2024-2025学年浙教版数学九年级上学期期末冲刺《第1章 解直角三角形》单元检测练习（1）

浙教版数学九年级上学期末冲刺 九下《第1章 解直角三角形》单元检测练习（1） 一、选择题 1. sin 60°的值为(　 　) A． B． C． D． 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝13，AC＝5，则cos A的值为(　 　) A． B． C． D． 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是(　 　) A． B． C． D． 第3题图 4.如图，某商场大厅电梯的横截面示意图中，AB的长为12米，AB与BC的夹角为α，则高AC为（　 　） A.12sin α米 B.12cos α米 C.米 D.米 5.图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan∠BOC的值为（　 　） A.sin α B.cos α C.tan α D. 6.如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（　 　） A. B. C. D. 7.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连结BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan2 β，则n＝（　 　） A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题 8. 比较大小：cos 30°________(填“＞”“＜”或“＝”). 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.若BC＝15，tan A＝，则AB＝_________. 10.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4，则斜坡AF的长度是　________m.（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123） 11.某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精准直线喷射技术，实现了准确、快速和节约的目标.在设置参数的时候，工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试验发现：如图，若对A点进行消毒，适当调整机器人CD到AB的距离，使得sin（α－β）的值尽可能的大，能提高消毒的效率.已知“大黄蜂” AB身高2.5米，机器人CD高0.4米.则当sin（α－β）最大时，机器人CD和“大黄蜂” AB之间距离BC等于　　 m. 三、解答题 12. 计算： (1)＋tan 30°. 　　　　　　　　　 (2)2cos 45°·sin 45°－2sin 30°·tan 45°＋·tan 60°. 13. 如图，在平面直角坐标系内有一点P(－2，5)，连结OP.求OP与x轴的负半轴的夹角α的各个三角函数值． 　第13题图 14.阳光下，电线杆AB落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是CD和BC，小亮量得CD＝8 m，BC＝20 m，斜坡CD的坡度为1∶，小亮的身高1.65 m，此时他在水平地面上的影子长为3.3 m，求电线杆的高度（结果保留根号）. 15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连结AE. （1）求线段CD的长； （2）求△ADE的面积. 16. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120 cm，BD＝80 cm，∠ABD＝105°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5 cm.请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离(精确到1 cm.参考数据：≈1.41，≈1.73). 第16题图 17.“和平使命”系列军演是具有战略影响的国际联合军事演习.在一次行动中，我军主力部队在A处驻扎，发现敌军在我军的东北方向的B处，遂立即通知位于我军北偏东75°，距离（6＋6）km，在C处执行任务的侦查小队，侦查小队测得敌军在北偏西60°，迅速沿着路线CA向主力部队靠近，并在途中选取距离敌军最近的地方对敌军进行监测活动. （1）求点B到路线CA的最短距离；（精确到0.1 km，参考数据：≈1.414，≈1.732） （2）上午6：00时，我军发现敌军开始沿BD向正西方向以6 km/h的速度行进，敌军现有探测设备的有效侦测半径为15 km，请问在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地是否在敌军的侦测范围内？如果在，我军需要从什么时间开始进行战略隐蔽，什么时间即可结束战略隐蔽？ 18. 如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连结AD，DE，∠B＝∠ADE. (1)求证：AC＝BC. (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． 第18题图 【答案解析】 一、选择题 1. sin 60°的值为(　C　) A． B． C． D． 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝13，AC＝5，则cos A的值为(　A　) A． B． C． D． 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是(　D　) A． B． C． D． 第3题图 4.如图，某商场大厅电梯的横截面示意图中，AB的长为12米，AB与BC的夹角为α，则高AC为（　A　） A.12sin α米 B.12cos α米 C.米 D.米 解析：由题意得AC⊥BC， 在Rt△ABC中，AB＝12米，∠ABC＝α， ∴AC＝AB·sin α＝12sin α（米）， 故选A. 5.图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan∠BOC的值为（　A　） A.sin α B.cos α C.tan α D. 解析：∵AB＝BC＝1， 在Rt△OAB中，sin α＝， ∴OB＝， 在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝sin α. 故选A. 6.如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（　B　） A. B. C. D. 解析：∵AB＝，BC＝，AC＝， ∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠ACB＝90°. ∴sin∠ABC＝＝＝. 故选B. 7.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连结BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan2 β，则n＝（　C　） A.5 B.4 C.3 D.2 解析：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b， ∵tan α＝，tan β＝，tan α＝tan2 β， ∴＝（）2， ∴（b－a）2＝ab， ∴a2＋b2＝3ab， ∵a2＋b2＝AD2＝S正方形ABCD，S正方形EFGH＝（b－a）2， ∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝ab∶3ab＝1∶3， ∵S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝1∶n， ∴n＝3. 故选C. 二、填空题 8. 比较大小：cos 30°__＞__(填“＞”“＜”或“＝”). 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.若BC＝15，tan A＝，则AB＝__17__. 10.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4，则斜坡AF的长度是　20.62　m.（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123） 解析：∵斜坡DE的坡度为i1＝1∶， ∴tan∠DEC＝＝， ∴∠DEC＝30°， ∴DC＝DE＝5（m）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝5 m， ∵斜坡AF的坡度为i2＝1∶4，AB＝5 m， ∴BF＝4AB＝20（m）， 在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m）， ∴斜坡AF的长度约为20.62 m. 11.某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精准直线喷射技术，实现了准确、快速和节约的目标.在设置参数的时候，工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试验发现：如图，若对A点进行消毒，适当调整机器人CD到AB的距离，使得sin（α－β）的值尽可能的大，能提高消毒的效率.已知“大黄蜂” AB身高2.5米，机器人CD高0.4米.则当sin（α－β）最大时，机器人CD和“大黄蜂” AB之间距离BC等于　　 m. 解析：如图，过点C作CF⊥AE于点F， 设BC＝x m， 根据题意得CD⊥BE，AB⊥BE，AB＝2.5 m，CD＝0.4 m， ∴CD∥AB，∴△CDE∽△BAE， ∴＝，即＝，解得CE＝x m， ∵α＝β＋∠CAF，∴∠CAF＝α－β， ∴当sin（α－β）最大时，sin∠CAF最大， ∴（sin∠CAF）2最大，即最大， 在Rt△ABC中，AC2＝BC2＋AB2＝x2＋＝， 在Rt△CDE中，DE2＝CE2＋CD2＝x2＋， ∵CD·CE＝DE·CF， ∴CD2·CE2＝DE2·CF2， ∴CF2＝＝＝， ∴＝＝， ∵x≠0，∴＝， ∵最大，∴400x2＋＋4 264最小，即400x2＋最小， ∵（－）2≥0，即400x2＋－2≥0， ∴400x2＋≥2， ∴当＝，即x＝或－（舍去）时，400x2＋最小， 即当sin（α－β）最大时，机器人CD和“大黄蜂” AB之间距离BC为 m. 三、解答题 12. 计算： (1)＋tan 30°. 　　　　　　　　　 (2)2cos 45°·sin 45°－2sin 30°·tan 45°＋·tan 60°. 解：(1)原式＝＋＝. (2)原式＝2××－2××1＋×＝1－1＋3＝3. 13. 如图，在平面直角坐标系内有一点P(－2，5)，连结OP.求OP与x轴的负半轴的夹角α的各个三角函数值． 　第13题图 解：如答图，过点P作PA⊥x轴于点A. ∵OP＝ ＝＝， ∴sin α＝＝＝， cos α＝＝＝， tan α＝＝. 　第13题答图 14.阳光下，电线杆AB落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是CD和BC，小亮量得CD＝8 m，BC＝20 m，斜坡CD的坡度为1∶，小亮的身高1.65 m，此时他在水平地面上的影子长为3.3 m，求电线杆的高度（结果保留根号）. 解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，DF⊥AB于F， 则四边形BFDE为矩形， ∴BF＝DE，DF＝BE， 在Rt△DCE中，斜坡CD的坡度为1∶， 则tan∠DCE＝＝， ∴∠DCE＝30°， ∴DE＝CD＝4 m，CE＝CD·cos∠DCE＝8×＝4 m， ∴BF＝DE＝4 m，DF＝BE＝BC＋CE＝（20＋4）m， ∵小亮的身高1.65 m，此时他在水平地面上的影子长为3.3 m， ∴AF＝DF＝（10＋2）m， ∴AB＝AF＋BF＝（14＋2）m. 答：电线杆的高度为（14＋2）m. 15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连结AE. （1）求线段CD的长； （2）求△ADE的面积. 解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，设CD＝x， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°， ∴DH＝DC＝x，则AD＝3－x. ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5， ∵sin∠BAC＝＝，∴＝， ∴x＝，即CD＝. （2）S△ABD＝AB·DH＝×5×＝， ∵BD＝2DE，∴＝＝2， ∴S△ADE＝×＝. 16. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120 cm，BD＝80 cm，∠ABD＝105°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5 cm.请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离(精确到1 cm.参考数据：≈1.41，≈1.73). 第16题图 解：如答图，过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE相交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N. 易知四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形， ∴MH＝ND，EF＝HG＝5 cm，BM∥DH， ∴∠NBD＝∠BDQ＝60°， ∴∠ABM＝∠ABD－∠NBD＝105°－60°＝45°. 第16题答图 在Rt△ABM中，AM＝AB·sin ∠ABM＝120×＝60. 在Rt△BDN中，ND＝BD·sin ∠NBD＝80×＝40， ∴MH＝ND＝40， ∴AG＝AM＋MH＋GH＝60＋40＋5≈60×1.41＋40×1.73＋5≈159(cm). 答：展板最高点A到地面PF的距离约为159 cm. 17.“和平使命”系列军演是具有战略影响的国际联合军事演习.在一次行动中，我军主力部队在A处驻扎，发现敌军在我军的东北方向的B处，遂立即通知位于我军北偏东75°，距离（6＋6）km，在C处执行任务的侦查小队，侦查小队测得敌军在北偏西60°，迅速沿着路线CA向主力部队靠近，并在途中选取距离敌军最近的地方对敌军进行监测活动. （1）求点B到路线CA的最短距离；（精确到0.1 km，参考数据：≈1.414，≈1.732） （2）上午6：00时，我军发现敌军开始沿BD向正西方向以6 km/h的速度行进，敌军现有探测设备的有效侦测半径为15 km，请问在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地是否在敌军的侦测范围内？如果在，我军需要从什么时间开始进行战略隐蔽，什么时间即可结束战略隐蔽？ 解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E， 根据题意可知∠BAC＝75°－45°＝30°，∠BCA＝30°＋15°＝45°， ∴BE＝CE，AB＝2BE， 设BE＝CE＝x km，则AE＝x km， ∵AE＋EC＝AC＝（6＋6）km， ∴x＋x＝6＋6， ∴x＝6≈8.5 km， ∴BE≈8.5 km， ∴点B到路线CA的最短距离约为8.5 km. （2）∵点B到路线CA的最短距离为BE的长度等于6 km， AB＝2BE＝12 km＞15 km， ∴此时我军主力部队所在A地不在敌军的侦测范围内. 如图，过点A作AF⊥BD于点F， ∵∠FBA＝45°， ∴AF＝AB＝×12＝12（km）， ∴此时我军主力部队所在A地在敌军的侦测范围，设在点F两侧的GH之间距离范围内， 根据题意可知AH＝AG＝15 km， ∴FH＝＝＝9 km， ∴GF＝9 km， ∴BH＝BF－FH＝AF－FH＝12－9＝3 km， ∴BG＝2FH＋BH＝18＋3＝21（km）， ∴t1＝＝0.5 h，t2＝＝＝3.5 h. ∴我军需要从6点30分开始进行战略隐蔽，9点30分即可结束战略隐蔽. 18. 如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连结AD，DE，∠B＝∠ADE. (1)求证：AC＝BC. (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． 第18题图 解：(1)∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，∴∠B＝∠ACE. ∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC. (2)如答图，连结AE. ∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC，∴＝. 第18题答图 ∵AC为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴tan B＝＝2，∴AD＝2BD. ∵CD＝3，∴AC＝BC＝BD＋CD＝BD＋3. ∵AD2＋CD2＝AC2，∴(2BD)2＋32＝(BD＋3)2， 解得BD＝2或BD＝0(舍去)， ∴AD＝2BD＝4，AB＝＝＝2，BC＝2＋3＝5. ∵＝，∴＝， ∴DE＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$