，即可作答． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算二次根式的乘法以及运用完全平方公式展开，再合并同类二次根式，即可作答． （2）先化简乘方，二次根式，绝对值，负整数指数幂，零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点C在线段上，且，垂足别是点B、D、C，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定，勾股定理，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法判定出，即可解答； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用勾股定理求出的长，结合三角形面积公式运算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知： ∴，， 在中，， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）和关于轴对称，请在坐标系中画出； （2）求的面积； （3）若点是轴上一动点，直接写出长度的最小值为________． 【答案】（1） 如图所示； ； （2）的面积为2； （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、求三角形面积以及最短路径问题． （1）首先确定三点关于轴对称的对称点位置，再顺次连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接，交轴于点，然后利用勾股定理计算可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为：； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，再连接，交轴于点， 此时长度最小， 最小值为． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）若是轴上一点，且的面积是，直接写出点的坐标． 【答案】（1），直线的表达式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，由可得，进而即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∵一次函数的图象与轴交点为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴点的坐标为， ∵点是轴上一点，且的面积为， ∴， ∴， 又∵点的坐标为， ∴点 的坐标为或． 21. 阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 （1）化简； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 【答案】（1） （2）①3，；② 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算： （1）根据分母有理化进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定的值，进而求出的值即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ①， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：3，； ②∵，， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】（）；（）；． 【解析】 【分析】（）求出，把的值代入海伦公式计算即可求解； （）把代入计算即可求解； 根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解； 本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，平方差公式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ； （）当时， ，，， ∴中最长边的长度为； ∵，， ∴， ∵，三角形的边为正数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 23. 如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2）存在，或或； （3） ，证明如下： 过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图：过点作轴于． ， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 存在，求解如下： 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $