第1章 解直角三角形 单元检测练习（2）2024-2025学年浙教版数学九年级上学期期末冲刺

浙教版数学九年级上学期末冲刺 九下《第1章 解直角三角形》单元检测练习（2） 一、 选择题 1.cos 60°的值为（　 　） A. B. C. D. 2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos A的值为（　 　） A. B. C. D. 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cos B＝，则AC等于（　 　） A. B.3 C.4 D.5 4. 如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(　 　) A．米 B．米 C．x·sin α米 D．x·cos α米 第4题图 5. 如图，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　 　) A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米 第5题图 6. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋tan α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(　 　) A．15° B．30° C．45° D．60° 7. 如图，在△ABC中，CA＝CB＝4.若cos C＝，则sin B的值为(　 　) A． B． C． D． 第7题图 8. 如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合成如图2所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为(　 　) A． B． C．1 D．2 第8题图 9. 如图，小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为(　 　) A．(600－250)米 B．(600－250)米 C．(350＋350)米 D．500 米 第9题图 10. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ(θ是锐角)，则△ABC的面积的最大值为(　 　) A．cos θ(1＋cos θ) B．cos θ(1＋sin θ) C．sin θ(1＋sin θ) D．sin θ(1＋cos θ) 第10题图 二、 填空题 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cos A＝________. 12.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为________. 13. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8 m，则CP的长为________________m(结果保留根号). 第13题图 14. 如图，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝2，则∠BAC的度数为_________°. 第14题图 15. 如图，沿AB方向修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1 600 m，∠BCD＝105°，则C，D两点之间的距离是_________m. 第15题图 16. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格中，∠α，∠β如图所示，则cos (α＋β)＝_________. 第16题图 三、 解答题 17. 计算： (1)＋tan 30°. 　　　　　　　　　 (2)2cos 45°·sin 45°－2sin 30°·tan 45°＋·tan 60°. 18. 如图，在平面直角坐标系内有一点P(－2，5)，连结OP.求OP与x轴的负半轴的夹角α的各个三角函数值． 　第18题图 19. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． (1)若a＝3，∠A＝30°，求∠B和b，c. (2)若∠B＝60°，b＝3，求a，c与∠A. 20.2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA＝1 m，AB＝5 m，BC＝2 m，∠ABC＝143°.机械臂端点C到工作台的距离CD＝6 m. （1）求A，C两点之间的距离； （2）求OD长.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈2.24） 21. 某次军事演习中，一艘船以每小时40海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(精确到0.1海里．参考数据：≈1.41，≈1.73). 第21题图 22. 四边形具有不稳定性，但工程上可利用这一性质．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B，C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度).已知AD＝BC，DH＝208 cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少(参考数据：sin 54°≈0.8，cos 54°≈0.6)? 第22题图 23. 如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连结AD，DE，∠B＝∠ADE. (1)求证：AC＝BC. (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． 第23题图 24. 阅读下列材料，回答问题． 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1. 工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3. 图1 　 图2 　 图3 第24题图 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下： 测量过程： (ⅰ)在小水池外选点C，如图4，测得AC＝a(m)，BC＝b(m)； (ⅱ)分别在AC，BC上测得CM＝(m)，CN＝(m)，测得MN＝c(m). 第24题图4 求解过程： 由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，∴＝＝. 又∵①________________， ∴△CMN∽△CAB，∴＝. 又∵MN＝c，∴AB＝②________________(m). 故小水池的最大宽度为***m. (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容． (2)小明求得AB用到的几何知识是________________________________. (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次． 【答案解析】 一、 选择题 1.cos 60°的值为（　B　） A. B. C. D. 解析：cos 60°＝. 故选B. 2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos A的值为（　C　） A. B. C. D. 解析：在△ABC中， ∵a＝6，b＝8，c＝10，a2＋b2＝62＋82＝36＋64＝100，c2＝100. ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形. ∴cos A＝＝＝. 故选C. 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，cos B＝，则AC等于（　B　） A. B.3 C.4 D.5 解析：如图所示， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴cos B＝＝， ∵AB＝5， ∴BC＝4， ∴AC＝＝3. 故选B. 4. 如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(　B　) A．米 B．米 C．x·sin α米 D．x·cos α米 第4题图 5. 如图，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　D　) A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米 第5题图 【解析】 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝5米． 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠D＝30°，∴∠ABD＝60°，∴＝tan ∠ABD＝tan 60°＝， ∴AD＝AB，∴CD＝AD－AC＝AB－AC≈1.732×5－5≈3.66(米). 6. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋tan α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(　C　) A．15° B．30° C．45° D．60° 【解析】 由题意，得b2－4ac＝4－4tan α＝0，解得tan α＝1，∴α＝45°. 7. 如图，在△ABC中，CA＝CB＝4.若cos C＝，则sin B的值为(　D　) A． B． C． D． 第7题图 【解析】 如答图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. 在Rt△ACD中， ∵CD＝CA·cos C＝1，∴AD＝＝. 在Rt△ABD中，∵BD＝CB－CD＝3，AD＝， ∴AB＝＝2，∴sin B＝＝＝. 第7题答图 8. 如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合成如图2所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为(　B　) A． B． C．1 D．2 第8题图 【解析】 如答图，过点B作BH⊥OC于点H. ∵∠AOB＝30°，∠A＝90°，∴OB＝＝2. 在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝＝. ∵∠CBO＝∠BHC＝90°，∴∠CBH＝∠BOC，∴cos ∠BOC＝cos ∠CBH， ∴＝，即＝，∴BH＝. 第8题答图 9. 如图，小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为(　B　) A．(600－250)米 B．(600－250)米 C．(350＋350)米 D．500 米 第9题图 【解析】 如答图所示标注字母，易知四边形BFCE是矩形． ∵BE∶AE＝5∶12，∴可设BE＝5k米，AE＝12k米． ∵AB＝1 300米， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＋BE2＝AB2， 即(12k)2＋(5k)2＝1 3002，解得k＝100，∴AE＝1 200米，BE＝500米． 设EC＝x米． 第9题答图 ∵∠DBF＝60°，∴易知DF＝BF·tan 60°＝x米． ∵∠DAC＝30°，∴AC＝CD·tan 60°＝CD， ∴1 200＋x＝(500＋x)，解得x＝600－250， ∴DF＝x＝(600－750)米， ∴CD＝DF＋CF＝(600－250)米， ∴山高CD为(600－250)米． 10. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ(θ是锐角)，则△ABC的面积的最大值为(　D　) A．cos θ(1＋cos θ) B．cos θ(1＋sin θ) C．sin θ(1＋sin θ) D．sin θ(1＋cos θ) 第10题图 【解析】 如答图，连结OA，OB，OC，过点O 作OD⊥BC于点D. ∵OB＝OC，OD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BOD＝∠COD＝∠BOC＝∠BAC＝θ， ∴BC＝2BD＝2OB·sin ∠BOD＝2sin θ， OD＝OB·cos ∠BOD＝cos θ. 第10题答图 易知点A位于DO的延长线上时，到BC的距离最大，则△ABC的面积最大， 此时S△ABC＝BC·AD ＝BC(AO＋OD)＝sin θ(1＋cos θ). 二、 填空题 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cos A＝　　. 解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝13，AC＝12， ∴cos A＝＝. 12.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为　　. 解析：由图形知：tan∠ACB＝＝. 13. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8 m，则CP的长为__3－__m(结果保留根号). 第13题图 【解析】 易知AD∥CP，∠DPC＝30°， ∴∠ADB＝30°. 又∵AD＝0.8 m， ∴AB＝AD·tan ∠ADB＝0.8×＝(m)， ∴BC＝2＋1－＝3－(m). 在Rt△BPC中，∠BPC＝30°，∴CP＝＝m. 14. 如图，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝2，则∠BAC的度数为__60__°. 第14题图 【解析】 如答图，连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D. ∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝. 在Rt△OBD中，∵OB＝OA＝2，BD＝，∴cos ∠OBD＝＝， ∴∠OBD＝30°. 又∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠BAC＝∠BOC＝60°. 　第14题答图 15. 如图，沿AB方向修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1 600 m，∠BCD＝105°，则C，D两点之间的距离是__800__m. 第15题图 【解析】 如答图，过点C作CE⊥BD于点E，则∠BEC＝∠DEC＝90°. ∵∠ABC＝150°，∴∠CBD＝30°， ∴∠BCE＝90°－30°＝60°. 又∵∠BCD＝105°，∴∠ECD＝45°， ∴∠EDC＝45°＝∠ECD，∴CE＝DE. ∵BC＝1 600 m， ∴CE＝BC·sin ∠CBD＝800 m， ∴CD＝＝800 m． 第15题答图 16. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格中，∠α，∠β如图所示，则cos (α＋β)＝____. 第16题图 【解析】 如答图所示标注字母，连结BC. ∵网格由10个完全相同的正三角形构成， ∴AD＝DE＝CE＝BE，∠ADE＝∠CEB＝120°， ∴△ADE≌△CEB，∴∠EBC＝α. ∵∠BEC＝120°，BE＝CE， 第16题答图 ∴∠BCE＝(180°－120°)÷2＝30°， ∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝60°＋30°＝90°. 设小正三角形的边长为a， 则AC＝2a，BC＝a， ∴在Rt△ACB中，AB＝＝a， ∴cos ∠ABC＝＝＝. 又∵∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝α＋β，∴cos (α＋β)＝. 三、 解答题 17. 计算： (1)＋tan 30°. 　　　　　　　　　 (2)2cos 45°·sin 45°－2sin 30°·tan 45°＋·tan 60°. 解：(1)原式＝＋＝. (2)原式＝2××－2××1＋×＝1－1＋3＝3. 18. 如图，在平面直角坐标系内有一点P(－2，5)，连结OP.求OP与x轴的负半轴的夹角α的各个三角函数值． 　第18题图 解：如答图，过点P作PA⊥x轴于点A. ∵OP＝ ＝＝， ∴sin α＝＝＝， cos α＝＝＝， tan α＝＝. 　第18题答图 19. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． (1)若a＝3，∠A＝30°，求∠B和b，c. (2)若∠B＝60°，b＝3，求a，c与∠A. 解：(1)∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°，sin A＝＝＝， ∴c＝6，∴b＝＝3. (2)同(1)可得∠A＝30°，a＝，c＝2. 20.2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA＝1 m，AB＝5 m，BC＝2 m，∠ABC＝143°.机械臂端点C到工作台的距离CD＝6 m. （1）求A，C两点之间的距离； （2）求OD长.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈2.24） 解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，连结AC， 在Rt△ABE中，AB＝5 m，∠ABE＝37°， ∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝， ∴≈0.60，≈0.80， ∴AE＝3 m，BE＝4 m， ∴CE＝6 m， 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC＝＝3≈6.7 m. （2）过点A作AF⊥CD，垂足为F， ∴FD＝AO＝1 m， ∴CF＝5 m， 在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝＝2 m. ∴OD＝2 m≈4.5 m. 21. 某次军事演习中，一艘船以每小时40海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(精确到0.1海里．参考数据：≈1.41，≈1.73). 第21题图 解：如答图，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. 由题意得，AB＝40×2＝90(海里)，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°. ∴AD＝＝CD，BD＝CD. ∵AB＝90海里，∴CD＋CD＝90，解得CD＝45－45≈32.9(海里). 答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为32.9海里． 第21题答图 22. 四边形具有不稳定性，但工程上可利用这一性质．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B，C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度).已知AD＝BC，DH＝208 cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少(参考数据：sin 54°≈0.8，cos 54°≈0.6)? 第22题图 解：点C离地面的高度升高了． 如答图1，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K. ∵BC⊥MN，AH⊥MN， ∴BC∥AH. 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 第22题答图1 ∴∠ADC＝∠GAE＝60°. ∵点C离地面的高度为288 cm，DH＝208 cm， ∴DK＝288－208＝80(cm). 在Rt△CDK中，CD＝＝＝160(cm). 如答图2，当∠GAE＝54°时，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，则∠CDQ＝54°. 在Rt△CDQ中，CD＝160 cm， ∴DQ＝CD·cos 54°≈160×0.6＝96(cm)， ∴96－80＝16(cm)， ∴点C离地面的高度升高约16 cm. 第22题答图2 23. 如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连结AD，DE，∠B＝∠ADE. (1)求证：AC＝BC. (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． 第23题图 解：(1)∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，∴∠B＝∠ACE. ∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC. (2)如答图，连结AE. ∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC，∴＝. 第23题答图 ∵AC为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴tan B＝＝2，∴AD＝2BD. ∵CD＝3，∴AC＝BC＝BD＋CD＝BD＋3. ∵AD2＋CD2＝AC2，∴(2BD)2＋32＝(BD＋3)2， 解得BD＝2或BD＝0(舍去)， ∴AD＝2BD＝4，AB＝＝＝2，BC＝2＋3＝5. ∵＝，∴＝， ∴DE＝2. 24. 阅读下列材料，回答问题． 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1. 工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3. 图1 　 图2 　 图3 第24题图 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下： 测量过程： (ⅰ)在小水池外选点C，如图4，测得AC＝a(m)，BC＝b(m)； (ⅱ)分别在AC，BC上测得CM＝(m)，CN＝(m)，测得MN＝c(m). 第24题图4 求解过程： 由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，∴＝＝. 又∵①__∠C＝∠C__， ∴△CMN∽△CAB，∴＝. 又∵MN＝c，∴AB＝②__3c__(m). 故小水池的最大宽度为***m. (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容． (2)小明求得AB用到的几何知识是__相似三角形的判定和性质__. (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次． 解：(3)测量过程： (i)如答图，在小水池外选点C，用测角仪在点B处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β； (ii)用皮尺测得 BC＝a(m). 求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a. 如答图，过点C作 CD⊥AB，垂足为D. 第24题答图 在Rt△CBD中，cos ∠CBD＝，∴BD＝a cos α. 同理，CD＝a sin α. 在Rt△ACD中，tan ∠CAD＝，即tan β＝，∴AD＝， ∴AB＝BD＋AD＝m， 故小水池的最大宽度为m. 学科网（北京）股份有限公司 $$