精品解析：辽宁省沈阳市康平县2024-2025学年八年级上学期随堂练习数学试卷（二）

2024—2025学年度上学期随堂练习 八年数学（二）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数：（每相邻两个1之间依次增加一个0，中，无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知中，、、所对的边的长分别是、、，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到直线，可把直线（ ） A. 向下平移3个单位长度 B. 向上平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度 5. 若点在第四象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 若点和点关于x轴对称，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 17 8. 如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 估计与的大小关系是：______（填“”“”或“”）． 12. 若点和点都在直线上，则____ （选填“”“ ”或“”）． 13. 如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为_________． 14. 已知直线不过第二象限，则k的范围为___． 15. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处，则点C的坐标是______. 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1） （2） （3） 17. 电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．部分数据如下表：（注：速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 （1）补全表格； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）结合函数图象该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为______测速单位． 18. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． （1）求直线的函数解析式； （2）在直线上求一点，使． 20. “十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以下信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 21. 先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… （1）请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； （2）请利用上述规律，猜想_________=_________； （3）计算：的值． 22. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． （2）如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 23. 【模型构建】 如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ①则点A坐标为______；点B坐标为______； ②）C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线与y轴交于点D．点、Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期随堂练习 八年数学（二）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数：（每相邻两个1之间依次增加一个0，中，无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数：每相邻两个1之间依次增加一个0），中，无理数有每相邻两个1之间依次增加一个0，，共4个． 故选：D． 2. 已知中，、、所对的边的长分别是、、，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟记定理并应用是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】， ， ， ， ， 为直角三角形，故A选项不符合题意； ，，， 为不是直角三角形，故B选项符合题意； ， 设，， ，， ， 为直角三角形，故C选项不符合题意； ， 为直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根以及立方根；根据实数的性质以及实数的加减，算术平方根，立方根进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 要得到直线，可把直线（ ） A. 向下平移3个单位长度 B. 向上平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题关键． 将直线向上平移3个单位可得，由此可得出答案． 【详解】解：直线向上平移3个单位可得， 故选：B． 5. 若点在第四象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：由点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，得 ，， 由点P位于第四象限，得 ，， 点P的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键． 6. 若点和点关于x轴对称，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，根据象限内点的特点，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ∴点在第四象限； 故选：D． 7. 如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短．然后利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的值最小为是． 故选：A． 8. 如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用坐标系表示位置，根据已知点的坐标建立直角坐标系，即可得出结果． 【详解】解：如图，根据已知点的坐标建立直角坐标系， 根据坐标系可知的位置用坐标表示为， 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限， 函数是经过第一、三、四象限的直线， 故选：D． 10. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） ①动车的速度是270千米/小时； ②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇； ③甲、乙两地相距1000千米； ④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时． A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①普通列车的速度是（千米小时）， 设动车的速度为千米小时， 根据题意，得：， 解得：， 动车的速度为250千米小时， 故①错误； ②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点的实际意义是两车出发后3小时相遇， 故②正确； ③由时，知，甲地和乙地相距1000千米， 故③正确； ④由图象知时，动车到达乙地， 时，普通列车到达甲地， 即普通列车到达终点共需12小时， 故④错误； 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 估计与的大小关系是：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的混合运算，先比较两数平方的大小，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∵ ∴ 又∵， ， ∴ 故答案为：． 12. 若点和点都在直线上，则____ （选填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的增减性解答，即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点和点都在直线上，且， ∴， 故答案为： 13. 如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，进而根据数轴上的两点距离即可求得点E在数轴上所表示的数． 【详解】解：四边形是长方形，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，， 依题意. 设点E在数轴上所表示的数为，则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握勾股定理求得是解题的关键． 14. 已知直线不过第二象限，则k的范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴且， 解得． 当时，，也符合题意 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．需要特别注意不经过第二象限可能只经过第一、三象限． 15. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处，则点C的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出线段的长，再利用，得 ，求出的长，设为x，利用，求出x的长，即可得答案． 【详解】解：一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ， ， 将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处， ， ， ， 设为x，那么， ，即 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，解题的关键是证明． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘法，再算减法； （2）先对分子的根式化简成最简根式，再合并同类根式，再算除法即可； （3）先对所有根式化简成最简根式，再合并同类根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 17. 电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．部分数据如下表：（注：速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 （1）补全表格； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）结合函数图象该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为______测速单位． 【答案】（1） 补全表格如图； 0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 （2）两个函数的图象如图； ； （3）3 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据题意，补全表格； （2）根据（1）的表格，描点，连线，即可画出这两个函数的图象； （3）找到两图象的交点，即可求解． 【小问1详解】 解：观察表格，车速每增加一个单位，耗电量增加5个单位， 则当时，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知，当理想状态下与实际测试中耗电量相同时，的值约为3，故该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为3测速单位． 故答案为：3 18. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． （1）求直线的函数解析式； （2）在直线上求一点，使． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，根据图形面积之间的关系求出，进而求出点P的纵坐标，最后求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：（1）设直线的表达式为， 把代入，得，解得， 所以直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 20. “十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以下信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 【答案】（1）； （2）当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 （3）当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数，只要一对x，y的值；而求一次函数，则需要两组x，y的值． （1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得关于x的函数表达式即可； （2）当时，，可得的值； （3）当时，，当时，，当时，，分求得x的取值范围即可得出方案． 【小问1详解】 解：设， 把点代入，可得：， 解得， ∴； 设， 把代入，可得，即， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得； 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同； 【小问3详解】 解：由（2）知：当时，； 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算． 21. 先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… （1）请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； （2）请利用上述规律，猜想_________=_________； （3）计算：的值． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得：； 【小问2详解】 解：① ②； ③ …… ； 【小问3详解】 解： ． 22. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． （2）如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 【答案】（1） 证明： ，，，， ， ， ； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设边上的高为， 则， ， ， ， 即边上的高是， 故答案为：； 【小问3详解】 )在中，由勾股定理得 ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 23. 【模型构建】 如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ①则点A坐标为______；点B坐标为______； ②）C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线与y轴交于点D．点、Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）①当时，，当时，由得， ∴点A坐标为：点B坐标为； ②在图1中，过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的两个动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）根据题意，当时，如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $