专题01 解直角三角形（基础+中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题01 解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、正弦、余弦、正切的概念 【解惑】在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知锐角满足，则 ． 3．如图，在中，，，，点D为的中点，线段的垂直平分线l交边于点E．设，，则y与x的关系式为 ． 类型二、求角的正弦、余弦、正切值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（　　）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 3．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 类型三、已知正弦、余弦、正切值求边长 【解惑】如图，矩形中，，，点为的中点，若点绕上的点旋转后可以与点重合，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【融会贯通】 1．图1为某型号的“汤碗”，图2是从正面看到的一个“汤碗”的形状示意图．碗体部分为半圆，直径为，碗底与平行．如图3，倒汤时，碗底与桌面的夹角为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．已知菱形，，，点E是线段上的一个三等分点，将沿折叠至，连接，延长相交于点P，则的长度为 ． 3．如图所示，中，，，，且D为上一点，将沿翻折，C落在，边与边交于F，若，则 ．    类型四、特殊三角形的三角函数 【解惑】如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的正切值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．的值等于（    ） A． B． C．1 D． 2．若若将、、的三角函数值填入表中，则从表中任意取一个值，是的概率为 3．计算： ． 类型五、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【解惑】在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【融会贯通】 1．若，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： ． 3．在中，都是锐角，且满足，则三角形的形状是 ． 类型六、由特殊角的三角函数值求角的度数 【解惑】若为锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 3．已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 类型七、解直角三角形 【解惑】在Rt△ABC中，C = 90，， AC =24，求BC的长． 【融会贯通】 1．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 2．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 3．在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 类型八、特殊三角形的三角函数 【解惑】计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算：． 2．计算： 3．计算： (1)； (2)． 【一览众山小】 1．在中， ， ， ， 则的值为（      ） A． B． C． D．2 2．如图，中，，于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 4．在中，，，，则的值为 ． 5．在中，，，那么 ． 6．计算： ． 7．如图，在中，，，，求的长． 8．计算： (1) (2)． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、正弦、余弦、正切的概念 【解惑】在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义选出正确答案即可． 【详解】解：A、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； B、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； C、，即，该式计算错误，符合题意，故本选项正确； D、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 2．已知锐角满足，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 3．如图，在中，，，，点D为的中点，线段的垂直平分线l交边于点E．设，，则y与x的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜中线定理、中垂线定理、正切的定义等知识点，综合运用这些性质和定理是解题的关键． 如图：连接，再证明可得求得BD2，再根据求得x与y的关系式即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵l是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． 故答案为：． 类型二、求角的正弦、余弦、正切值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，充分利用勾股定理和解直角三角形计算三角形的边或角．也考查了坐标与图形性质．作轴于，如图，先利用勾股定理计算出，然后在中利用正弦的定义求解． 【详解】解：作轴于，如图，   点的坐标为， ，， ， 在中，． 故选：C． 【融会贯通】 1．在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算即可． 【详解】如图所示， ∵在中，， ∴由勾股定理得，， 则， 故选：A． 2．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 3．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，求正切；取点，求出与的长度，在中，求即可． 【详解】解：如下图，设与的交点为， ，相邻的两条平行直线间的距离均为， ，， ，矩形的四个顶点分别在这四条直线上， ， 在中，， 则， 故答案为： 类型三、已知正弦、余弦、正切值求边长 【解惑】如图，矩形中，，，点为的中点，若点绕上的点旋转后可以与点重合，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据点绕上的点旋转后可以与点重合，得到，作于点，则，根据矩形中，，，点为的中点， 求得，得到，得到，解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转性质，正弦函数的应用，熟练掌握勾股定理，正弦函数是解题的关键． 【详解】根据点绕上的点旋转后可以与点重合， ∴， 作于点， ∴， ∵矩形中，，，点为的中点， ∴，，， ， ∴，， ∵ ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选B． ． 【融会贯通】 1．图1为某型号的“汤碗”，图2是从正面看到的一个“汤碗”的形状示意图．碗体部分为半圆，直径为，碗底与平行．如图3，倒汤时，碗底与桌面的夹角为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，余弦三角函数；延长交的延长线于，连接，由平行线的性质得，由余弦函数得，即可求解；掌握性质及余弦函数是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ()； 故选：B． 2．已知菱形，，，点E是线段上的一个三等分点，将沿折叠至，连接，延长相交于点P，则的长度为 ． 【答案】或 【分析】由题意知，分①点是靠近点的线段上三等分点，②点是靠近点的线段上三等分点，两种情况求解；①当点是靠近点的线段上三等分点，如图1，连接，作于，则，，证明，则，，如图1，作于，于，则，，，由勾股定理得，，设，，则，，，由勾股定理得，，即；，即；由，可求，则，进而可得；②当点是靠近点的线段上三等分点，如图2，连接，作于，同理①求解即可． 【详解】解：由题意知，分①点是靠近点的线段上三等分点，②点是靠近点的线段上三等分点，两种情况求解；①当点是靠近点的线段上三等分点，如图1，连接，作于，                图1 ∵菱形，，， ∴，， ∴， 由翻折的性质可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 如图1，作于，于， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 设，，则，，， 由勾股定理得，，即； ，即； ∴， 解得，， ∴， ∴； ②当点是靠近点的线段上三等分点，如图2，连接，作于，         图2 同理①，可得，，， 同理①，， ∴，， 如图2，作于，于， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 设，，则，，， 由勾股定理得，，即； ，即； ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，余弦，正弦，全等三角形的的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，余弦，正弦，全等三角形的的判定与性质，等腰三角形的判定与性质并分情况求解是解题的关键． 3．如图所示，中，，，，且D为上一点，将沿翻折，C落在，边与边交于F，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质．作，利用正切函数的定义结合勾股定理求得，，再利用勾股定理求得，证明和，利用相似三角形的性质列式即可求解． 【详解】解：作，垂足为，    ∵， ∴， 设，则， ∵， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 类型四、特殊三角形的三角函数 【解惑】如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出是等边三角形是解题关键． 根据作图的方法得出是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：连接， 由题意可得：， 则是等边三角形， 故． 故选：A． 【融会贯通】 1．的值等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查求特殊角的三角函数值，直接求出45度角的余弦值即可． 【详解】解：； 故选A． 2．若若将、、的三角函数值填入表中，则从表中任意取一个值，是的概率为 【答案】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点是特殊角的三角函数值和概率所求情况数与总情况数之比；先根据特殊角的三角函数值填表，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：填表如下： 1 表中共有9个数，有两个是， 从表中任意取一个值，是的概率为； 故答案为：． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解题的． 根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 类型五、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【解惑】在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据非负数的性质得出，，进而求得，，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 则，， 则， 故为钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【融会贯通】 1．若，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据非负数的性质得到，再由特殊角的三角函数值求出的度数，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 由特殊角的三角函数值可知此时， 此时， 则的形状是钝角三角形， 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B，进而确定三角形的形状． 【详解】解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0， 所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0， 即cosA＝，tanB＝1， 所以∠A＝45°，∠B＝45°， 所以 所以△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提． 3．在中，都是锐角，且满足，则三角形的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,再根据三角形内角和定理求得,判断三角形的形状即可． 【详解】 , 是钝角三角形． 故答案为：钝角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 类型六、由特殊角的三角函数值求角的度数 【解惑】若为锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．由特殊角的三角函数值，即可得的值． 【详解】解：∵为锐角，且， ∴， ∴由特殊角的三角函数值可知，， 故选：B． 【融会贯通】 1．在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，如图，过作于，由勾股定理求解，再利用锐角的余弦即可得到答案． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C 2．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，平行线的性质，先根据特殊角的三角函数值求出的度数，互余求出的度数，平行线的性质求出的度数，再利用互补关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴， ∴； 故答案为： 3．已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 /60度 /30度 /30度 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （3）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【详解】解：（1），，为锐角， ； （2）， ， ，为锐角， ； （3），，为锐角， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 类型七、解直角三角形 【解惑】在Rt△ABC中，C = 90，， AC =24，求BC的长． 【答案】10 【分析】根据∠C=90°，，设BC=5x，AB=13x，再根据勾股定理求出AC =12x，求出x的值，再代入BC=5x，进行计算即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，C = 90， ∴ 设BC=5x，AB=13x. 由勾股定理得AC =12x. ∵AC =24, ∴12x=24  解得x=2 ∴BC=5x=10 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，解此题的关键是得出关于x的方程，难度适中． 【融会贯通】 1．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可； （2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可． 【详解】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ ∴ 即 解得：BD＝12； （2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC， ∴AD＝5， ∴DC＝8， ∴tan∠C＝ 【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值． 2．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 3．在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查解直角三角形，利用互余关系求，特殊角的三角函数值求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 类型八、特殊三角形的三角函数 【解惑】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键， （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算，化简解答即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的化简，熟练掌握三角函数值，分母有理化是解题的关键． 【详解】解： ． 2．计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查了特殊三角函数的混合运算，代入特殊角的三角形函数值，计算零指数幂，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数的实数的运算，正确化简计算每一项是解题的关键． （1）根据二次根式的性质和零指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行加减计算； （2）分别化简计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和化简绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【一览众山小】 1．在中， ， ， ， 则的值为（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义可知，将已知条件代入计算即可． 本题主要考查了三角函数的定义，直角三角形中，如果锐角的大小确定，则．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图 ∵中， ， ， ， 则． 故选：A． 2．如图，中，，于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的正弦值，先求出，从而得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，，则的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．过A作于H，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求得的长，再利用正切函数的定义求得，据此求解即可． 【详解】解：过A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．在中，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】在中，， 且，， ， ． 故答案为：． 5．在中，，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先由勾股定理得，根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴． 故答案为: ． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余弦值和正切值，根据特殊角的三角函数值进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 7．如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先求出，进而求出，设，则，列方程求出x值，即可求出结论． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ， ， ， ∵， 设，则， ， ， 设，则， ， ∵． ∴， 解得：， ， ． 8．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)6.5 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合计算： （1）将特殊角三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$