第八单元数学广角——优化·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 12 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 6 日 2 / 12 目 录 【课内精选一】沏茶问题 ........................................................................................................ 3 【课内精选二】烙饼问题 ........................................................................................................ 3 【奥数拓展一】最优化问题（一） ........................................................................................ 5 【奥数拓展二】最优化问题（二） ........................................................................................ 5 【奥数拓展三】最优化问题（三） ........................................................................................ 6 【奥数拓展四】最优化问题（四） ........................................................................................ 8 【奥数拓展五】必胜的策略（一） ........................................................................................ 9 【奥数拓展六】必胜的策略（二） ...................................................................................... 10 【奥数拓展七】最不利原则（一） ...................................................................................... 11 【奥数拓展八】最不利原则（二） ...................................................................................... 12 3 / 12 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——优化·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】沏茶问题。 妈妈做早饭的过程及时间：洗锅（1分钟）熬粥（20分钟），煎鸡蛋（5分钟）， 拌小菜（5分钟），盛粥（1分钟）。妈妈做这顿饭至少需要( )分钟。 【专项训练】 1．妈妈下班回家做饭，淘米要 2分钟，煮饭要 25分钟，洗菜要 4分钟，切菜要 5分钟，炒菜要 10分钟。如果煮饭和炒菜用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都 做好，最少要用( )分钟。 2．卓玛星期日休息时想帮妈妈做些事情：烧开水需 5分钟，冲油茶需 3分钟， 扫地需 6分钟，用洗衣机洗衣服需 25分钟，晒衣服需 5分钟。经过合理安排， 她做完这些事至少需要( )分钟。 3．明明给客人沏茶，接水 1分钟，烧水 10分钟，洗茶杯 1分钟，拿茶叶 1分钟， 沏茶 1分钟，明明合理安排时间，至少需要( )分钟，才能让客人尽快喝 上茶。 【课内精选二】烙饼问题。 小亮用平底锅煎小黄鱼，锅内同时最多能放 2条，用它煎一条鱼要 4分钟（正反 面各要 2分钟），如果要煎 3条小黄鱼，至少需要( )分钟。 【专项训练】 1．用一个平底锅烙饼，每次最多能放 2张饼，烙一面要 2分钟，两面都要烙， 烙 7张饼最少烙( )次，需要( ) 分钟。 2．在烤炉上烤面包，一次能烤 2片，每片都要烤两面，每面都需要烤 1分钟， 烤 5片面包至少需要( )分钟。 3．烧饼店的锅一次最多可以烙 4张饼，如果烙一张饼需要 5分钟，那么烙 8张 4 / 12 饼至少需要( )分钟。 5 / 12 【奥数拓展一】最优化问题（一）。 放牛娃在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁 4头牛，甲牛过河要 2分钟，乙 牛过河要 3分钟，丙牛过河要 6分钟，丁牛过河要 7分钟，每次只能赶 2头牛过 河，要把 4头牛赶到河对岸，最少要几分钟? 【专项训练】 放牛娃骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁 4头牛，甲牛过河要 6分钟， 乙牛过河要 5分钟，丙牛过河要 1分钟，丁牛过河要 2分钟，每次只能赶 2头牛 过河，最少要花几分钟能把牛全部赶过河? 【奥数拓展二】最优化问题（二）。 理发室只有一位理发师，一天同时来了四位顾客，按照他们要理的发型，分别需 要 11分钟、25分钟、16分钟和 20分钟，怎样安排他们的理发顺序，才能使这 四个人理发及等候所用的时间最少，最少共需要几分钟? 【专项训练】 1. 甲、乙、丙三人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头只有一个，注满甲的水 桶要 5分钟，注满乙的水桶要 3分钟，注满丙的水桶要 7分钟，按怎样的顺序接 水，使他们三人所花的时间总和最少?最少的时间是多少? 6 / 12 2. 理发室里有甲、乙两位理发师.一天，有五位顾客同时来理发，根据他们所要 理的发型，分别需要 10、12、15、20和 24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才 能使这五人理发和等候所用的时间总和最少?最少用多少分钟? 3. 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显 然公共汽车的速度比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可 以看成是固定不变的)，在任何情况下，他总是采用时间最少的最佳方案。下表 表示他到达 A、B、C三地采用最佳方案所需要的时间，为了到达离住地 8千米 的地方，他需要花多少时间? 【奥数拓展三】最优化问题（三）。 在一条公路上，每隔 10 千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓 库库存货物的重量，现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物 运输 1千米需要运费 3元，那么集中到哪个仓库运费最少?最少是多少元? 7 / 12 【专项训练】 1. 在一条公路上每隔 100千米有一个仓库.如图共有 5个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库有 20吨货物，五号仓库存有 40吨货物，其余两个仓库是空的。 现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要 2 元运输费，那么运输费最少需要多少元? 2. 一条街上有 5 栋楼，从左到右编号为 1、2、3、4、5，相邻两楼的距离都是 50米，第 1号楼有 1名职工在 A厂上班，第 2号楼有 2名职工在 A厂上班…… 第 5号楼有 5名职工在 A 厂上班，A厂计划在街上设立一个班车接送车站，车 站设在距离 1号楼多少米的地方，才能使这些职工到车站所走的路程之和最少? 3. 一条公路上有 A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A,个村庄(如图)，现在要在这条公 路上设一个车站，使这 7个村庄的村民到车站步行的路程总和最小，车站应设在 什么地方? 8 / 12 【奥数拓展四】最优化问题（四）。 如图 1所示，一只昆虫要沿放在地面上的正方体的表面从顶点 A爬到相距它最 远的顶点 C₁，哪条路线最短?画图说明。 【专项训练】 1. 如图所示，王大伯要从家 A点处去河边挑水，然后把水挑到 B点的田里，请 你帮他找一条最短的线路。 2. 北仓库有货物 35 吨，南仓库有货物 25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中 去，其中甲工厂需要 28吨，乙工厂需要 12吨，丙工厂需要 20吨，两个仓库与 各工厂之间的距离如图所示(单位：千米)，已知运输每吨货物 1千米的费用是 1 元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元? 9 / 12 3. 5所学校 A、B、C、D、E之间有公路相通，图上标出每段公路的千米数， 想借一个学校召开一次学生代表会议，应出席会议的 A 校有代表 6人，B校有 代表 4人，C校有代表 8人，D 校有代表 7人，E校有代表 10人。为使参加会 议的代表所走路程的总和最小；你认为会议应借哪个学校召开最合理? 【奥数拓展五】必胜的策略（一）。 有 200枚围棋子放在盒子里，甲、乙两人轮流各取 1枚或 2枚，取到最后一枚为 胜者，必胜的对策是什么? 【专项训练】 1. 桌上放着 10枚硬币，甲、乙二人轮流取，每次取 1～3枚，谁取到最后一枚 谁获胜，假定双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜?给出一种获胜方法。 2. 桌子上放着 55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1~3根，规定谁取走最后一 根火柴谁就输，如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜?有什么获胜策 略? 10 / 12 3. 有一排 1999个空格，预先在左边第一格中放一枚棋子，然后由甲、乙两人轮 流走，甲先乙后.每人走时，可以将棋子向右移动 1～4格，规定谁将棋子走到最 后一格谁输，甲为了必胜，第一步走几格?以后怎样走? 【奥数拓展六】必胜的策略（二）。 黑板上写着一排连续的自然数，从 1 至 81，甲、乙两人轮流划掉任意连续的 3 个数，如果在甲划过之后乙再也不能划了，甲就取胜，甲有必胜的策略吗? 【专项训练】 1. 10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上，两个小朋友做翻牌游戏，规定： 每人每次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上，翻过的牌不能再翻，两人 轮流翻动，翻动最后一张牌的人获胜，问：怎样做才必定获胜? 2. 下图是一种“红黑棋”，甲、乙两人玩棋，分别取红(图中用灰色表示)、黑两方， 规定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子可以走一格或几格，红棋 从左向右走，黑棋向左走，但是不能跳过对方棋子走，也不能重叠放在对方有棋 子的格中，一直到谁无法走棋时，谁就失败，现在按甲先乙后的顺序走棋，甲有 没有必胜的策略?如有，获胜的策略是什么? 11 / 12 3. 在一张 4×10的方格棋盘上，一人将棋子置于 A，另一人将棋子置于 B，随后 两人轮流走，每次可沿一条横线或一条纵线至少走一格，并遵守如下规则：不可 以和对方棋子在同一直线上；不能越过对方棋子所在直线；轮到谁无路可走就算 失败，先走一方怎样才能取胜? 【奥数拓展七】最不利原则（一）。 一副扑克 54张牌，至少要取出多少张牌才能保证其中有 4张牌的点数相同? 【专项训练】 1. 有红、黄、蓝、白四色小球各 10个，混合放在一个暗盒里，一次至少摸出几 个，才能保证有 2个小球是同色? 2. 有红、黄、蓝、白四色小球各 10个，混合放在一个暗盒中，一次至少摸出多 少个，才能保证有 6个小球是同色的? 3. 厨房里有三种颜色的筷子各 10根， (1)至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到? (2)至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子? (3)至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子? 12 / 12 【奥数拓展八】最不利原则（二）。 现有黑色、白色手套各 5副，它们的规格都一样，混放在一起，黑暗中想取同色 手套 3副，至少取多少只才能达到要求? 【专项训练】 1. 一个箱子里放有型号相同颜色不同的红、黄、白、黑四种颜色的袜子各 10只， 只许用手摸，不许用眼看，至少要从箱子中取出多少只袜子才能保证配成 4双?(一 双指同颜色的袜子两只) 2. 口袋中有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球各 30个，不看口袋，至少要摸出多少 个，才能同时保证红球与黄球的和比蓝球多，黄球与蓝球的和比红球多，蓝球与 红球的和比黄球多? 3. 袋子里装有红色球 80个，蓝色球 70个，黄色球 60个，白色球 50个，它们 的大小与质量都一样，不许看只许用手摸取，要保证摸出 10对同色球，至少应 摸出多少个? 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月6日 目 录 【课内精选一】沏茶问题 3 【课内精选二】烙饼问题 4 【奥数拓展一】最优化问题（一） 7 【奥数拓展二】最优化问题（二） 7 【奥数拓展三】最优化问题（三） 9 【奥数拓展四】最优化问题（四） 10 【奥数拓展五】必胜的策略（一） 13 【奥数拓展六】必胜的策略（二） 13 【奥数拓展七】最不利原则（一） 15 【奥数拓展八】最不利原则（二） 16 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——优化·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】沏茶问题。 妈妈做早饭的过程及时间：洗锅（1分钟）熬粥（20分钟），煎鸡蛋（5分钟），拌小菜（5分钟），盛粥（1分钟）。妈妈做这顿饭至少需要( )分钟。 【答案】22 【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，熬粥的同时可以煎鸡蛋、拌小菜，因此分别计算出洗锅、熬粥、盛粥用的时间，煎鸡蛋、拌小菜用的时间，然后再比较并填空即可。 【详解】1＋20＋1＝22（分钟） 5＋5＝10（分钟） 22分钟＞10分钟，即妈妈做这顿饭至少需要22分钟。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 【专项训练】 1．妈妈下班回家做饭，淘米要2分钟，煮饭要25分钟，洗菜要4分钟，切菜要5分钟，炒菜要10分钟。如果煮饭和炒菜用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用( )分钟。 【答案】27 【分析】此类题目要奔着节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决，根据题干可知：煮饭的25分钟，可以同时洗菜、切菜还能炒菜，由此即可设计出妈妈煮饭的工序，从而计算得出所用的时间。 【详解】可以这样安排：先淘米，2分钟；再煮饭，同时还可以洗菜、切菜还能炒菜，共用25分钟；所以妈妈要将饭菜都做好，最少要用：2＋25＝27（分钟）。 【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 2．卓玛星期日休息时想帮妈妈做些事情：烧开水需5分钟，冲油茶需3分钟，扫地需6分钟，用洗衣机洗衣服需25分钟，晒衣服需5分钟。经过合理安排，她做完这些事至少需要( )分钟。 【答案】30 【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，用洗衣机洗衣服的同时，可以烧开水、冲油茶、扫地，因此分别计算出用洗衣机洗衣服、晒衣服的总时间，烧开水、冲油茶、扫地用的总时间，然后再比较并填空即可。 【详解】25＋5＝30（分钟） 5＋3＋6＝14（分钟） 30分钟＞14分钟，即她做完这些事至少需要30分钟。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 3．明明给客人沏茶，接水1分钟，烧水10分钟，洗茶杯1分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟，明明合理安排时间，至少需要( )分钟，才能让客人尽快喝上茶。 【答案】12 【分析】要使需要的时间最短，应先接水，然后烧水，在完成烧水这项任务的同时，可完成洗茶杯和拿茶叶这两项任务，最后沏茶。则一共需要（1＋10＋1）分钟。 【详解】1＋10＋1＝12（分钟） 则至少需要12分钟，才能让客人尽快喝上茶。 【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 【课内精选二】烙饼问题。 小亮用平底锅煎小黄鱼，锅内同时最多能放2条，用它煎一条鱼要4分钟（正反面各要2分钟），如果要煎3条小黄鱼，至少需要( )分钟。 【答案】6 【分析】这3条鱼分别为a、b、c；第一次煎a、b的正面；第二次煎a的反面和c的正面；第三次煎b、c的反面。所以煎3条鱼需要（3×2）分钟。 【详解】3×2＝6（分钟） 至少需要6分钟。 【点睛】在优化问题中，要统筹安排煎鱼的顺序，使锅里始终没有空位，这样才能保证需要的时间最短。 【专项训练】 1．用一个平底锅烙饼，每次最多能放2张饼，烙一面要2分钟，两面都要烙，烙7张饼最少烙( )次，需要( ) 分钟。 【答案】 7 14 【分析】每次最多只能放2张饼时，要保证每次都在锅中放2张饼才能最节省时间；如果烙的张数是单数，可以先2张2张地烙，剩下的3张饼可以正反面穿插着烙，具体流程如下：第1次烙第一、第二张饼的正面，第2次烙第一、第二张饼的反面；第3次烙第三、第四张饼的正面，第4次烙第三、第四张饼的反面；第5次烙第五、第六张饼的正面，第6次烙第五张饼的反面和第七张饼的正面；第7次烙第六、第七张饼的反面； 【详解】1×2＋1×2＋3 ＝2＋2＋3 ＝7（次） 2×7＝14（分钟） 所以，烙7张饼最少烙7次，需要14分钟。 【点睛】此题考查了有关优化问题，解题关键是合理安排时间，做到锅中时刻有2张饼。 2．在烤炉上烤面包，一次能烤2片，每片都要烤两面，每面都需要烤1分钟，烤5片面包至少需要( )分钟。 【答案】5 【分析】烙饼问题，一次最多烙2张，一面时间为n分钟，要烙m张的最短时间是m×n分钟；代数解答。 【详解】根据分析，5×1＝5（分钟），所以烤5片面包至少需要5分钟。 【点睛】本题考查的是烙饼问题的实际应用。 3．烧饼店的锅一次最多可以烙4张饼，如果烙一张饼需要5分钟，那么烙8张饼至少需要( )分钟。 【答案】10 【分析】一次可以烙4张饼，烙8张饼则至少需要两次才能完成，烙一张饼需要5分钟，即为烙一次饼为5分钟，所以烙8张饼需要的时间为单次烙饼时间乘2，据此解答。 【详解】5×2＝10（分钟），所以烙8张饼至少需要10分钟。 【点睛】本题应注意“一次可烙饼的数量”，即烙一张饼和烙四张饼所需时间相同。 【奥数拓展一】最优化问题（一）。 放牛娃在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河要2分钟，乙牛过河要3分钟，丙牛过河要6分钟，丁牛过河要7分钟，每次只能赶2头牛过河，要把4头牛赶到河对岸，最少要几分钟? 解析： 因为甲、乙两头牛过河用时较少，所以应安排甲、乙两头牛一起过河，丙、丁两头牛一起过河。 步骤如下： (1)放牛娃赶甲、乙两牛过河，用时3分钟，骑甲牛返回，用时2分钟，共5分钟； (2)赶丙牛、丁牛过河，用时7分钟，骑乙牛返回，用时3分钟，共10分钟； (3)赶甲牛、乙牛过河，用时3分钟。 所以用3+2+7+3+3=18(分钟)能把4头牛赶到河对岸。 【专项训练】 放牛娃骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河要6分钟，乙牛过河要5分钟，丙牛过河要1分钟，丁牛过河要2分钟，每次只能赶2头牛过河，最少要花几分钟能把牛全部赶过河? 解析： 第一步：丙与丁一起过河，并由放牛娃骑丙牛返回，共用2+1=3(分钟)； 第二步：放牛娃骑甲与乙过河后，再骑丁牛返回，共用6+2=8(分钟)； 第三步：放牛娃骑丙与丁一起过河用了2分钟；所以，最少要用3+8+2=13(分钟)。 【奥数拓展二】最优化问题（二）。 理发室只有一位理发师，一天同时来了四位顾客，按照他们要理的发型，分别需要11分钟、25分钟、16分钟和20分钟，怎样安排他们的理发顺序，才能使这四个人理发及等候所用的时间最少，最少共需要几分钟? 解析： 四位顾客理发的总时间是不变的，而等候的时间的多少与理发顺序有着密切的联系，要使理发时间与等候时间最少，应让理发时问短的人先理发，这样等候的时间会较少，理发时间总和：11+16+20+25=72(分钟)；等候时间总和：11×3+16×2+20×1=85(分钟)，共用时72+85=157(分钟)。 答：按理发时间为11分钟、16分钟、20分钟、25分钟的顺序理发，最少共需要157分钟。 【专项训练】 1. 甲、乙、丙三人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头只有一个，注满甲的水桶要5分钟，注满乙的水桶要3分钟，注满丙的水桶要7分钟，按怎样的顺序接水，使他们三人所花的时间总和最少?最少的时间是多少? 解析：按乙、甲、丙的顺序接水，所花费的时间最少，最少用3×3+5×2+7=26(分钟)。 2. 理发室里有甲、乙两位理发师.一天，有五位顾客同时来理发，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用的时间总和最少?最少用多少分钟? 解析： 五人理发的总时间为10+12+15+20+24=81(分钟)，两位理发师的理发时间应尽可能接近，81=42+39，甲理发师可按理发时间为10分钟、12分钟、20分钟的顺序给三位顾客理发，乙理发师可按理发时间为15分钟、24分钟的顺序给两位顾客理发，顾客等候的时间为10×2+12×1+15×1=47(分钟)，理发与等候的总时间最少是81+47=128(分钟)。 3. 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可以看成是固定不变的)，在任何情况下，他总是采用时间最少的最佳方案。下表表示他到达A、B、C三地采用最佳方案所需要的时间，为了到达离住地8千米的地方，他需要花多少时间? 解析： 若他骑车去A、B两地，则由12÷2≠15.5÷3，可知该种情况不成立。 若乘公共汽车去A、B两地，到达B地比到达A地多行1千米，多用时15.5－12=3.5(分)，即公共汽车行驶1千米用时3.5分钟，则根据表格可知等候时 间应为12－3.5×2=5(分)，C地较远故也应乘坐公共汽车前往，则用时应为3.5×4+5=19(分)，与题条件不符，故不可能乘公共汽车去A、B两地。 因而只能是骑车到A地，乘公共汽车到B、C两地，C地比B地远1千米用时多2.5分钟，故行驶4千米用时10分钟，等候时间为18－10=8(分)，故到达离住地8千米处用时应为2.5×8+8=28(分)。 【奥数拓展三】最优化问题（三）。 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量，现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费3元，那么集中到哪个仓库运费最少?最少是多少元? 解析： A仓库的货物最少，E仓库的货物最多，按照“小往大处靠”的原则来确定最后的存放点。 先将A仓库的10吨货物集中到B仓库，此时B仓库的货物有40吨，小于E仓库的重量，还需将B仓库的40吨货物集中到C仓库，完成后，C仓库有60吨货物，与E仓库的货物量相等，最后可将C、E两个仓库的60吨货物都运往D仓库，也就是说将货物集中在D仓库，运输费是最少的，最少需要 (30×10+30×20+20×10+60×10)×3=5100(元) 【专项训练】 1. 在一条公路上每隔100千米有一个仓库.如图共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要2元运输费，那么运输费最少需要多少元? 解析： 五号仓库的货物最重，先将一号仓库的10吨货物集中到二号仓库，这时二号仓库有30吨货物.按照“小往大处靠”的原则，再将30吨货物集中到五号仓库中，所需要的运输费最少，最少需要(10×400+20×300)×2=20000(元)。 2. 一条街上有5栋楼，从左到右编号为1、2、3、4、5，相邻两楼的距离都是50米，第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……第5号楼有5名职工在A厂上班，A厂计划在街上设立一个班车接送车站，车站设在距离1号楼多少米的地方，才能使这些职工到车站所走的路程之和最少? 解析：如图所示，按照“小往大处靠”的原则确定车站的位置，由于1+2+3>5，所以应建在4号楼的位置，距1号楼150米处。 3. 一条公路上有A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A,个村庄(如图)，现在要在这条公路上设一个车站，使这7个村庄的村民到车站步行的路程总和最小，车站应设在什么地方? 解析：因为有7个村庄，所以车站设于正中间A₄处最好。 【奥数拓展四】最优化问题（四）。 如图1所示，一只昆虫要沿放在地面上的正方体的表面从顶点A爬到相距它最远的顶点C₁，哪条路线最短?画图说明。 解析： 把正方体的表面展开，转化为平面图形，根据平面上两点间线段最短，可找到最短路线，如图2所示，把正方体的前面和右面展开，可得长方形，连结AC₁，则AC₁即为最短路线，同理可得其他最短路线，如图3、图4、图5所示。(因正方体放在地面上，故下表面不能走) 【专项训练】 1. 如图所示，王大伯要从家A点处去河边挑水，然后把水挑到B点的田里，请你帮他找一条最短的线路。 解析： 以河流为轴，取A点的对称点C，连结CB与河流相交于D点，再连结AD，则王大伯沿着AD到河边挑水，然后再沿着DB把水挑到B点的田里去，这是一条最短的路线(如图)。 2. 北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去，其中甲工厂需要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨，两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：千米)，已知运输每吨货物1千米的费用是1元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元? 解析： 甲工厂需要28吨货物，可从南仓库处取25吨，北仓库处取3吨，费用为(25×8+3×10)×1=230(元)，乙、丙两厂的货物都从北仓库处取，费用为(12×6+20×12)×1=312(元)，费用最少为230+312=542(元)。 3. 5所学校A、B、C、D、E之间有公路相通，图上标出每段公路的千米数，想借一个学校召开一次学生代表会议，应出席会议的A校有代表6人，B校有代表4人，C校有代表8人，D校有代表7人，E校有代表10人。为使参加会议的代表所走路程的总和最小；你认为会议应借哪个学校召开最合理? 解析： 如果会议地点在B校，参加会议代表所走路程的总和为： 2×6+2×7+3×8+(3+2)×10=100(千米)； 如果会议地点在D校，参加会议代表所走路程的总和为： (2+2)×6+2×4+(2+3)×8+4×10=112(千米)； 如果会议地点在C校，参加会议代表所走路程的总和为： (2+3)×6+3×4+(3+2)×7+2×10=97(千米)； 如果会议地点在E校，参加会议代表所走路程的总和为： 8×2+4×7+(3+2)×4+(2+3+2)×6=106(千米) 通过比较，可知会议地点设在C校最合理。 【奥数拓展五】必胜的策略（一）。 有200枚围棋子放在盒子里，甲、乙两人轮流各取1枚或2枚，取到最后一枚为胜者，必胜的对策是什么? 解析： 由于每人可取1枚或2枚，当甲取1枚时，乙可以取2枚，当甲取2枚时，乙可以取1枚，所以不妨将3枚棋子作为一组，由200÷3=66(组)……2(枚)，为了确保拿到这堆棋子的最后一枚或2枚，甲应争取先拿，且拿走2枚，然后乙随便取1枚或2枚，甲就相应地取2枚或1枚，以使得两人各取一次后一共取走3枚，这样甲就是必胜方。 【专项训练】 1. 桌上放着10枚硬币，甲、乙二人轮流取，每次取1～3枚，谁取到最后一枚谁获胜，假定双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜?给出一种获胜方法。 解析：10÷(1+3)=2(回合)……2(枚)，甲先取走2枚，以后每一回合与乙凑成4枚，甲一定获胜。 2. 桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1~3根，规定谁取走最后一根火柴谁就输，如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜?有什么获胜策略? 解析： 甲只需将最后一根留给乙去拿就可获胜，由于(55—1)÷(3+1)=13……2，因此开始时，甲先取走2根火柴，之后甲要确保与乙拿的火柴根数之和是4即可获胜。 3. 有一排1999个空格，预先在左边第一格中放一枚棋子，然后由甲、乙两人轮流走，甲先乙后.每人走时，可以将棋子向右移动1～4格，规定谁将棋子走到最后一格谁输，甲为了必胜，第一步走几格?以后怎样走? 解析：第一步走2格，以后每一回合与乙凑成5格，留下一格是乙走。 【奥数拓展六】必胜的策略（二）。 黑板上写着一排连续的自然数，从1至81，甲、乙两人轮流划掉任意连续的3个数，如果在甲划过之后乙再也不能划了，甲就取胜，甲有必胜的策略吗? 解析： 若甲先划，只要把中间3个数，即40、41、42划掉，这样就把这排数分成了个数相等的两组，这以后，只要乙在某一组里有数可划，甲在另一组里相对称的位置上就总有数可划，因此甲争取先划，就有必胜的把握。 【专项训练】 1. 10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上，两个小朋友做翻牌游戏，规定：每人每次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上，翻过的牌不能再翻，两人轮流翻动，翻动最后一张牌的人获胜，问：怎样做才必定获胜? 解析：先翻第5、6张牌，之后无论对方翻什么牌，都在它对称的位置上翻牌。 2. 下图是一种“红黑棋”，甲、乙两人玩棋，分别取红(图中用灰色表示)、黑两方，规定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子可以走一格或几格，红棋从左向右走，黑棋向左走，但是不能跳过对方棋子走，也不能重叠放在对方有棋子的格中，一直到谁无法走棋时，谁就失败，现在按甲先乙后的顺序走棋，甲有没有必胜的策略?如有，获胜的策略是什么? 解析： 甲先把第六行的红棋向右走两格，使中间只有一个空格，留给对方对称的局面，然后把(第一行，第六行)；(第二行，第三行)；(第四行，第五行)两两分组，乙走哪一行的哪几格，甲就在同组的另一行走几格。 3. 在一张4×10的方格棋盘上，一人将棋子置于A，另一人将棋子置于B，随后两人轮流走，每次可沿一条横线或一条纵线至少走一格，并遵守如下规则：不可以和对方棋子在同一直线上；不能越过对方棋子所在直线；轮到谁无路可走就算失败，先走一方怎样才能取胜? 解析： 先走一方将一枚棋子走到与另一枚棋子在4×4的对角线上，然后不管后者怎么走，先走一方与对方所在位置成一个3×3或2×2的对角线即可。 【奥数拓展七】最不利原则（一）。 一副扑克54张牌，至少要取出多少张牌才能保证其中有4张牌的点数相同? 解析： 一副扑克有四种花色，每种花色各有13张，加大王、小王各一张，共54张，要保证摸出的牌其中有4张牌的点数相同，从最不利的情况去考虑，首先取出2张王，其次如果再将红桃的13张，以及方块、黑桃各13张牌全取出来，这时已取出13×3+2=41(张)，但仍然不符合要求，最后只要在余下的一种花色中任意取出一张，这时必定有4张牌的点数相同，算式为13×3+2+1=42(张) 答：至少要取出42张牌才能保证其中有4张牌的点数相同。 【专项训练】 1. 有红、黄、蓝、白四色小球各10个，混合放在一个暗盒里，一次至少摸出几个，才能保证有2个小球是同色? 解析：1×4+1=5(个) 2. 有红、黄、蓝、白四色小球各10个，混合放在一个暗盒中，一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的? 解析：5×4+1=21(个) 3. 厨房里有三种颜色的筷子各10根， (1)至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到? (2)至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子? (3)至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子? 解析： (1)最不利的情况：取出了其中2种颜色的筷子各10根.在这种情况下，再加1根，必然会出现三种颜色的筷子都有，故至少取10×2+1=21(根)才能保证； (2)最不利的情况：取出了一种颜色10根，其余两种颜色的筷子各取了1根，在这种情况下，再加1根，必然会出现有颜色不同的两双筷子，故至少取出10+2+1=13(根)； (3)最不利的情况：每种颜色都取了3根.在这种情况下，再加1根，必然会出现有两双颜色相同的筷子，故至少取3×3+1=10(根)才能保证。 【奥数拓展八】最不利原则（二）。 现有黑色、白色手套各5副，它们的规格都一样，混放在一起，黑暗中想取同色手套3副，至少取多少只才能达到要求? 解析： 一副手套分左右，所以只有一只左手手套与一只右手手套才能拼成一副手套，要取出同色手套3副，从最不利的情况考虑，首先可以将5只白色的左手手套，与5只黑色的左手手套取出，这时不能拼成一副手套，然后再从余下的10只右手手套中任意取出5只，就必定能有3副白色的手套或者3副黑色的手套，算式为5×2+5=15(只)。 【专项训练】 1. 一个箱子里放有型号相同颜色不同的红、黄、白、黑四种颜色的袜子各10只，只许用手摸，不许用眼看，至少要从箱子中取出多少只袜子才能保证配成4双?(一双指同颜色的袜子两只) 解析： 最不利的情况：先取了4种颜色的袜子各1只，之后每取2只袜子才凑出一双(此处的2只是同色的)，取出了3次的2只，才凑出了3双，在这种情况下，再加1只，必然会出现4双袜子，故至少要从箱子中取出4+3×2+1=11(只)袜子才能保证配成4双。 2. 口袋中有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球各30个，不看口袋，至少要摸出多少个，才能同时保证红球与黄球的和比蓝球多，黄球与蓝球的和比红球多，蓝球与红球的和比黄球多? 解析：30×2+1=61(个) 3. 袋子里装有红色球80个，蓝色球70个，黄色球60个，白色球50个，它们的大小与质量都一样，不许看只许用手摸取，要保证摸出10对同色球，至少应摸出多少个? 解析：9×2+5=23(个) 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 17 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 6 日 2 / 17 目 录 【课内精选一】沏茶问题 ........................................................................................................ 3 【课内精选二】烙饼问题 ........................................................................................................ 4 【奥数拓展一】最优化问题（一） ........................................................................................ 7 【奥数拓展二】最优化问题（二） ........................................................................................ 7 【奥数拓展三】最优化问题（三） ........................................................................................ 9 【奥数拓展四】最优化问题（四） ...................................................................................... 10 【奥数拓展五】必胜的策略（一） ...................................................................................... 13 【奥数拓展六】必胜的策略（二） ...................................................................................... 13 【奥数拓展七】最不利原则（一） ...................................................................................... 15 【奥数拓展八】最不利原则（二） ...................................................................................... 16 3 / 17 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——优化·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】沏茶问题。 妈妈做早饭的过程及时间：洗锅（1分钟）熬粥（20分钟），煎鸡蛋（5分钟）， 拌小菜（5分钟），盛粥（1分钟）。妈妈做这顿饭至少需要( )分钟。 【答案】22 【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，熬粥的同时可以 煎鸡蛋、拌小菜，因此分别计算出洗锅、熬粥、盛粥用的时间，煎鸡蛋、拌小菜 用的时间，然后再比较并填空即可。 【详解】1＋20＋1＝22（分钟） 5＋5＝10（分钟） 22分钟＞10分钟，即妈妈做这顿饭至少需要 22分钟。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 【专项训练】 1．妈妈下班回家做饭，淘米要 2分钟，煮饭要 25分钟，洗菜要 4分钟，切菜要 5分钟，炒菜要 10分钟。如果煮饭和炒菜用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都 做好，最少要用( )分钟。 【答案】27 【分析】此类题目要奔着节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解 决，根据题干可知：煮饭的 25分钟，可以同时洗菜、切菜还能炒菜，由此即可 设计出妈妈煮饭的工序，从而计算得出所用的时间。 【详解】可以这样安排：先淘米，2分钟；再煮饭，同时还可以洗菜、切菜还能 炒菜，共用 25分钟；所以妈妈要将饭菜都做好，最少要用：2＋25＝27（分钟）。 【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序， 4 / 17 注意同时进行的两项任务应互不干扰。 2．卓玛星期日休息时想帮妈妈做些事情：烧开水需 5分钟，冲油茶需 3分钟， 扫地需 6分钟，用洗衣机洗衣服需 25分钟，晒衣服需 5分钟。经过合理安排， 她做完这些事至少需要( )分钟。 【答案】30 【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，用洗衣机洗衣服 的同时，可以烧开水、冲油茶、扫地，因此分别计算出用洗衣机洗衣服、晒衣服 的总时间，烧开水、冲油茶、扫地用的总时间，然后再比较并填空即可。 【详解】25＋5＝30（分钟） 5＋3＋6＝14（分钟） 30分钟＞14分钟，即她做完这些事至少需要 30分钟。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 3．明明给客人沏茶，接水 1分钟，烧水 10分钟，洗茶杯 1分钟，拿茶叶 1分钟， 沏茶 1分钟，明明合理安排时间，至少需要( )分钟，才能让客人尽快喝 上茶。 【答案】12 【分析】要使需要的时间最短，应先接水，然后烧水，在完成烧水这项任务的同 时，可完成洗茶杯和拿茶叶这两项任务，最后沏茶。则一共需要（1＋10＋1）分 钟。 【详解】1＋10＋1＝12（分钟） 则至少需要 12分钟，才能让客人尽快喝上茶。 【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序， 注意同时进行的两项任务应互不干扰。 【课内精选二】烙饼问题。 小亮用平底锅煎小黄鱼，锅内同时最多能放 2条，用它煎一条鱼要 4分钟（正反 面各要 2分钟），如果要煎 3条小黄鱼，至少需要( )分钟。 【答案】6 【分析】这 3条鱼分别为 a、b、c；第一次煎 a、b的正面；第二次煎 a的反面和 c的正面；第三次煎 b、c的反面。所以煎 3条鱼需要（3×2）分钟。 5 / 17 【详解】3×2＝6（分钟） 至少需要 6分钟。 【点睛】在优化问题中，要统筹安排煎鱼的顺序，使锅里始终没有空位，这样才 能保证需要的时间最短。 【专项训练】 1．用一个平底锅烙饼，每次最多能放 2张饼，烙一面要 2分钟，两面都要烙， 烙 7张饼最少烙( )次，需要( ) 分钟。 【答案】 7 14 【分析】每次最多只能放 2张饼时，要保证每次都在锅中放 2张饼才能最节省时 间；如果烙的张数是单数，可以先 2张 2张地烙，剩下的 3张饼可以正反面穿插 着烙，具体流程如下：第 1次烙第一、第二张饼的正面，第 2次烙第一、第二张 饼的反面；第 3次烙第三、第四张饼的正面，第 4次烙第三、第四张饼的反面； 第 5次烙第五、第六张饼的正面，第 6次烙第五张饼的反面和第七张饼的正面； 第 7次烙第六、第七张饼的反面； 【详解】1×2＋1×2＋3 ＝2＋2＋3 ＝7（次） 2×7＝14（分钟） 所以，烙 7张饼最少烙 7次，需要 14分钟。 【点睛】此题考查了有关优化问题，解题关键是合理安排时间，做到锅中时刻有 2张饼。 2．在烤炉上烤面包，一次能烤 2片，每片都要烤两面，每面都需要烤 1分钟， 烤 5片面包至少需要( )分钟。 【答案】5 【分析】烙饼问题，一次最多烙 2张，一面时间为 n分钟，要烙 m张的最短时 间是 m×n分钟；代数解答。 【详解】根据分析，5×1＝5（分钟），所以烤 5片面包至少需要 5分钟。 【点睛】本题考查的是烙饼问题的实际应用。 3．烧饼店的锅一次最多可以烙 4张饼，如果烙一张饼需要 5分钟，那么烙 8张 6 / 17 饼至少需要( )分钟。 【答案】10 【分析】一次可以烙 4张饼，烙 8张饼则至少需要两次才能完成，烙一张饼需要 5分钟，即为烙一次饼为 5分钟，所以烙 8张饼需要的时间为单次烙饼时间乘 2， 据此解答。 【详解】5×2＝10（分钟），所以烙 8张饼至少需要 10分钟。 【点睛】本题应注意“一次可烙饼的数量”，即烙一张饼和烙四张饼所需时间相同。 7 / 17 【奥数拓展一】最优化问题（一）。 放牛娃在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁 4头牛，甲牛过河要 2分钟，乙 牛过河要 3分钟，丙牛过河要 6分钟，丁牛过河要 7分钟，每次只能赶 2头牛过 河，要把 4头牛赶到河对岸，最少要几分钟? 解析： 因为甲、乙两头牛过河用时较少，所以应安排甲、乙两头牛一起过河，丙、丁两 头牛一起过河。 步骤如下： (1)放牛娃赶甲、乙两牛过河，用时 3分钟，骑甲牛返回，用时 2分钟，共 5分 钟； (2)赶丙牛、丁牛过河，用时 7分钟，骑乙牛返回，用时 3分钟，共 10分钟； (3)赶甲牛、乙牛过河，用时 3分钟。 所以用 3+2+7+3+3=18(分钟)能把 4头牛赶到河对岸。 【专项训练】 放牛娃骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁 4头牛，甲牛过河要 6分钟， 乙牛过河要 5分钟，丙牛过河要 1分钟，丁牛过河要 2分钟，每次只能赶 2头牛 过河，最少要花几分钟能把牛全部赶过河? 解析： 第一步：丙与丁一起过河，并由放牛娃骑丙牛返回，共用 2+1=3(分钟)； 第二步：放牛娃骑甲与乙过河后，再骑丁牛返回，共用 6+2=8(分钟)； 第三步：放牛娃骑丙与丁一起过河用了 2分钟；所以，最少要用 3+8+2=13(分钟)。 【奥数拓展二】最优化问题（二）。 理发室只有一位理发师，一天同时来了四位顾客，按照他们要理的发型，分别需 要 11分钟、25分钟、16分钟和 20分钟，怎样安排他们的理发顺序，才能使这 四个人理发及等候所用的时间最少，最少共需要几分钟? 解析： 8 / 17 四位顾客理发的总时间是不变的，而等候的时间的多少与理发顺序有着密切的联 系，要使理发时间与等候时间最少，应让理发时问短的人先理发，这样等候的时 间会较少，理发时间总和： 11+16+20+25=72(分钟 )；等候时间总和： 11×3+16×2+20×1=85(分钟)，共用时 72+85=157(分钟)。 答：按理发时间为 11分钟、16分钟、20分钟、25分钟的顺序理发，最少共需 要 157分钟。 【专项训练】 1. 甲、乙、丙三人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头只有一个，注满甲的水 桶要 5分钟，注满乙的水桶要 3分钟，注满丙的水桶要 7分钟，按怎样的顺序接 水，使他们三人所花的时间总和最少?最少的时间是多少? 解析：按乙、甲、丙的顺序接水，所花费的时间最少，最少用 3×3+5×2+7=26(分 钟)。 2. 理发室里有甲、乙两位理发师.一天，有五位顾客同时来理发，根据他们所要 理的发型，分别需要 10、12、15、20和 24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才 能使这五人理发和等候所用的时间总和最少?最少用多少分钟? 解析： 五人理发的总时间为 10+12+15+20+24=81(分钟)，两位理发师的理发时间应尽可 能接近，81=42+39，甲理发师可按理发时间为 10分钟、12分钟、20 分钟的顺 序给三位顾客理发，乙理发师可按理发时间为 15分钟、24分钟的顺序给两位顾 客理发，顾客等候的时间为 10×2+12×1+15×1=47(分钟)，理发与等候的总时间最 少是 81+47=128(分钟)。 3. 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显 然公共汽车的速度比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可 以看成是固定不变的)，在任何情况下，他总是采用时间最少的最佳方案。下表 表示他到达 A、B、C三地采用最佳方案所需要的时间，为了到达离住地 8千米 的地方，他需要花多少时间? 9 / 17 解析： 若他骑车去 A、B两地，则由 12÷2≠15.5÷3，可知该种情况不成立。 若乘公共汽车去 A、B两地，到达 B地比到达 A地多行 1千米，多用时 15.5－ 12=3.5(分)，即公共汽车行驶 1千米用时 3.5分钟，则根据表格可知等候时 间应为 12－3.5×2=5(分)，C 地较远故也应乘坐公共汽车前往，则用时应为 3.5×4+5=19(分)，与题条件不符，故不可能乘公共汽车去 A、B两地。 因而只能是骑车到 A 地，乘公共汽车到 B、C两地，C地比 B地远 1千米用时 多 2.5分钟，故行驶 4千米用时 10分钟，等候时间为 18－10=8(分)，故到达离 住地 8千米处用时应为 2.5×8+8=28(分)。 【奥数拓展三】最优化问题（三）。 在一条公路上，每隔 10 千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓 库库存货物的重量，现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物 运输 1千米需要运费 3元，那么集中到哪个仓库运费最少?最少是多少元? 解析： A仓库的货物最少，E仓库的货物最多，按照“小往大处靠”的原则来确定最后的 存放点。 先将 A仓库的 10吨货物集中到 B仓库，此时 B仓库的货物有 40吨，小于 E仓 库的重量，还需将 B仓库的 40吨货物集中到 C仓库，完成后，C仓库有 60吨 货物，与 E仓库的货物量相等，最后可将 C、E两个仓库的 60吨货物都运往 D 仓库，也就是说将货物集中在 D仓库，运输费是最少的，最少需要 (30×10+30×20+20×10+60×10)×3=5100(元) 【专项训练】 1. 在一条公路上每隔 100千米有一个仓库.如图共有 5个仓库，一号仓库存有 10 10 / 17 吨货物，二号仓库有 20吨货物，五号仓库存有 40吨货物，其余两个仓库是空的。 现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要 2 元运输费，那么运输费最少需要多少元? 解析： 五号仓库的货物最重，先将一号仓库的 10吨货物集中到二号仓库，这时二号仓 库有 30 吨货物.按照“小往大处靠”的原则，再将 30吨货物集中到五号仓库中， 所需要的运输费最少，最少需要(10×400+20×300)×2=20000(元)。 2. 一条街上有 5 栋楼，从左到右编号为 1、2、3、4、5，相邻两楼的距离都是 50米，第 1号楼有 1名职工在 A厂上班，第 2号楼有 2名职工在 A厂上班…… 第 5号楼有 5名职工在 A 厂上班，A厂计划在街上设立一个班车接送车站，车 站设在距离 1号楼多少米的地方，才能使这些职工到车站所走的路程之和最少? 解析：如图所示，按照“小往大处靠”的原则确定车站的位置，由于 1+2+3>5，所 以应建在 4号楼的位置，距 1号楼 150米处。 3. 一条公路上有 A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A,个村庄(如图)，现在要在这条公 路上设一个车站，使这 7个村庄的村民到车站步行的路程总和最小，车站应设在 什么地方? 解析：因为有 7个村庄，所以车站设于正中间 A₄处最好。 【奥数拓展四】最优化问题（四）。 如图 1所示，一只昆虫要沿放在地面上的正方体的表面从顶点 A爬到相距它最 远的顶点 C₁，哪条路线最短?画图说明。 11 / 17 解析： 把正方体的表面展开，转化为平面图形，根据平面上两点间线段最短，可找到最 短路线，如图 2所示，把正方体的前面和右面展开，可得长方形，连结 AC₁，则 AC₁即为最短路线，同理可得其他最短路线，如图 3、图 4、图 5所示。(因正方 体放在地面上，故下表面不能走) 【专项训练】 1. 如图所示，王大伯要从家 A点处去河边挑水，然后把水挑到 B点的田里，请 你帮他找一条最短的线路。 解析： 以河流为轴，取 A点的对称点 C，连结 CB与河流相交于 D点，再连结 AD，则 王大伯沿着 AD到河边挑水，然后再沿着 DB把水挑到 B点的田里去，这是一条 最短的路线(如图)。 2. 北仓库有货物 35 吨，南仓库有货物 25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中 去，其中甲工厂需要 28吨，乙工厂需要 12吨，丙工厂需要 20吨，两个仓库与 12 / 17 各工厂之间的距离如图所示(单位：千米)，已知运输每吨货物 1千米的费用是 1 元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元? 解析： 甲工厂需要 28 吨货物，可从南仓库处取 25 吨，北仓库处取 3 吨，费用为 (25×8+3×10)×1=230(元 )，乙、丙两厂的货物都从北仓库处取，费用为 (12×6+20×12)×1=312(元)，费用最少为 230+312=542(元)。 3. 5所学校 A、B、C、D、E之间有公路相通，图上标出每段公路的千米数， 想借一个学校召开一次学生代表会议，应出席会议的 A 校有代表 6人，B校有 代表 4人，C校有代表 8人，D 校有代表 7人，E校有代表 10人。为使参加会 议的代表所走路程的总和最小；你认为会议应借哪个学校召开最合理? 解析： 如果会议地点在 B校，参加会议代表所走路程的总和为： 2×6+2×7+3×8+(3+2)×10=100(千米)； 如果会议地点在 D校，参加会议代表所走路程的总和为： (2+2)×6+2×4+(2+3)×8+4×10=112(千米)； 如果会议地点在 C校，参加会议代表所走路程的总和为： (2+3)×6+3×4+(3+2)×7+2×10=97(千米)； 如果会议地点在 E校，参加会议代表所走路程的总和为： 8×2+4×7+(3+2)×4+(2+3+2)×6=106(千米) 13 / 17 通过比较，可知会议地点设在 C校最合理。 【奥数拓展五】必胜的策略（一）。 有 200枚围棋子放在盒子里，甲、乙两人轮流各取 1枚或 2枚，取到最后一枚为 胜者，必胜的对策是什么? 解析： 由于每人可取 1枚或 2枚，当甲取 1枚时，乙可以取 2枚，当甲取 2枚时，乙可 以取 1枚，所以不妨将 3枚棋子作为一组，由 200÷3=66(组)……2(枚)，为了确 保拿到这堆棋子的最后一枚或 2枚，甲应争取先拿，且拿走 2枚，然后乙随便取 1枚或 2枚，甲就相应地取 2枚或 1枚，以使得两人各取一次后一共取走 3枚， 这样甲就是必胜方。 【专项训练】 1. 桌上放着 10枚硬币，甲、乙二人轮流取，每次取 1～3枚，谁取到最后一枚 谁获胜，假定双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜?给出一种获胜方法。 解析：10÷(1+3)=2(回合)……2(枚)，甲先取走 2枚，以后每一回合与乙凑成 4枚， 甲一定获胜。 2. 桌子上放着 55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1~3根，规定谁取走最后一 根火柴谁就输，如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜?有什么获胜策 略? 解析： 甲只需将最后一根留给乙去拿就可获胜，由于(55—1)÷(3+1)=13……2，因此开始 时，甲先取走 2根火柴，之后甲要确保与乙拿的火柴根数之和是 4即可获胜。 3. 有一排 1999个空格，预先在左边第一格中放一枚棋子，然后由甲、乙两人轮 流走，甲先乙后.每人走时，可以将棋子向右移动 1～4格，规定谁将棋子走到最 后一格谁输，甲为了必胜，第一步走几格?以后怎样走? 解析：第一步走 2格，以后每一回合与乙凑成 5格，留下一格是乙走。 【奥数拓展六】必胜的策略（二）。 黑板上写着一排连续的自然数，从 1 至 81，甲、乙两人轮流划掉任意连续的 3 个数，如果在甲划过之后乙再也不能划了，甲就取胜，甲有必胜的策略吗? 14 / 17 解析： 若甲先划，只要把中间 3个数，即 40、41、42划掉，这样就把这排数分成了个 数相等的两组，这以后，只要乙在某一组里有数可划，甲在另一组里相对称的位 置上就总有数可划，因此甲争取先划，就有必胜的把握。 【专项训练】 1. 10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上，两个小朋友做翻牌游戏，规定： 每人每次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上，翻过的牌不能再翻，两人 轮流翻动，翻动最后一张牌的人获胜，问：怎样做才必定获胜? 解析：先翻第 5、6张牌，之后无论对方翻什么牌，都在它对称的位置上翻牌。 2. 下图是一种“红黑棋”，甲、乙两人玩棋，分别取红(图中用灰色表示)、黑两方， 规定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子可以走一格或几格，红棋 从左向右走，黑棋向左走，但是不能跳过对方棋子走，也不能重叠放在对方有棋 子的格中，一直到谁无法走棋时，谁就失败，现在按甲先乙后的顺序走棋，甲有 没有必胜的策略?如有，获胜的策略是什么? 解析： 甲先把第六行的红棋向右走两格，使中间只有一个空格，留给对方对称的局面， 然后把(第一行，第六行)；(第二行，第三行)；(第四行，第五行)两两分组，乙走 哪一行的哪几格，甲就在同组的另一行走几格。 3. 在一张 4×10的方格棋盘上，一人将棋子置于 A，另一人将棋子置于 B，随后 两人轮流走，每次可沿一条横线或一条纵线至少走一格，并遵守如下规则：不可 以和对方棋子在同一直线上；不能越过对方棋子所在直线；轮到谁无路可走就算 失败，先走一方怎样才能取胜? 15 / 17 解析： 先走一方将一枚棋子走到与另一枚棋子在 4×4的对角线上，然后不管后者怎么走， 先走一方与对方所在位置成一个 3×3或 2×2的对角线即可。 【奥数拓展七】最不利原则（一）。 一副扑克 54张牌，至少要取出多少张牌才能保证其中有 4张牌的点数相同? 解析： 一副扑克有四种花色，每种花色各有 13张，加大王、小王各一张，共 54张，要 保证摸出的牌其中有 4 张牌的点数相同，从最不利的情况去考虑，首先取出 2 张王，其次如果再将红桃的 13张，以及方块、黑桃各 13张牌全取出来，这时已 取出 13×3+2=41(张)，但仍然不符合要求，最后只要在余下的一种花色中任意取 出一张，这时必定有 4张牌的点数相同，算式为 13×3+2+1=42(张) 答：至少要取出 42张牌才能保证其中有 4张牌的点数相同。 【专项训练】 1. 有红、黄、蓝、白四色小球各 10个，混合放在一个暗盒里，一次至少摸出几 个，才能保证有 2个小球是同色? 解析：1×4+1=5(个) 2. 有红、黄、蓝、白四色小球各 10个，混合放在一个暗盒中，一次至少摸出多 少个，才能保证有 6个小球是同色的? 解析：5×4+1=21(个) 3. 厨房里有三种颜色的筷子各 10根， (1)至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到? (2)至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子? (3)至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子? 解析： (1)最不利的情况：取出了其中 2种颜色的筷子各 10根.在这种情况下，再加 1根， 16 / 17 必然会出现三种颜色的筷子都有，故至少取 10×2+1=21(根)才能保证； (2)最不利的情况：取出了一种颜色 10根，其余两种颜色的筷子各取了 1根，在 这种情况下，再加 1 根，必然会出现有颜色不同的两双筷子，故至少取出 10+2+1=13(根)； (3)最不利的情况：每种颜色都取了 3根.在这种情况下，再加 1根，必然会出现 有两双颜色相同的筷子，故至少取 3×3+1=10(根)才能保证。 【奥数拓展八】最不利原则（二）。 现有黑色、白色手套各 5副，它们的规格都一样，混放在一起，黑暗中想取同色 手套 3副，至少取多少只才能达到要求? 解析： 一副手套分左右，所以只有一只左手手套与一只右手手套才能拼成一副手套，要 取出同色手套 3副，从最不利的情况考虑，首先可以将 5只白色的左手手套，与 5只黑色的左手手套取出，这时不能拼成一副手套，然后再从余下的 10只右手 手套中任意取出 5只，就必定能有 3副白色的手套或者 3副黑色的手套，算式为 5×2+5=15(只)。 【专项训练】 1. 一个箱子里放有型号相同颜色不同的红、黄、白、黑四种颜色的袜子各 10只， 只许用手摸，不许用眼看，至少要从箱子中取出多少只袜子才能保证配成 4双?(一 双指同颜色的袜子两只) 解析： 最不利的情况：先取了 4种颜色的袜子各 1只，之后每取 2只袜子才凑出一双(此 处的 2只是同色的)，取出了 3次的 2只，才凑出了 3双，在这种情况下，再加 1 只，必然会出现 4 双袜子，故至少要从箱子中取出 4+3×2+1=11(只)袜子才能保 证配成 4双。 2. 口袋中有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球各 30个，不看口袋，至少要摸出多少 个，才能同时保证红球与黄球的和比蓝球多，黄球与蓝球的和比红球多，蓝球与 红球的和比黄球多? 解析：30×2+1=61(个) 3. 袋子里装有红色球 80个，蓝色球 70个，黄色球 60个，白色球 50个，它们 17 / 17 的大小与质量都一样，不许看只许用手摸取，要保证摸出 10对同色球，至少应 摸出多少个? 解析：9×2+5=23(个) 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月6日 目 录 【课内精选一】沏茶问题 3 【课内精选二】烙饼问题 3 【奥数拓展一】最优化问题（一） 5 【奥数拓展二】最优化问题（二） 5 【奥数拓展三】最优化问题（三） 6 【奥数拓展四】最优化问题（四） 8 【奥数拓展五】必胜的策略（一） 9 【奥数拓展六】必胜的策略（二） 10 【奥数拓展七】最不利原则（一） 11 【奥数拓展八】最不利原则（二） 12 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——优化·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】沏茶问题。 妈妈做早饭的过程及时间：洗锅（1分钟）熬粥（20分钟），煎鸡蛋（5分钟），拌小菜（5分钟），盛粥（1分钟）。妈妈做这顿饭至少需要( )分钟。 【专项训练】 1．妈妈下班回家做饭，淘米要2分钟，煮饭要25分钟，洗菜要4分钟，切菜要5分钟，炒菜要10分钟。如果煮饭和炒菜用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用( )分钟。 2．卓玛星期日休息时想帮妈妈做些事情：烧开水需5分钟，冲油茶需3分钟，扫地需6分钟，用洗衣机洗衣服需25分钟，晒衣服需5分钟。经过合理安排，她做完这些事至少需要( )分钟。 3．明明给客人沏茶，接水1分钟，烧水10分钟，洗茶杯1分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟，明明合理安排时间，至少需要( )分钟，才能让客人尽快喝上茶。 【课内精选二】烙饼问题。 小亮用平底锅煎小黄鱼，锅内同时最多能放2条，用它煎一条鱼要4分钟（正反面各要2分钟），如果要煎3条小黄鱼，至少需要( )分钟。 【专项训练】 1．用一个平底锅烙饼，每次最多能放2张饼，烙一面要2分钟，两面都要烙，烙7张饼最少烙( )次，需要( ) 分钟。 2．在烤炉上烤面包，一次能烤2片，每片都要烤两面，每面都需要烤1分钟，烤5片面包至少需要( )分钟。 3．烧饼店的锅一次最多可以烙4张饼，如果烙一张饼需要5分钟，那么烙8张饼至少需要( )分钟。 【奥数拓展一】最优化问题（一）。 放牛娃在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河要2分钟，乙牛过河要3分钟，丙牛过河要6分钟，丁牛过河要7分钟，每次只能赶2头牛过河，要把4头牛赶到河对岸，最少要几分钟? 【专项训练】 放牛娃骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河要6分钟，乙牛过河要5分钟，丙牛过河要1分钟，丁牛过河要2分钟，每次只能赶2头牛过河，最少要花几分钟能把牛全部赶过河? 【奥数拓展二】最优化问题（二）。 理发室只有一位理发师，一天同时来了四位顾客，按照他们要理的发型，分别需要11分钟、25分钟、16分钟和20分钟，怎样安排他们的理发顺序，才能使这四个人理发及等候所用的时间最少，最少共需要几分钟? 【专项训练】 1. 甲、乙、丙三人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头只有一个，注满甲的水桶要5分钟，注满乙的水桶要3分钟，注满丙的水桶要7分钟，按怎样的顺序接水，使他们三人所花的时间总和最少?最少的时间是多少? 2. 理发室里有甲、乙两位理发师.一天，有五位顾客同时来理发，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用的时间总和最少?最少用多少分钟? 3. 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可以看成是固定不变的)，在任何情况下，他总是采用时间最少的最佳方案。下表表示他到达A、B、C三地采用最佳方案所需要的时间，为了到达离住地8千米的地方，他需要花多少时间? 【奥数拓展三】最优化问题（三）。 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量，现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费3元，那么集中到哪个仓库运费最少?最少是多少元? 【专项训练】 1. 在一条公路上每隔100千米有一个仓库.如图共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要2元运输费，那么运输费最少需要多少元? 2. 一条街上有5栋楼，从左到右编号为1、2、3、4、5，相邻两楼的距离都是50米，第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……第5号楼有5名职工在A厂上班，A厂计划在街上设立一个班车接送车站，车站设在距离1号楼多少米的地方，才能使这些职工到车站所走的路程之和最少? 3. 一条公路上有A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A,个村庄(如图)，现在要在这条公路上设一个车站，使这7个村庄的村民到车站步行的路程总和最小，车站应设在什么地方? 【奥数拓展四】最优化问题（四）。 如图1所示，一只昆虫要沿放在地面上的正方体的表面从顶点A爬到相距它最远的顶点C₁，哪条路线最短?画图说明。 【专项训练】 1. 如图所示，王大伯要从家A点处去河边挑水，然后把水挑到B点的田里，请你帮他找一条最短的线路。 2. 北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去，其中甲工厂需要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨，两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：千米)，已知运输每吨货物1千米的费用是1元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元? 3. 5所学校A、B、C、D、E之间有公路相通，图上标出每段公路的千米数，想借一个学校召开一次学生代表会议，应出席会议的A校有代表6人，B校有代表4人，C校有代表8人，D校有代表7人，E校有代表10人。为使参加会议的代表所走路程的总和最小；你认为会议应借哪个学校召开最合理? 【奥数拓展五】必胜的策略（一）。 有200枚围棋子放在盒子里，甲、乙两人轮流各取1枚或2枚，取到最后一枚为胜者，必胜的对策是什么? 【专项训练】 1. 桌上放着10枚硬币，甲、乙二人轮流取，每次取1～3枚，谁取到最后一枚谁获胜，假定双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜?给出一种获胜方法。 2. 桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1~3根，规定谁取走最后一根火柴谁就输，如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜?有什么获胜策略? 3. 有一排1999个空格，预先在左边第一格中放一枚棋子，然后由甲、乙两人轮流走，甲先乙后.每人走时，可以将棋子向右移动1～4格，规定谁将棋子走到最后一格谁输，甲为了必胜，第一步走几格?以后怎样走? 【奥数拓展六】必胜的策略（二）。 黑板上写着一排连续的自然数，从1至81，甲、乙两人轮流划掉任意连续的3个数，如果在甲划过之后乙再也不能划了，甲就取胜，甲有必胜的策略吗? 【专项训练】 1. 10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上，两个小朋友做翻牌游戏，规定：每人每次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上，翻过的牌不能再翻，两人轮流翻动，翻动最后一张牌的人获胜，问：怎样做才必定获胜? 2. 下图是一种“红黑棋”，甲、乙两人玩棋，分别取红(图中用灰色表示)、黑两方，规定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子可以走一格或几格，红棋从左向右走，黑棋向左走，但是不能跳过对方棋子走，也不能重叠放在对方有棋子的格中，一直到谁无法走棋时，谁就失败，现在按甲先乙后的顺序走棋，甲有没有必胜的策略?如有，获胜的策略是什么? 3. 在一张4×10的方格棋盘上，一人将棋子置于A，另一人将棋子置于B，随后两人轮流走，每次可沿一条横线或一条纵线至少走一格，并遵守如下规则：不可以和对方棋子在同一直线上；不能越过对方棋子所在直线；轮到谁无路可走就算失败，先走一方怎样才能取胜? 【奥数拓展七】最不利原则（一）。 一副扑克54张牌，至少要取出多少张牌才能保证其中有4张牌的点数相同? 【专项训练】 1. 有红、黄、蓝、白四色小球各10个，混合放在一个暗盒里，一次至少摸出几个，才能保证有2个小球是同色? 2. 有红、黄、蓝、白四色小球各10个，混合放在一个暗盒中，一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的? 3. 厨房里有三种颜色的筷子各10根， (1)至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到? (2)至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子? (3)至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子? 【奥数拓展八】最不利原则（二）。 现有黑色、白色手套各5副，它们的规格都一样，混放在一起，黑暗中想取同色手套3副，至少取多少只才能达到要求? 【专项训练】 1. 一个箱子里放有型号相同颜色不同的红、黄、白、黑四种颜色的袜子各10只，只许用手摸，不许用眼看，至少要从箱子中取出多少只袜子才能保证配成4双?(一双指同颜色的袜子两只) 2. 口袋中有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球各30个，不看口袋，至少要摸出多少个，才能同时保证红球与黄球的和比蓝球多，黄球与蓝球的和比红球多，蓝球与红球的和比黄球多? 3. 袋子里装有红色球80个，蓝色球70个，黄色球60个，白色球50个，它们的大小与质量都一样，不许看只许用手摸取，要保证摸出10对同色球，至少应摸出多少个? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$