（典型例题篇）第八单元数学广角——优化【十大考点】-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 28 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 6 日 2 / 28 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——优化【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第八单元数学广角——优化 专题内容 本专题以优化问题为主，其中包括沏茶问题、烙饼问题、田 忌赛马问题、租船租车问题、购票问题、排队问题、必胜的 策略、过河问题、打电话问题、货物运输问题等十种问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】沏茶问题 .......................................................................................................... 3 【考点二】烙饼问题 .......................................................................................................... 5 【考点三】田忌赛马问题 ...................................................................................................6 【考点四】租船租车问题 ...................................................................................................9 【考点五】购票问题（方案优化问题） ..........................................................................13 【考点六】排队问题 ........................................................................................................ 18 【考点七】必胜的策略 .....................................................................................................19 【考点八】过河问题 ........................................................................................................ 20 【考点九】打电话问题 .....................................................................................................22 【考点十】货物运输问题 .................................................................................................23 3 / 28 【第三篇】典型例题篇 【考点一】沏茶问题。 【方法点拨】 1. 解决合理安排时间的问题需要按以下的步骤进行。 （1）思考完成一项工作要做哪些事情； （2）分析做每件事情各需要多长时间； （3）合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。 2. 合理安排时间的方法。 （1）定先后顺序；（2）找同时进行；（3）计算时间。 【典型例题】 小华给客人烧水沏茶：洗茶壶 1分钟，烧开水 10分钟，洗茶杯 1分钟，拿茶叶 1分钟，沏茶 2分钟。客人喝上茶至少需要( )分钟，最合理的安排顺序 是( )。 【答案】 13 洗茶壶→烧开水→洗茶杯→拿茶叶→沏茶 【分析】要使客人尽快喝上茶，可以在烧开水的同时去洗茶杯和拿茶叶，这样可 以节省时间。求至少需要多少时间，直接把洗茶壶、烧开水和沏茶的时间加起来 即可。 【详解】1＋10＋2＝11＋2＝13（分钟） 客人喝上茶至少需要 13分钟，最合理的安排顺序是洗茶壶→烧开水→洗茶杯→ 拿茶叶→沏茶。 【对应练习 1】 李强每天早晨起床穿衣 3分钟、整理床铺 2分钟、刷牙洗脸 3分钟、烧开水 5 分钟、喝水 1分钟、吃早餐 6分钟、步行到学校 15分钟。李强为了在 8：00前 到校，他制订了“高效行动计划”，那么他最迟( )起床才不会迟到。 【答案】7：30/7时 30分 【分析】要求最迟起床时间，也就是要求出他做这些事情需要的最短时间。可以 先起床穿衣，然后烧水，烧水的同时整理床铺和刷牙洗脸，接着吃早餐、喝水、 步行到学校。一共需要的时间为 3＋5＋6＋1＋15＝30分钟。根据开始时间＝结 4 / 28 束时间－经过时间，即可求出最迟起床时间。 【详解】3＋5＋6＋1＋15＝30（分钟） 8：00－30分钟＝7：30 他最迟 7：30起床才不会迟到。 【对应练习 2】 妈妈给小明做早餐所用的时间如下：淘米 2分钟，熬粥 20分钟，煎鸡蛋 5分钟 （熬粥和煎鸡蛋用不同的锅），热牛奶 2分钟，拌小菜 6分钟。妈妈做好早餐至 少需要( )分钟。 【答案】22 【分析】要使需要的时间最短，应先淘米，然后熬粥，在完成熬粥这项任务的同 时，可完成煎鸡蛋、热牛奶和拌小菜这三项任务，据此解答。 【详解】根据题干分析，可以设计如下： 20 2 22  （分钟） 所以妈妈做好早餐至少需要 22分钟。 【对应练习 3】 妈妈早上起床，刷牙 5分钟，淘米洗锅 3分钟，熬粥 20分钟，盛粥 1分钟，煎 鸡蛋 5分钟。能吃上妈妈做的早饭至少要用( )分钟。 【答案】24 【分析】根据题意，要使用的时间最短，则先淘米洗锅然后熬粥，熬粥的同时刷 牙煎鸡蛋，最后盛粥，据此填空即可。 【详解】3＋20＋1 ＝23＋1 ＝24（分钟） 能吃上妈妈做的早饭至少要用 24分钟。 5 / 28 【考点二】烙饼问题。 【方法点拨】 1. 无论烙多少张饼，只要保证每次都在平底锅中放 2 张饼，就能节省时间。 如果烙饼的张数是双数，2张 2张的烙就可以了；如果烙饼的张数是单数，可以 先 2张 2张的烙，最后 3张按“烙 3张饼”的最优方案去烙，最节省时间。 2. 烙饼的最优方案。 每一次尽可能让锅里按要求放最多张饼，别让锅有空余，这样既没有浪费资源， 又节省了时间。 【典型例题】 早晨，妈妈给我们煎鸡蛋饼。已知一只平底锅每次只能放两个鸡蛋饼，煎一个鸡 蛋饼正反面各需 2分钟，那么煎 3个鸡蛋饼至少需要( )分钟。 【答案】6 【分析】先烙第 1张的正面和第 2张的正面，需要 2分钟； 然后第 1张的反面和第 3张的正面，需要 2分钟； 最后第 2张的反面和第 3张的反面，需要 2分钟。 【详解】2×3＝6（分钟） 烙熟 3张饼至少需要 6分钟。 【对应练习 1】 李老师要复印 6张同样规格的资料，正、反两面都要复印，如果一次最多只能复 印 2张单面，至少要( )次才能复印完。 【答案】6 【分析】根据优化问题，分别列出每一次复印的情况，据此求出至少要几次才能 复印完。 【详解】第一次：1正 2正 第二次：1反 2反 第三次：3正 4正 第四次：3反 4反 第五次：5正 6正 第六次：5反 6反 6 / 28 至少要 6次才能复印完。 【对应练习 2】 用一只平底锅煎饼，每次只能煎两块饼，煎一面需要 3分钟，两面都要煎。煎 6 块饼最少需要( )分钟。 【答案】18 【分析】烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间， 据此代入数据计算即可解答。 【详解】6×2÷2×3 ＝12÷2×3 ＝6×3 ＝18（分钟） 所以煎 6块饼最少需要 18分钟。 【对应练习 3】 用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙 2张饼，两面都要烙，每面烙 3分钟。烙 10张饼至少要( )分钟。 【答案】30 【分析】每次最多只能烙 2张饼，一共要烙 10张饼，那么只需要两张两张分别 烙熟即可。可以先算出烙 2张饼需要的时间，再乘 5即可解答。 【详解】先烙 2张饼，烙两面需要：3×2＝6（分钟） 10÷2＝5（个），即一共需要烙 5个 2张。 6×5＝30（分钟） 故用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙 2张饼，两面都要烙，每面烙 3分钟。烙 10张饼至少要 30分钟。 【考点三】田忌赛马问题。 【方法点拨】 1. 解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。 2. 在与对方进行比赛时，要详细地分析自己与对方的情况，反复研究各种策略， 在所有可能采取的策略中，选择一个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势， 最终取得胜利。 7 / 28 3. 寻找策略的方法。 （1）解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。 （2）在与对方进行比赛时： ①要知己知彼，详细地分析双方的情况。 ②想到所有可能的对策。 ③选择一个利多弊少的最优策略。 【典型例题】 田忌赛马的故事中，田忌是如何赢齐王的，请在下表中设计一下当时的比赛情况： 齐王 田忌 胜方 1 上等马 ( ) ( ) 2 中等马 ( ) ( ) 3 下等马 ( ) ( ) 解析：下等马；齐王；上等马；田忌；中等马；田忌 【对应练习 1】 一次，齐王与大将田忌赛马，每人有四匹马，分为四等，田忌知道齐王这次比赛 马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑的最快的 是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三 等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。那么田忌有（ ）种方法安 排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。 解析： 用四位数来表示田忌的出场顺序，可以枚举出所有方法有： 1423、2143、2413、3124、3142、3412、3421、4123、4132、4213、4312、4321。 所以田忌一共有 12种方法安排自己的马的出场顺序。 【对应练习 2】 齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下三等马，田忌每种等级的马都比齐王的马 差一些，田忌要想赢齐王，他的中等马需要和齐王的什么马进行比赛？ 齐王 田忌 本场胜者 8 / 28 第一场 第二场 第三场 解析： 可以这样安排： 齐王 田忌 本场胜者 第一场 上等马 下等马 齐王 第二场 中等马 上等马 田忌 第三场 下等马 中等马 田忌 这样田忌以两胜一负获胜。 答：他的中等马需要和齐王的下等马进行比赛。 【对应练习 3】 同学们，你听过“田忌赛马”的故事吗？田忌是怎样赢得齐王的？ 齐王 田忌 本场胜负 第一场 下等马 第一场 中等马 第一场 下等马 （1）田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？ （2）我们来看看田忌共有多少种可采用的应对策略？ 解析： （1）填表如下： 齐王 田忌 本场胜负 第一场 上等马 下等马 齐王 第一场 中等马 上等马 田忌 9 / 28 第一场 下等马 中等马 田忌 答：田忌所用的这种策略是唯一能赢齐王的方法。 （2）如表所示： 第一场 第二场 第三场 获胜者 齐王 上等马 中等马 下等马 田忌 1 上等马 中等马 下等马 齐王 田忌 2 上等马 下等马 中等马 齐王 田忌 3 中等马 上等马 下等马 齐王 田忌 4 中等马 下等马 上等马 齐王 田忌 5 下等马 上等马 中等马 田忌 田忌 6 下等马 中等马 上等马 齐王 答：由上表可知，田忌共有 6种可采用的应对策略，但只有一种方法能赢齐王。 【考点四】租船租车问题。 【方法点拨】 租船问题的关键是确定尽量租大船，少租小船，而且保证没有空位时最省钱。 【典型例题】 某实验小学组织四年级学生进行研学旅行，参加活动的老师有 10人，学生有 226 人。怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】租 6辆大车最省钱，最少需要 4800元 【分析】先根据“单价＝总价÷数量”分别计算出租大车和小车时每人需要的钱， 要使租车最省钱，则应尽量租最便宜的一种车型，并且使每辆车都尽量坐满没有 空位。800÷40＝20（元），450÷15＝30（元），20＜30，所以尽量租大车。由此 根据总人数及两种车的限坐人数，通过调整使之满座或空座数最少，然后进行分 10 / 28 析计算即可。一共需要的租金＝租大车的辆数×每辆大车的租金，依此计算并解 答。 【详解】800÷40＝20（元） 450÷15＝30（元） 20＜30，所以尽量租大车。 226＋10＝236（人） 236÷40＝5（辆）……36（人） 36÷18＝2（辆） 租 5辆大车和 2辆小车： 800×5＋450×2 ＝4000＋900 ＝4900（元） 租 6辆大车： （5＋1）×800 ＝6×800 ＝4800（元） 4800＜4900 答：租 6辆大车最省钱，最少需要 4800元。 【对应练习 1】 某校举办图书捐赠仪式，共捐赠了 160套图书，需要把这些图书寄送到山区学校， 快递站给出了如图两种收费标准（数量不足 20本或 30本的也按整包收费）。寄 送这些图书最少要花多少钱？ 【答案】280元 【分析】先算出哪种包装便宜，然后尽量凑足整包这样便宜；据此解答即可。 【详解】40÷20＝2（元） 11 / 28 50÷30＝1（元）……20（元） 1＜2，所以尽量选择每包 30本的包装； 4×30＋2×20 ＝120＋40 ＝160（本） 所以 20本包装的包 2包，30本包装的包 4包； 50×4＋40×2 ＝200＋80 ＝280（元） 答：寄送这些图书最少要花 280元钱。 【对应练习 2】 四年级师生共 290人，租车去参观博物馆。大、小客车出租价格如下： 车型 限乘人数 每辆车租金/元 大客车 45人 780 小客车 35人 650 怎样租车最省钱，租金是多少元？ 【答案】租 5辆大客车，2辆小客车最省钱；5200元 【分析】先分别计算出大客车、小客车平均每人的钱数，然后进行比较，看哪种 车便宜，在设计方案时尽量租便宜的车，而且不留空位时费用最低；因此用总人 数除以最便宜的一种车型可坐的人数，再根据计算出的结果进行解答。 【详解】780÷45＝17（元）……15（元） 650÷35＝18（元）……20（元） 17＜18，所以租大客车省钱，尽量租用大客车，并且最好不要有空座位； 290÷45＝6（辆）……20（人） 6＋1＝7（辆） 方案一：租 7辆大客车，共需要： 780×7＝5460（元） 方案二：租 6辆大客车和 1辆小客车，共需要： 12 / 28 780×6＋650 ＝4680＋650 ＝5330（元） 290－45×5 ＝290－225 ＝65（人） 65÷35＝1（辆）……30（人） 方案三：租 5辆大客车和 2辆小客车，共需要： 780×5＋650×2 ＝3900＋1300 ＝5200（元） 5200＜5330＜5460 租 5辆大客车，2辆小客车最省钱 答：租 5辆大客车，2辆小客车最省钱，租金是 5200元。 【对应练习 3】 实验小学有 10位老师带着 150名学生去春游，现在有大、小两种车可以选择， 信息如下： 大车 小车 限乘客 50人 租车费为 800元/辆 限乘客 30人 租车费为 540元/辆 怎样租车最省钱？租车最少要花多少钱？ 【答案】2辆大车和 2辆小车；2680元 【分析】每辆大车乘坐人数乘租的辆数，可以算出大车乘坐多少人；每辆小车乘 坐人数乘租的辆数，可以算出小车乘坐多少人；大车乘坐人数加上小车乘坐人数， 即可算出一共乘坐多少人。每辆大车租金乘租的辆数，可以算出租大车需要多少 钱；每辆小车租金乘租的辆数，可以算出租小车需要多少钱；大车租金加上小车 租金，即可算出一共需要多少钱。据此列表算出各种租车方案需要的钱数，再选 择最省钱的租车方案。 13 / 28 【详解】10＋150＝160（人） 大车/辆 小车/辆 乘坐人数/人 租金/元 4 0 50×4＝200 800×4＝3200 3 1 50×3＋30 ＝150＋30 ＝180 800×3＋540 ＝2400＋540 ＝2940 2 2 50×2＋30×2 ＝100＋60 ＝160 800×2＋540×2 ＝1600＋1080 ＝2680 1 4 50＋30×4 ＝50＋120 ＝170 800＋540×4 ＝800＋2160 ＝2960 0 6 30×6＝180 540×6＝3240 2680＜2940＜2960＜3200＜3240 答：租 2辆大车和 2辆小车最省钱，租车最少要花 2680元。 【考点五】购票问题（方案优化问题）。 【方法点拨】 最优方案的选择需要通过计算后，进行比较才能得出结果。 【典型例题】 国庆节期间张成跟一旅游团到动物园游玩，团里共有 32人，其中成人 12人。动 物园的门票价格如下： （1）成人 40元/人，儿童 20元/人。 （2）团体票 20人以上（包括 20人），25元/人 请你帮张成算一算，怎样买票合算？ 【答案】12名成人和 8名儿童购买团体票，12名儿童购买儿童票最合算；740 元 14 / 28 【分析】32－12＝20（人），则成人有 12人，儿童有 20人。 方案一：12名成人购买成人门票，20名儿童购买儿童门票，则需要花费的钱数 为 12×40＋20×20元。 方案二：32人全部购买团体票，则需要花费的钱数为 32×25元。 方案三：12名成人和 8名儿童购买团体票，12名儿童购买儿童门票，则需要花 费的钱数为 20×25＋12×20元。 分别算出三个方案花费的钱数，再比较大小，花费钱数少的方案即为购票最划算 的方案。 【详解】32－12＝20（人），则成人有 12人，儿童有 20人。 方案一：12×40＋20×20 ＝480＋400 ＝880（元） 方案二：32×25＝800（元） 方案三：12名成人和 8名儿童购买团体票，12名儿童购买儿童门票。 20×25＋12×20 ＝500＋240 ＝740（元） 740＜800＜880，则方案三花费的钱数最少。即 12名成人和 8名儿童购买团体票， 12名儿童购买儿童门票最合算。 答：12名成人和 8名儿童购买团体票，12名儿童购买儿童门票最合算。一共需 要花费 740元。 【对应练习 1】 某旅行社推出“泰山两日游”方案，6个成人和 3名儿童去游玩，选哪一种方案最 合算？ 【答案】6个成人和 1名儿童购买团体票，剩下的儿童购买儿童票最合算 15 / 28 【分析】根据题意可知，一共有三种购票方案，方案一：买 6张成人票和 3张儿 童票，分别求出需要的钱数，然后相加即可； 方案二：都购买团体票，就是购买（6＋3）张团体票，用张数乘票价求出需要的 钱数； 方案三：6个成人和 1名儿童购买团体票，剩下的 3－1＝2（名）儿童购买儿童 票，分别求出需要的钱数再相加； 然后比较三个方案，找出需要花费钱数最少的即可。 【详解】方案一：成人购买成人票，儿童购买儿童票，需要： 140×6＋80×3 ＝840＋240 ＝1080（元） 方案二：全部购买团体票，需要： （6＋3）×110 ＝9×110 ＝990（元） 方案三：6个成人和 1名儿童购买团体票，剩下的儿童购买儿童票，需要： 110×（6＋1）＋80×（3－1） ＝110×7＋80×2 ＝770＋160 ＝930（元） 930＜990＜1080 答：6个成人和 1名儿童购买团体票，剩下的儿童购买儿童票最合算。 【对应练习 2】 光明小学 15名老师带领 85名学生去参观科技展，选哪种方案买票最省钱？需要 多少元？ 16 / 28 【答案】方案一；1875元 【分析】根据题意，分别算出两种方案的钱数。 方案一：用老师的人数乘成人票的价钱，求出老师购票的钱数，再用学生的人数 乘儿童票的价钱，求出学生购票的钱数，再将两个钱数相加即可求出总钱数； 方案二：先将老师人数和学生人数相加，求出总人数，再用总人数乘团体票每人 的价钱，即可求出总钱数。 【详解】方案一：15×40＋85×15 ＝600＋1275 ＝1875（元） 方案二：85＞30 （15＋85）×20 ＝100×20 ＝2000（元） 1875＜2000 答：选方案一买票最省钱，需要 1875元。 【对应练习 3】 野生动物园门票的价格如下图。 野生动物园欢迎您！ 成人票：155元 儿童、老人票：80元 团体票：125元（5人及以上） （1）星期六，爸爸妈妈和上一年级的女儿果果一起去野生动物园游玩。爸爸带 了 400元，够买一家三口的门票吗？ （2）欢欢一家和硕硕一家也一起到野生动物园游玩。他们买门票最少花多少元？ 17 / 28 【答案】（1）够 （2）785元 【分析】（1）根据题意，爸爸妈妈是成人，果果是儿童，所以用成人票的价格 乘 2，再加上儿童票的价格，即可求出他们一家三口的门票钱，再与 400元比较 大小即可。 （2）欢欢一家和硕硕一家有成人 4人，儿童 2人，老人 1人。第一种，成人和 儿童、老人票分开购票，可分别算出他们各自需要多少钱，再用加法计算出一共 需要多少钱。第二种，成人和儿童、老人票一起购买团体票，每人 125元，直接 用 125乘上总人数即可计算出一共需要多少钱。第三种，因为儿童、老人票和团 体票都比成人票便宜，可以考虑让 1个老人和 4个成人凑一起（凑够 5人）买团 体票，而剩下的儿童单独买儿童票，最后把他们的钱数加起来。 【详解】（1）155×2＋80 ＝310＋80 ＝390（元） 390＜400 答：爸爸带了 400元，够买一家三口的门票。 （2）①成人和儿童、老人票分开购票； 155×4＋80×2＋80 ＝620＋160＋80 ＝780＋80 ＝860（元） ②购买团体票：125×（4＋2＋1） ＝125×7 ＝875（元） ③交叉买票：可以让成人 4人和 1位老人买团体票，剩下 2名儿童购买儿童票： 125×（4＋1）＋80×2 ＝125×5＋80×2 ＝625＋160 ＝785（元） 18 / 28 785＜860＜875 答：最少花 785元。 【考点六】排队问题。 【方法点拨】 注意计算每个人的排队等候时间，再进行叠加。 【典型例题】 5位同学排队购票，小军排第一，他购票用了 2分钟，这时他后面的同学一共等 了( )分钟。 解析： 排在第二位的同学等待了 2分钟。第三位的同学等待了 2×2＝4（分钟）。第四 位的同学等待了 2×3＝6（分钟）。第五位的同学等待了 2×4＝8（分钟）。一共 等待了（2＋4＋6＋8）分钟。 由分析得： 一共等了：2＋4＋6＋8 ＝6＋14 ＝20（分钟） 【对应练习 1】 小铭、小帅和小杰三位同学排队打午饭，小铭打饭用了 3分钟，这时小帅和小杰 各等候了( )分钟，这时他们两人一共等候了( )分钟。 解析： 小铭、小帅和小杰三位同学排队打午饭，小铭打饭用了 3分钟，这时小帅和小杰 各等候了 3分钟，他们两人一共等候了 6分钟。 【对应练习 2】 3人排队复印材料，已知甲复印要 7分钟，乙要 13分钟，丙要 6分钟。若要 3 人等待的总时间最短，则三人复印的先后顺序是( )。 解析： 要使等候的时间最少，需要让用时最少的先复印，因为 6＜7＜13，所以按丙→ 甲→乙的顺序复印使等侯的时间和最少； 【对应练习 3】 19 / 28 东东、晶晶、红红三位同学要去量身高、验视力，每项检查都要 2分，他们至少 要用( )分钟能做完这些检查。 解析： 东东量身高的同时晶晶验视力，然后东东验视力的同时红红量身高，最后晶晶量 身高的同时红红验视力，这样用时为 2×3＝6（分钟）。 【考点七】必胜的策略。 【方法点拨】 注意分析条件，假设结果再进行判断。 【典型例题】 一堆棋子共有 14颗，两人轮流从中拿走 1颗或者 2颗，谁拿到最后一颗谁就获 胜。如果你想获胜，( )拿（填“先”或者“后”），拿( )颗。 解析： 我如果想获胜，则应让对方拿走第 12颗，因此剩下的 2颗应由我先拿走，剩下 的 12颗，当对方拿 1颗时，我拿 2颗；当对方拿 2颗时，我拿 1颗。 根据分析可知：如果我想获胜，我应先拿 2颗。 【对应练习 1】 小亮有 10、7、4三张扑克牌，小明有 6、8、3三张扑克牌，规定每人每次出一 张，大牌吃小牌。如果小亮先出，小明获胜的策略是 10—( )， 7—( )，4—( )。 解析： 小亮有 10、7、4三张扑克牌，小明有 6、8、3三张扑克牌，规定每人每次出一 张，大牌吃小牌。如果小亮先出，小明获胜的策略是 10—3，7—8，4—6。 【对应练习 2】 四年级学生举行 100米跑 PK 赛，每班选手成绩如表。一班选手的比赛顺序是甲 →乙→丙。如果比赛采取三场两胜制，二班若想获胜，应采取的比赛顺序是 （ ）。 一班 甲：15秒 乙：19秒 丙：21秒 二班 A：16秒 B：20秒 C：23秒 20 / 28 解析： C→A→B 【对应练习 3】 聪聪和明明用扑克牌的点数比大小，采用三局两胜制。聪聪按 8、6、4的顺序先 出牌，明明想要获胜，应该按照( )的顺序出牌。 解析：3、7、5 【对应练习 4】 甲乙两人轮流报数，每次只能报 1或 3，把两人报的所有的数加起来，谁报数后 和是 31，谁就获胜，若甲先报，则甲第一次报( )可确保获胜。 解析： 31÷（1＋3） ＝31÷4 ＝7……3 余数是 3，先报数的甲第一次一定要报 3，和还剩 31－3＝28，即 28可被 4整除， 最后一次甲报数后和是 31，所以只要这样做甲一定会赢。 若甲先报，则甲第一次报 3可确保获胜。 【考点八】过河问题。 【方法点拨】 让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河， 然后再骑用时最少的回来，然后再过河。 【典型例题】 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需 2分钟，乙 马过河需 3分钟，丙马过河需 6分钟，丁马过河需 7分钟。每次只赶两匹马过河， 要把 4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？ 解析： 先骑甲马把乙马赶过河，再骑甲马回，需 3＋2＝5分钟；再骑丙马赶丁马过河， 21 / 28 骑乙马回，需 7＋3＝10分钟；再骑甲马赶乙马过河不回，需 3分钟。 3＋2＋7＋3＋3 ＝5＋7＋3＋3 ＝12＋3＋3 ＝15＋3 ＝18（分钟） 答：最少需要的时间是 18分钟。 【对应练习 1】 小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁 4匹马，甲马过河需 7分钟，乙马过 河要 2分钟，丙马过河要 3分钟，丁马过河要 8分钟。每次只能两匹马过河，要 把 4匹马都赶到对岸去，最少要多少分钟？ 解析： 骑乙赶丙，骑乙回：3＋2＝5（分钟），再乙骑赶丁，骑乙回：8＋2＝10分钟； 再骑乙赶甲过河不回，需 7分钟。 最少需要的时间是： 3＋2＋8＋2＋7＝22（分钟） 答：最少需要 22分钟。 【对应练习 2】 小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要 1分钟， 乙牛过河要 2分钟，丙牛过河要 3分钟，丁牛过河要 4分钟，戊牛过河要 5分钟， 己牛过河要 6分钟。每次只能三头牛过河，要把 6头牛都赶到对岸去，最少要几 分钟？ 解析： 因为 6头牛过河，每次只能赶 3头牛，所以需要三次； 骑甲赶戊和己，再骑甲回，需 6＋1＝7分钟； 再骑甲赶丙和丁，再骑甲回，需 4＋1＝5分钟； 最后骑甲赶乙需 2分钟； 把以上时间加起来即可得把 6头牛都赶到对岸去的最少时间。 6＋1＋4＋1＋2 22 / 28 ＝7＋4＋1＋2 ＝11＋1＋2 ＝12＋2 ＝14（分钟） 答：要把 6头牛都赶到对岸去，最少要 14分钟。 【对应练习 3】 小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁 4头牛。甲牛过河需要 1分钟， 乙牛过河需要 2分钟，丙牛过河需要 5分钟，丁牛过河需要 6分钟。每次只能赶 两头牛过河，那么小明要把这 4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 解析： 要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短： 第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用： 2 1 3  （分钟）； 第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了6 2 8  （分 钟）； 第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了 2分钟； 所以，小明要把这 4头牛都赶到对岸，最小要用3 8 2 13   （分钟）。 答：最小要用 13分钟。 【考点九】打电话问题。 【方法点拨】 打电话的规律总结。 1.每增加 1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和 老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1） 分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的 2倍。 2.根据总结发现，从第 1分钟到第 n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看； 第 1分钟，共有 2人，2=21；第 2分钟，共有 4人，4=22；第 3分钟，共有 8人， 8=23；第 4分钟，共有 16人，16=24；第 5分钟，共有 32人，32=25；第 6分钟， 共有 64人，64=26；第 7分钟，共有 128人，128=27…由此推得：到第 n分钟， 所有接到通知的队员和老师的总人数为 2n人，所有接到通知的队员的总人数为 （2n-1）人。 23 / 28 【典型例题】 即将开学，老师给学生打紧急电话通知核酸检测，假设 1分钟可以完成 1次通话， 并要求学生尽快相互转达（老师同时也在打，且无重复通知）在 6分钟内，最多 能通知( )人。 解析： 2×2×2×2×2×2－1 ＝64－1 ＝63（人） 【对应练习 1】 有一种细胞，每 2分钟分裂一次，每个细胞变成 2个细胞。现在有 1个这种细胞， 经过 10分钟，一共分裂成了( )个细胞。 解析： 这些细胞共分裂的次数是：10÷2＝5（次） 2×2×2×2×2＝32（个） 【对应练习 2】 一名教练员通知两个同学参加比赛，用了 1分钟，依次类推，每个同学再次通知 两个同学也用 1分钟……6分钟共通知( )名同学。 解析： 2＋4＋8＋16＋32＋64＝126（名） 【对应练习 3】 徐老师需要在最短的时间内向全班同学发出紧急通知，如果打电话通知 1个人需 要 1分钟，按打电话的最优策略，4分钟后最多有( )位学生接到通知。 解析： 如果打电话通知 1个人需要 1分钟，按打电话的最优策略，4分钟后最多有 15 位学生接到通知。 【考点十】货物运输问题。 【方法点拨】 列出可能的方案，最好再进行比较得出最优解。 【典型例题】 24 / 28 有 18吨货物，用两辆载质量为 6吨和 4吨的车来运，如果每辆车都装满，怎样 安排能恰好运完？ 方案 载质量 6吨的车 载质量 4吨的车 运货吨数 ① 3次 ② ③ ④ （1）将表格填写完整。 （2）方案 能恰好运完 18吨货物。 【答案】（1）见解答 （2）①和③ 【分析】（1）因为 18÷6＝3（次），所以载质量为 6吨的车最多运的次数不能 超过 3次，然后载质量为 6吨的车每次减少 1次，然后增加载质量 4吨的车的次 数，计算出这些车辆可以运货的总吨数即可； （2）根据表格找出能恰好运完 18吨货物的方案即可。 【详解】（1）表格填写如下： 方案 载质量 6吨的车 载质量 4吨的车 运货吨数 ① 3次 0次 18 ② 2次 2次 20 ③ 1次 3次 18 ④ 0次 5次 20 （2）方案①和③能恰好运完 18吨货物。 【对应练习 1】 下面两辆车可以用来运煤。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完 36 吨煤？（试着列表说明） 25 / 28 【答案】可以用载重量为 8吨的车运 3次，载重量为 6吨的车运 2次；或者可以 用载重量为 6吨的车运 6次 【分析】根据每种车的载重量和总吨数，利用列举法找到符合题意的运煤方案。 【详解】列表如下： 方案 载质量 8吨车（次） 载质量 6吨车（次） 运煤吨数（吨） 方案一 5 0 40 方案二 4 1 38 方案三 3 2 36 方案四 2 4 40 方案五 1 5 38 方案六 0 6 36 通过上面表格可知，只有方案三和方案六符合题意； 答：可以用载重量为 8吨的车运 3次，载重量为 6吨的车运 2次；或者可以用载 重量为 6吨的车运 6次，可以恰好运完 36吨煤。 【对应练习 2】 如图两辆车运煤，如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完 15吨煤？ 方 案 4吨 3吨 运煤吨 数 正确方案打 “√” ① 4次 （ ）次 （ ）吨 26 / 28 ② 3次 （ ）次 （ ）吨 ③ （ ）次 （ ）次 （ ）吨 ④ （ ）次 （ ）次 （ ）吨 ⑤ （ ）次 （ ）次 （ ）吨 【答案】见解答 【分析】方案①：一辆大货车 1次运 4吨，4乘 4可以求出 4次运 16吨。 方案②：4乘 3求出大货车 3次运 12吨，再用 15减 12的差是 3吨，此时还有 3 吨，而小火车 1次正好可以运 3吨。 方案③：在方案②的基础上大货车运的次数减少 1次，即大货车运 2次，4乘 2 可以求出 2次共运 8吨，15减 8求出还剩下 7吨，这 7吨安排小货车运，7除以 3求出运 2次还剩 1吨，即运完 7吨需要小货车运 3次，最后计算大货车运 2次 与小货车运 3次运输的总质量，3乘 3再加 8即可求出运输的总质量。 方案④：大货车减少为运输 1次，15减 4得 11，剩下的 11吨安排小货车运输， 11除以 3商是 3余数是 2，即需要小货车运 4次，再计算小货车运 4次的总质量， 把这个总质量与大货车 1次运的 4吨相加即可。 方案⑤：全部用小货车运，15除以 3，得到的商是 5，即需要小货车运 5次，正 好运 15吨。 【详解】方案①：4×4＝16（吨） 方案②：4×3＝12（吨） 15－12＝3（吨） 3÷3＝1（次） 方案③：4×2＝8（吨） 15－8＝7（吨） 7÷3＝2（次）……1（吨） 2＋1＝3（次） 3×3＋8 ＝9＋8 27 / 28 ＝17（吨） 方案④：15－4＝11（吨） 11÷3＝3（次）……2（吨） 3＋1＝4（次） 4×3＋4 ＝12＋4 ＝16（吨） 方案⑥：15÷3＝5（次） 方 案 4吨 3吨 运煤吨 数 正确方案打 “√” ① 4次 0次 16吨 ② 3次 1次 15吨 √ ③ 2次 3次 17吨 ④ 1次 4次 16吨 ⑤ 0次 5次 15吨 √ 答：4吨的车运 3次、3吨的车运 1次，或 3吨的车运 5次，恰好运完 15吨煤。 【对应练习 3】 下面两辆车可以用来运煤。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完 26 吨煤？请把你的正确方案写出来。 【答案】3吨车运 2次，5吨车运 4次或 3吨车运 7次，5吨车运 1次 【分析】由题意得，有两种车，小货车每次可以运 3吨，大货车每次可以运 5 吨。要想恰好运完 26吨煤，可以用列表法列出所以可能的方案，然后算出其能 运的煤的吨数，据此找出满足条件的方案即可。 【详解】 28 / 28 序 号 3吨车运的次 数 5吨车运的次 数 可以运的煤的吨 数 能否刚好运完 26吨 煤 1 0 6 30 × 2 1 5 28 × 3 2 4 26 √ 4 3 4 29 × 5 4 3 27 × 6 5 2 25 × 7 6 2 28 × 8 7 1 26 √ 9 8 1 29 × 10 9 0 27 × 答：3吨车运 2次，5吨车运 4次或 3吨车运 7次，5吨车运 1次可以恰好运完 26吨煤。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月6日 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——优化【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第八单元数学广角——优化 专题内容 本专题以优化问题为主，其中包括沏茶问题、烙饼问题、田忌赛马问题、租船租车问题、购票问题、排队问题、必胜的策略、过河问题、打电话问题、货物运输问题等十种问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】沏茶问题 3 【考点二】烙饼问题 3 【考点三】田忌赛马问题 4 【考点四】租船租车问题 6 【考点五】购票问题（方案优化问题） 8 【考点六】排队问题 9 【考点七】必胜的策略 10 【考点八】过河问题 11 【考点九】打电话问题 12 【考点十】货物运输问题 12 【第三篇】典型例题篇 【考点一】沏茶问题。 【方法点拨】 1. 解决合理安排时间的问题需要按以下的步骤进行。 （1）思考完成一项工作要做哪些事情； （2）分析做每件事情各需要多长时间； （3）合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。 2. 合理安排时间的方法。 （1）定先后顺序；（2）找同时进行；（3）计算时间。 【典型例题】 小华给客人烧水沏茶：洗茶壶1分钟，烧开水10分钟，洗茶杯1分钟，拿茶叶1分钟，沏茶2分钟。客人喝上茶至少需要( )分钟，最合理的安排顺序是( )。 【对应练习1】 李强每天早晨起床穿衣3分钟、整理床铺2分钟、刷牙洗脸3分钟、烧开水5分钟、喝水1分钟、吃早餐6分钟、步行到学校15分钟。李强为了在8：00前到校，他制订了“高效行动计划”，那么他最迟( )起床才不会迟到。 【对应练习2】 妈妈给小明做早餐所用的时间如下：淘米2分钟，熬粥20分钟，煎鸡蛋5分钟（熬粥和煎鸡蛋用不同的锅），热牛奶2分钟，拌小菜6分钟。妈妈做好早餐至少需要( )分钟。 【对应练习3】 妈妈早上起床，刷牙5分钟，淘米洗锅3分钟，熬粥20分钟，盛粥1分钟，煎鸡蛋5分钟。能吃上妈妈做的早饭至少要用( )分钟。 【考点二】烙饼问题。 【方法点拨】 1. 无论烙多少张饼，只要保证每次都在平底锅中放2张饼，就能节省时间。 如果烙饼的张数是双数，2张2张的烙就可以了；如果烙饼的张数是单数，可以先2张2张的烙，最后3张按“烙3张饼”的最优方案去烙，最节省时间。 2. 烙饼的最优方案。 每一次尽可能让锅里按要求放最多张饼，别让锅有空余，这样既没有浪费资源，又节省了时间。 【典型例题】 早晨，妈妈给我们煎鸡蛋饼。已知一只平底锅每次只能放两个鸡蛋饼，煎一个鸡蛋饼正反面各需2分钟，那么煎3个鸡蛋饼至少需要( )分钟。 【对应练习1】 李老师要复印6张同样规格的资料，正、反两面都要复印，如果一次最多只能复印2张单面，至少要( )次才能复印完。 【对应练习2】 用一只平底锅煎饼，每次只能煎两块饼，煎一面需要3分钟，两面都要煎。煎6块饼最少需要( )分钟。 【对应练习3】 用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙3分钟。烙10张饼至少要( )分钟。 【考点三】田忌赛马问题。 【方法点拨】 1. 解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。 2. 在与对方进行比赛时，要详细地分析自己与对方的情况，反复研究各种策略，在所有可能采取的策略中，选择一个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势，最终取得胜利。 3. 寻找策略的方法。 （1）解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。 （2）在与对方进行比赛时： ①要知己知彼，详细地分析双方的情况。 ②想到所有可能的对策。 ③选择一个利多弊少的最优策略。 【典型例题】 田忌赛马的故事中，田忌是如何赢齐王的，请在下表中设计一下当时的比赛情况： 齐王 田忌 胜方 1 上等马 ( ) ( ) 2 中等马 ( ) ( ) 3 下等马 ( ) ( ) 【对应练习1】 一次，齐王与大将田忌赛马，每人有四匹马，分为四等，田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。那么田忌有（ ）种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。 【对应练习2】 齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下三等马，田忌每种等级的马都比齐王的马差一些，田忌要想赢齐王，他的中等马需要和齐王的什么马进行比赛？ 齐王 田忌 本场胜者 第一场 第二场 第三场 【对应练习3】 同学们，你听过“田忌赛马”的故事吗？田忌是怎样赢得齐王的？ 齐王 田忌 本场胜负 第一场 下等马 第一场 中等马 第一场 下等马 （1）田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？ （2）我们来看看田忌共有多少种可采用的应对策略？ 【考点四】租船租车问题。 【方法点拨】 租船问题的关键是确定尽量租大船，少租小船，而且保证没有空位时最省钱。 【典型例题】 某实验小学组织四年级学生进行研学旅行，参加活动的老师有10人，学生有226人。怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 【对应练习1】 某校举办图书捐赠仪式，共捐赠了160套图书，需要把这些图书寄送到山区学校，快递站给出了如图两种收费标准（数量不足20本或30本的也按整包收费）。寄送这些图书最少要花多少钱？ 【对应练习2】 四年级师生共290人，租车去参观博物馆。大、小客车出租价格如下： 车型 限乘人数 每辆车租金/元 大客车 45人 780 小客车 35人 650 怎样租车最省钱，租金是多少元？ 【对应练习3】 实验小学有10位老师带着150名学生去春游，现在有大、小两种车可以选择，信息如下： 大车 小车 限乘客50人 租车费为800元/辆 限乘客30人 租车费为540元/辆 怎样租车最省钱？租车最少要花多少钱？ 【考点五】购票问题（方案优化问题）。 【方法点拨】 最优方案的选择需要通过计算后，进行比较才能得出结果。 【典型例题】 国庆节期间张成跟一旅游团到动物园游玩，团里共有32人，其中成人12人。动物园的门票价格如下： （1）成人40元/人，儿童20元/人。 （2）团体票20人以上（包括20人），25元/人 请你帮张成算一算，怎样买票合算？ 【对应练习1】 某旅行社推出“泰山两日游”方案，6个成人和3名儿童去游玩，选哪一种方案最合算？ 【对应练习2】 光明小学15名老师带领85名学生去参观科技展，选哪种方案买票最省钱？需要多少元？ 【对应练习3】 野生动物园门票的价格如下图。 野生动物园欢迎您！ 成人票：155元 儿童、老人票：80元 团体票：125元（5人及以上） （1）星期六，爸爸妈妈和上一年级的女儿果果一起去野生动物园游玩。爸爸带了400元，够买一家三口的门票吗？ （2）欢欢一家和硕硕一家也一起到野生动物园游玩。他们买门票最少花多少元？ 【考点六】排队问题。 【方法点拨】 注意计算每个人的排队等候时间，再进行叠加。 【典型例题】 5位同学排队购票，小军排第一，他购票用了2分钟，这时他后面的同学一共等了( )分钟。 【对应练习1】 小铭、小帅和小杰三位同学排队打午饭，小铭打饭用了3分钟，这时小帅和小杰各等候了( )分钟，这时他们两人一共等候了( )分钟。 【对应练习2】 3人排队复印材料，已知甲复印要7分钟，乙要13分钟，丙要6分钟。若要3人等待的总时间最短，则三人复印的先后顺序是( )。 【对应练习3】 东东、晶晶、红红三位同学要去量身高、验视力，每项检查都要2分，他们至少要用( )分钟能做完这些检查。 【考点七】必胜的策略。 【方法点拨】 注意分析条件，假设结果再进行判断。 【典型例题】 一堆棋子共有14颗，两人轮流从中拿走1颗或者2颗，谁拿到最后一颗谁就获胜。如果你想获胜，( )拿（填“先”或者“后”），拿( )颗。 【对应练习1】 小亮有10、7、4三张扑克牌，小明有6、8、3三张扑克牌，规定每人每次出一张，大牌吃小牌。如果小亮先出，小明获胜的策略是10—( )，7—( )，4—( )。 【对应练习2】 四年级学生举行100米跑PK 赛，每班选手成绩如表。一班选手的比赛顺序是甲→乙→丙。如果比赛采取三场两胜制，二班若想获胜，应采取的比赛顺序是（ ）。 一班 甲：15秒 乙：19秒 丙：21秒 二班 A：16秒 B：20秒 C：23秒 【对应练习3】 聪聪和明明用扑克牌的点数比大小，采用三局两胜制。聪聪按8、6、4的顺序先出牌，明明想要获胜，应该按照( )的顺序出牌。 【对应练习4】 甲乙两人轮流报数，每次只能报1或3，把两人报的所有的数加起来，谁报数后和是31，谁就获胜，若甲先报，则甲第一次报( )可确保获胜。 【考点八】过河问题。 【方法点拨】 让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河，然后再骑用时最少的回来，然后再过河。 【典型例题】 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？ 【对应练习1】 小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河要2分钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要多少分钟？ 【对应练习2】 小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙牛过河要2分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛过河要5分钟，己牛过河要6分钟。每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？ 【对应练习3】 小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 【考点九】打电话问题。 【方法点拨】 打电话的规律总结。 1.每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的2倍。 2.根据总结发现，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看；第1分钟，共有2人，2=21；第2分钟，共有4人，4=22；第3分钟，共有8人，8=23；第4分钟，共有16人，16=24；第5分钟，共有32人，32=25；第6分钟，共有64人，64=26；第7分钟，共有128人，128=27…由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n-1）人。 【典型例题】 即将开学，老师给学生打紧急电话通知核酸检测，假设1分钟可以完成1次通话，并要求学生尽快相互转达（老师同时也在打，且无重复通知）在6分钟内，最多能通知( )人。 【对应练习1】 有一种细胞，每2分钟分裂一次，每个细胞变成2个细胞。现在有1个这种细胞，经过10分钟，一共分裂成了( )个细胞。 【对应练习2】 一名教练员通知两个同学参加比赛，用了1分钟，依次类推，每个同学再次通知两个同学也用1分钟……6分钟共通知( )名同学。 【对应练习3】 徐老师需要在最短的时间内向全班同学发出紧急通知，如果打电话通知1个人需要1分钟，按打电话的最优策略，4分钟后最多有( )位学生接到通知。 【考点十】货物运输问题。 【方法点拨】 列出可能的方案，最好再进行比较得出最优解。 【典型例题】 有18吨货物，用两辆载质量为6吨和4吨的车来运，如果每辆车都装满，怎样安排能恰好运完？ 方案 载质量6吨的车 载质量4吨的车 运货吨数 ① 3次 ② ③ ④ （1）将表格填写完整。 （2）方案 能恰好运完18吨货物。 【对应练习1】 下面两辆车可以用来运煤。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完36吨煤？（试着列表说明） 【对应练习2】 如图两辆车运煤，如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完15吨煤？ 方案 4吨 3吨 运煤吨数 正确方案打“√” ① 4次 （    ）次 （    ）吨 ② 3次 （    ）次 （    ）吨 ③ （    ）次 （    ）次 （    ）吨 ④ （    ）次 （    ）次 （    ）吨 ⑤ （    ）次 （    ）次 （    ）吨 【对应练习3】 下面两辆车可以用来运煤。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完26吨煤？请把你的正确方案写出来。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 14 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 6 日 2 / 14 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——优化【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第八单元数学广角——优化 专题内容 本专题以优化问题为主，其中包括沏茶问题、烙饼问题、田 忌赛马问题、租船租车问题、购票问题、排队问题、必胜的 策略、过河问题、打电话问题、货物运输问题等十种问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】沏茶问题 .......................................................................................................... 3 【考点二】烙饼问题 .......................................................................................................... 3 【考点三】田忌赛马问题 ...................................................................................................4 【考点四】租船租车问题 ...................................................................................................6 【考点五】购票问题（方案优化问题） ............................................................................8 【考点六】排队问题 .......................................................................................................... 9 【考点七】必胜的策略 .....................................................................................................10 【考点八】过河问题 ........................................................................................................ 11 【考点九】打电话问题 .....................................................................................................12 【考点十】货物运输问题 .................................................................................................12 3 / 14 【第三篇】典型例题篇 【考点一】沏茶问题。 【方法点拨】 1. 解决合理安排时间的问题需要按以下的步骤进行。 （1）思考完成一项工作要做哪些事情； （2）分析做每件事情各需要多长时间； （3）合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。 2. 合理安排时间的方法。 （1）定先后顺序；（2）找同时进行；（3）计算时间。 【典型例题】 小华给客人烧水沏茶：洗茶壶 1分钟，烧开水 10分钟，洗茶杯 1分钟，拿茶叶 1分钟，沏茶 2分钟。客人喝上茶至少需要( )分钟，最合理的安排顺序 是( )。 【对应练习 1】 李强每天早晨起床穿衣 3分钟、整理床铺 2分钟、刷牙洗脸 3分钟、烧开水 5 分钟、喝水 1分钟、吃早餐 6分钟、步行到学校 15分钟。李强为了在 8：00前 到校，他制订了“高效行动计划”，那么他最迟( )起床才不会迟到。 【对应练习 2】 妈妈给小明做早餐所用的时间如下：淘米 2分钟，熬粥 20分钟，煎鸡蛋 5分钟 （熬粥和煎鸡蛋用不同的锅），热牛奶 2分钟，拌小菜 6分钟。妈妈做好早餐至 少需要( )分钟。 【对应练习 3】 妈妈早上起床，刷牙 5分钟，淘米洗锅 3分钟，熬粥 20分钟，盛粥 1分钟，煎 鸡蛋 5分钟。能吃上妈妈做的早饭至少要用( )分钟。 【考点二】烙饼问题。 【方法点拨】 1. 无论烙多少张饼，只要保证每次都在平底锅中放 2 张饼，就能节省时间。 4 / 14 如果烙饼的张数是双数，2张 2张的烙就可以了；如果烙饼的张数是单数，可以 先 2张 2张的烙，最后 3张按“烙 3张饼”的最优方案去烙，最节省时间。 2. 烙饼的最优方案。 每一次尽可能让锅里按要求放最多张饼，别让锅有空余，这样既没有浪费资源， 又节省了时间。 【典型例题】 早晨，妈妈给我们煎鸡蛋饼。已知一只平底锅每次只能放两个鸡蛋饼，煎一个鸡 蛋饼正反面各需 2分钟，那么煎 3个鸡蛋饼至少需要( )分钟。 【对应练习 1】 李老师要复印 6张同样规格的资料，正、反两面都要复印，如果一次最多只能复 印 2张单面，至少要( )次才能复印完。 【对应练习 2】 用一只平底锅煎饼，每次只能煎两块饼，煎一面需要 3分钟，两面都要煎。煎 6 块饼最少需要( )分钟。 【对应练习 3】 用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙 2张饼，两面都要烙，每面烙 3分钟。烙 10张饼至少要( )分钟。 【考点三】田忌赛马问题。 【方法点拨】 1. 解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。 2. 在与对方进行比赛时，要详细地分析自己与对方的情况，反复研究各种策略， 在所有可能采取的策略中，选择一个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势， 最终取得胜利。 3. 寻找策略的方法。 （1）解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。 （2）在与对方进行比赛时： ①要知己知彼，详细地分析双方的情况。 ②想到所有可能的对策。 ③选择一个利多弊少的最优策略。 5 / 14 【典型例题】 田忌赛马的故事中，田忌是如何赢齐王的，请在下表中设计一下当时的比赛情况： 齐王 田忌 胜方 1 上等马 ( ) ( ) 2 中等马 ( ) ( ) 3 下等马 ( ) ( ) 【对应练习 1】 一次，齐王与大将田忌赛马，每人有四匹马，分为四等，田忌知道齐王这次比赛 马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑的最快的 是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三 等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。那么田忌有（ ）种方法安 排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。 【对应练习 2】 齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下三等马，田忌每种等级的马都比齐王的马 差一些，田忌要想赢齐王，他的中等马需要和齐王的什么马进行比赛？ 齐王 田忌 本场胜者 第一场 第二场 第三场 【对应练习 3】 同学们，你听过“田忌赛马”的故事吗？田忌是怎样赢得齐王的？ 齐王 田忌 本场胜负 第一场 下等马 第一场 中等马 第一场 下等马 6 / 14 （1）田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？ （2）我们来看看田忌共有多少种可采用的应对策略？ 【考点四】租船租车问题。 【方法点拨】 租船问题的关键是确定尽量租大船，少租小船，而且保证没有空位时最省钱。 【典型例题】 某实验小学组织四年级学生进行研学旅行，参加活动的老师有 10人，学生有 226 人。怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 【对应练习 1】 某校举办图书捐赠仪式，共捐赠了 160套图书，需要把这些图书寄送到山区学校， 快递站给出了如图两种收费标准（数量不足 20本或 30本的也按整包收费）。寄 送这些图书最少要花多少钱？ 7 / 14 【对应练习 2】 四年级师生共 290人，租车去参观博物馆。大、小客车出租价格如下： 车型 限乘人数 每辆车租金/元 大客车 45人 780 小客车 35人 650 怎样租车最省钱，租金是多少元？ 【对应练习 3】 实验小学有 10位老师带着 150名学生去春游，现在有大、小两种车可以选择， 信息如下： 大车 小车 限乘客 50人 租车费为 800元/辆 限乘客 30人 租车费为 540元/辆 怎样租车最省钱？租车最少要花多少钱？ 8 / 14 【考点五】购票问题（方案优化问题）。 【方法点拨】 最优方案的选择需要通过计算后，进行比较才能得出结果。 【典型例题】 国庆节期间张成跟一旅游团到动物园游玩，团里共有 32人，其中成人 12人。动 物园的门票价格如下： （1）成人 40元/人，儿童 20元/人。 （2）团体票 20人以上（包括 20人），25元/人 请你帮张成算一算，怎样买票合算？ 【对应练习 1】 某旅行社推出“泰山两日游”方案，6个成人和 3名儿童去游玩，选哪一种方案最 合算？ 【对应练习 2】 光明小学 15名老师带领 85名学生去参观科技展，选哪种方案买票最省钱？需要 多少元？ 9 / 14 【对应练习 3】 野生动物园门票的价格如下图。 野生动物园欢迎您！ 成人票：155元 儿童、老人票：80元 团体票：125元（5人及以上） （1）星期六，爸爸妈妈和上一年级的女儿果果一起去野生动物园游玩。爸爸带 了 400元，够买一家三口的门票吗？ （2）欢欢一家和硕硕一家也一起到野生动物园游玩。他们买门票最少花多少元？ 【考点六】排队问题。 【方法点拨】 注意计算每个人的排队等候时间，再进行叠加。 【典型例题】 5位同学排队购票，小军排第一，他购票用了 2分钟，这时他后面的同学一共等 了( )分钟。 【对应练习 1】 小铭、小帅和小杰三位同学排队打午饭，小铭打饭用了 3分钟，这时小帅和小杰 各等候了( )分钟，这时他们两人一共等候了( )分钟。 【对应练习 2】 3人排队复印材料，已知甲复印要 7分钟，乙要 13分钟，丙要 6分钟。若要 3 人等待的总时间最短，则三人复印的先后顺序是( )。 10 / 14 【对应练习 3】 东东、晶晶、红红三位同学要去量身高、验视力，每项检查都要 2分，他们至少 要用( )分钟能做完这些检查。 【考点七】必胜的策略。 【方法点拨】 注意分析条件，假设结果再进行判断。 【典型例题】 一堆棋子共有 14颗，两人轮流从中拿走 1颗或者 2颗，谁拿到最后一颗谁就获 胜。如果你想获胜，( )拿（填“先”或者“后”），拿( )颗。 【对应练习 1】 小亮有 10、7、4三张扑克牌，小明有 6、8、3三张扑克牌，规定每人每次出一 张，大牌吃小牌。如果小亮先出，小明获胜的策略是 10—( )， 7—( )，4—( )。 【对应练习 2】 四年级学生举行 100米跑 PK 赛，每班选手成绩如表。一班选手的比赛顺序是甲 →乙→丙。如果比赛采取三场两胜制，二班若想获胜，应采取的比赛顺序是 （ ）。 一班 甲：15秒 乙：19秒 丙：21秒 二班 A：16秒 B：20秒 C：23秒 【对应练习 3】 聪聪和明明用扑克牌的点数比大小，采用三局两胜制。聪聪按 8、6、4的顺序先 出牌，明明想要获胜，应该按照( )的顺序出牌。 【对应练习 4】 甲乙两人轮流报数，每次只能报 1或 3，把两人报的所有的数加起来，谁报数后 和是 31，谁就获胜，若甲先报，则甲第一次报( )可确保获胜。 11 / 14 【考点八】过河问题。 【方法点拨】 让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河， 然后再骑用时最少的回来，然后再过河。 【典型例题】 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需 2分钟，乙 马过河需 3分钟，丙马过河需 6分钟，丁马过河需 7分钟。每次只赶两匹马过河， 要把 4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？ 【对应练习 1】 小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁 4匹马，甲马过河需 7分钟，乙马过 河要 2分钟，丙马过河要 3分钟，丁马过河要 8分钟。每次只能两匹马过河，要 把 4匹马都赶到对岸去，最少要多少分钟？ 【对应练习 2】 小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要 1分钟， 乙牛过河要 2分钟，丙牛过河要 3分钟，丁牛过河要 4分钟，戊牛过河要 5分钟， 己牛过河要 6分钟。每次只能三头牛过河，要把 6头牛都赶到对岸去，最少要几 分钟？ 【对应练习 3】 小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁 4头牛。甲牛过河需要 1分钟， 乙牛过河需要 2分钟，丙牛过河需要 5分钟，丁牛过河需要 6分钟。每次只能赶 两头牛过河，那么小明要把这 4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 12 / 14 【考点九】打电话问题。 【方法点拨】 打电话的规律总结。 1.每增加 1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和 老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1） 分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的 2倍。 2.根据总结发现，从第 1分钟到第 n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看； 第 1分钟，共有 2人，2=21；第 2分钟，共有 4人，4=22；第 3分钟，共有 8人， 8=23；第 4分钟，共有 16人，16=24；第 5分钟，共有 32人，32=25；第 6分钟， 共有 64人，64=26；第 7分钟，共有 128人，128=27…由此推得：到第 n分钟， 所有接到通知的队员和老师的总人数为 2n人，所有接到通知的队员的总人数为 （2n-1）人。 【典型例题】 即将开学，老师给学生打紧急电话通知核酸检测，假设 1分钟可以完成 1次通话， 并要求学生尽快相互转达（老师同时也在打，且无重复通知）在 6分钟内，最多 能通知( )人。 【对应练习 1】 有一种细胞，每 2分钟分裂一次，每个细胞变成 2个细胞。现在有 1个这种细胞， 经过 10分钟，一共分裂成了( )个细胞。 【对应练习 2】 一名教练员通知两个同学参加比赛，用了 1分钟，依次类推，每个同学再次通知 两个同学也用 1分钟……6分钟共通知( )名同学。 【对应练习 3】 徐老师需要在最短的时间内向全班同学发出紧急通知，如果打电话通知 1个人需 要 1分钟，按打电话的最优策略，4分钟后最多有( )位学生接到通知。 【考点十】货物运输问题。 【方法点拨】 列出可能的方案，最好再进行比较得出最优解。 13 / 14 【典型例题】 有 18吨货物，用两辆载质量为 6吨和 4吨的车来运，如果每辆车都装满，怎样 安排能恰好运完？ 方案 载质量 6吨的车 载质量 4吨的车 运货吨数 ① 3次 ② ③ ④ （1）将表格填写完整。 （2）方案 能恰好运完 18吨货物。 【对应练习 1】 下面两辆车可以用来运煤。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完 36 吨煤？（试着列表说明） 【对应练习 2】 如图两辆车运煤，如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完 15吨煤？ 14 / 14 方 案 4吨 3吨 运煤吨 数 正确方案打 “√” ① 4次 （ ）次 （ ）吨 ② 3次 （ ）次 （ ）吨 ③ （ ）次 （ ）次 （ ）吨 ④ （ ）次 （ ）次 （ ）吨 ⑤ （ ）次 （ ）次 （ ）吨 【对应练习 3】 下面两辆车可以用来运煤。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完 26 吨煤？请把你的正确方案写出来。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月6日 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第八单元数学广角——优化【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第八单元数学广角——优化 专题内容 本专题以优化问题为主，其中包括沏茶问题、烙饼问题、田忌赛马问题、租船租车问题、购票问题、排队问题、必胜的策略、过河问题、打电话问题、货物运输问题等十种问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】沏茶问题 3 【考点二】烙饼问题 5 【考点三】田忌赛马问题 6 【考点四】租船租车问题 9 【考点五】购票问题（方案优化问题） 13 【考点六】排队问题 18 【考点七】必胜的策略 19 【考点八】过河问题 20 【考点九】打电话问题 22 【考点十】货物运输问题 23 【第三篇】典型例题篇 【考点一】沏茶问题。 【方法点拨】 1. 解决合理安排时间的问题需要按以下的步骤进行。 （1）思考完成一项工作要做哪些事情； （2）分析做每件事情各需要多长时间； （3）合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。 2. 合理安排时间的方法。 （1）定先后顺序；（2）找同时进行；（3）计算时间。 【典型例题】 小华给客人烧水沏茶：洗茶壶1分钟，烧开水10分钟，洗茶杯1分钟，拿茶叶1分钟，沏茶2分钟。客人喝上茶至少需要( )分钟，最合理的安排顺序是( )。 【答案】 13 洗茶壶→烧开水→洗茶杯→拿茶叶→沏茶 【分析】要使客人尽快喝上茶，可以在烧开水的同时去洗茶杯和拿茶叶，这样可以节省时间。求至少需要多少时间，直接把洗茶壶、烧开水和沏茶的时间加起来即可。 【详解】1＋10＋2＝11＋2＝13（分钟） 客人喝上茶至少需要13分钟，最合理的安排顺序是洗茶壶→烧开水→洗茶杯→拿茶叶→沏茶。 【对应练习1】 李强每天早晨起床穿衣3分钟、整理床铺2分钟、刷牙洗脸3分钟、烧开水5分钟、喝水1分钟、吃早餐6分钟、步行到学校15分钟。李强为了在8：00前到校，他制订了“高效行动计划”，那么他最迟( )起床才不会迟到。 【答案】7：30/7时30分 【分析】要求最迟起床时间，也就是要求出他做这些事情需要的最短时间。可以先起床穿衣，然后烧水，烧水的同时整理床铺和刷牙洗脸，接着吃早餐、喝水、步行到学校。一共需要的时间为3＋5＋6＋1＋15＝30分钟。根据开始时间＝结束时间－经过时间，即可求出最迟起床时间。 【详解】3＋5＋6＋1＋15＝30（分钟） 8：00－30分钟＝7：30 他最迟7：30起床才不会迟到。 【对应练习2】 妈妈给小明做早餐所用的时间如下：淘米2分钟，熬粥20分钟，煎鸡蛋5分钟（熬粥和煎鸡蛋用不同的锅），热牛奶2分钟，拌小菜6分钟。妈妈做好早餐至少需要( )分钟。 【答案】22 【分析】要使需要的时间最短，应先淘米，然后熬粥，在完成熬粥这项任务的同时，可完成煎鸡蛋、热牛奶和拌小菜这三项任务，据此解答。 【详解】根据题干分析，可以设计如下： （分钟） 所以妈妈做好早餐至少需要22分钟。 【对应练习3】 妈妈早上起床，刷牙5分钟，淘米洗锅3分钟，熬粥20分钟，盛粥1分钟，煎鸡蛋5分钟。能吃上妈妈做的早饭至少要用( )分钟。 【答案】24 【分析】根据题意，要使用的时间最短，则先淘米洗锅然后熬粥，熬粥的同时刷牙煎鸡蛋，最后盛粥，据此填空即可。 【详解】3＋20＋1 ＝23＋1 ＝24（分钟） 能吃上妈妈做的早饭至少要用24分钟。 【考点二】烙饼问题。 【方法点拨】 1. 无论烙多少张饼，只要保证每次都在平底锅中放2张饼，就能节省时间。 如果烙饼的张数是双数，2张2张的烙就可以了；如果烙饼的张数是单数，可以先2张2张的烙，最后3张按“烙3张饼”的最优方案去烙，最节省时间。 2. 烙饼的最优方案。 每一次尽可能让锅里按要求放最多张饼，别让锅有空余，这样既没有浪费资源，又节省了时间。 【典型例题】 早晨，妈妈给我们煎鸡蛋饼。已知一只平底锅每次只能放两个鸡蛋饼，煎一个鸡蛋饼正反面各需2分钟，那么煎3个鸡蛋饼至少需要( )分钟。 【答案】6 【分析】先烙第1张的正面和第2张的正面，需要2分钟； 然后第1张的反面和第3张的正面，需要2分钟； 最后第2张的反面和第3张的反面，需要2分钟。 【详解】2×3＝6（分钟） 烙熟3张饼至少需要6分钟。 【对应练习1】 李老师要复印6张同样规格的资料，正、反两面都要复印，如果一次最多只能复印2张单面，至少要( )次才能复印完。 【答案】6 【分析】根据优化问题，分别列出每一次复印的情况，据此求出至少要几次才能复印完。 【详解】第一次：1正2正 第二次：1反2反 第三次：3正4正 第四次：3反4反 第五次：5正6正 第六次：5反6反 至少要6次才能复印完。 【对应练习2】 用一只平底锅煎饼，每次只能煎两块饼，煎一面需要3分钟，两面都要煎。煎6块饼最少需要( )分钟。 【答案】18 【分析】烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间，据此代入数据计算即可解答。 【详解】6×2÷2×3 ＝12÷2×3 ＝6×3 ＝18（分钟） 所以煎6块饼最少需要18分钟。 【对应练习3】 用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙3分钟。烙10张饼至少要( )分钟。 【答案】30 【分析】每次最多只能烙2张饼，一共要烙10张饼，那么只需要两张两张分别烙熟即可。可以先算出烙2张饼需要的时间，再乘5即可解答。 【详解】先烙2张饼，烙两面需要：3×2＝6（分钟） 10÷2＝5（个），即一共需要烙5个2张。 6×5＝30（分钟） 故用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙3分钟。烙10张饼至少要30分钟。 【考点三】田忌赛马问题。 【方法点拨】 1. 解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。 2. 在与对方进行比赛时，要详细地分析自己与对方的情况，反复研究各种策略，在所有可能采取的策略中，选择一个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势，最终取得胜利。 3. 寻找策略的方法。 （1）解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。 （2）在与对方进行比赛时： ①要知己知彼，详细地分析双方的情况。 ②想到所有可能的对策。 ③选择一个利多弊少的最优策略。 【典型例题】 田忌赛马的故事中，田忌是如何赢齐王的，请在下表中设计一下当时的比赛情况： 齐王 田忌 胜方 1 上等马 ( ) ( ) 2 中等马 ( ) ( ) 3 下等马 ( ) ( ) 解析：下等马；齐王；上等马；田忌；中等马；田忌 【对应练习1】 一次，齐王与大将田忌赛马，每人有四匹马，分为四等，田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。那么田忌有（ ）种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。 解析： 用四位数来表示田忌的出场顺序，可以枚举出所有方法有： 1423、2143、2413、3124、3142、3412、3421、4123、4132、4213、4312、4321。 所以田忌一共有12种方法安排自己的马的出场顺序。 【对应练习2】 齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下三等马，田忌每种等级的马都比齐王的马差一些，田忌要想赢齐王，他的中等马需要和齐王的什么马进行比赛？ 齐王 田忌 本场胜者 第一场 第二场 第三场 解析： 可以这样安排： 齐王 田忌 本场胜者 第一场 上等马 下等马 齐王 第二场 中等马 上等马 田忌 第三场 下等马 中等马 田忌 这样田忌以两胜一负获胜。 答：他的中等马需要和齐王的下等马进行比赛。 【对应练习3】 同学们，你听过“田忌赛马”的故事吗？田忌是怎样赢得齐王的？ 齐王 田忌 本场胜负 第一场 下等马 第一场 中等马 第一场 下等马 （1）田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？ （2）我们来看看田忌共有多少种可采用的应对策略？ 解析： （1）填表如下： 齐王 田忌 本场胜负 第一场 上等马 下等马 齐王 第一场 中等马 上等马 田忌 第一场 下等马 中等马 田忌 答：田忌所用的这种策略是唯一能赢齐王的方法。 （2）如表所示： 第一场 第二场 第三场 获胜者 齐王 上等马 中等马 下等马 田忌1 上等马 中等马 下等马 齐王 田忌2 上等马 下等马 中等马 齐王 田忌3 中等马 上等马 下等马 齐王 田忌4 中等马 下等马 上等马 齐王 田忌5 下等马 上等马 中等马 田忌 田忌6 下等马 中等马 上等马 齐王 答：由上表可知，田忌共有6种可采用的应对策略，但只有一种方法能赢齐王。 【考点四】租船租车问题。 【方法点拨】 租船问题的关键是确定尽量租大船，少租小船，而且保证没有空位时最省钱。 【典型例题】 某实验小学组织四年级学生进行研学旅行，参加活动的老师有10人，学生有226人。怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】租6辆大车最省钱，最少需要4800元 【分析】先根据“单价＝总价÷数量”分别计算出租大车和小车时每人需要的钱，要使租车最省钱，则应尽量租最便宜的一种车型，并且使每辆车都尽量坐满没有空位。800÷40＝20（元），450÷15＝30（元），20＜30，所以尽量租大车。由此根据总人数及两种车的限坐人数，通过调整使之满座或空座数最少，然后进行分析计算即可。一共需要的租金＝租大车的辆数×每辆大车的租金，依此计算并解答。 【详解】800÷40＝20（元） 450÷15＝30（元） 20＜30，所以尽量租大车。 226＋10＝236（人） 236÷40＝5（辆）……36（人） 36÷18＝2（辆） 租5辆大车和2辆小车： 800×5＋450×2 ＝4000＋900 ＝4900（元） 租6辆大车： （5＋1）×800 ＝6×800 ＝4800（元） 4800＜4900 答：租6辆大车最省钱，最少需要4800元。 【对应练习1】 某校举办图书捐赠仪式，共捐赠了160套图书，需要把这些图书寄送到山区学校，快递站给出了如图两种收费标准（数量不足20本或30本的也按整包收费）。寄送这些图书最少要花多少钱？ 【答案】280元 【分析】先算出哪种包装便宜，然后尽量凑足整包这样便宜；据此解答即可。 【详解】40÷20＝2（元） 50÷30＝1（元）……20（元） 1＜2，所以尽量选择每包30本的包装； 4×30＋2×20 ＝120＋40 ＝160（本） 所以20本包装的包2包，30本包装的包4包； 50×4＋40×2 ＝200＋80 ＝280（元） 答：寄送这些图书最少要花280元钱。 【对应练习2】 四年级师生共290人，租车去参观博物馆。大、小客车出租价格如下： 车型 限乘人数 每辆车租金/元 大客车 45人 780 小客车 35人 650 怎样租车最省钱，租金是多少元？ 【答案】租5辆大客车，2辆小客车最省钱；5200元 【分析】先分别计算出大客车、小客车平均每人的钱数，然后进行比较，看哪种车便宜，在设计方案时尽量租便宜的车，而且不留空位时费用最低；因此用总人数除以最便宜的一种车型可坐的人数，再根据计算出的结果进行解答。 【详解】780÷45＝17（元）……15（元） 650÷35＝18（元）……20（元） 17＜18，所以租大客车省钱，尽量租用大客车，并且最好不要有空座位； 290÷45＝6（辆）……20（人） 6＋1＝7（辆） 方案一：租7辆大客车，共需要： 780×7＝5460（元） 方案二：租6辆大客车和1辆小客车，共需要： 780×6＋650 ＝4680＋650 ＝5330（元） 290－45×5 ＝290－225 ＝65（人） 65÷35＝1（辆）……30（人） 方案三：租5辆大客车和2辆小客车，共需要： 780×5＋650×2 ＝3900＋1300 ＝5200（元） 5200＜5330＜5460 租5辆大客车，2辆小客车最省钱 答：租5辆大客车，2辆小客车最省钱，租金是5200元。 【对应练习3】 实验小学有10位老师带着150名学生去春游，现在有大、小两种车可以选择，信息如下： 大车 小车 限乘客50人 租车费为800元/辆 限乘客30人 租车费为540元/辆 怎样租车最省钱？租车最少要花多少钱？ 【答案】2辆大车和2辆小车；2680元 【分析】每辆大车乘坐人数乘租的辆数，可以算出大车乘坐多少人；每辆小车乘坐人数乘租的辆数，可以算出小车乘坐多少人；大车乘坐人数加上小车乘坐人数，即可算出一共乘坐多少人。每辆大车租金乘租的辆数，可以算出租大车需要多少钱；每辆小车租金乘租的辆数，可以算出租小车需要多少钱；大车租金加上小车租金，即可算出一共需要多少钱。据此列表算出各种租车方案需要的钱数，再选择最省钱的租车方案。 【详解】10＋150＝160（人） 大车/辆 小车/辆 乘坐人数/人 租金/元 4 0 50×4＝200 800×4＝3200 3 1 50×3＋30 ＝150＋30 ＝180 800×3＋540 ＝2400＋540 ＝2940 2 2 50×2＋30×2 ＝100＋60 ＝160 800×2＋540×2 ＝1600＋1080 ＝2680 1 4 50＋30×4 ＝50＋120 ＝170 800＋540×4 ＝800＋2160 ＝2960 0 6 30×6＝180 540×6＝3240 2680＜2940＜2960＜3200＜3240 答：租2辆大车和2辆小车最省钱，租车最少要花2680元。 【考点五】购票问题（方案优化问题）。 【方法点拨】 最优方案的选择需要通过计算后，进行比较才能得出结果。 【典型例题】 国庆节期间张成跟一旅游团到动物园游玩，团里共有32人，其中成人12人。动物园的门票价格如下： （1）成人40元/人，儿童20元/人。 （2）团体票20人以上（包括20人），25元/人 请你帮张成算一算，怎样买票合算？ 【答案】12名成人和8名儿童购买团体票，12名儿童购买儿童票最合算；740元 【分析】32－12＝20（人），则成人有12人，儿童有20人。 方案一：12名成人购买成人门票，20名儿童购买儿童门票，则需要花费的钱数为12×40＋20×20元。 方案二：32人全部购买团体票，则需要花费的钱数为32×25元。 方案三：12名成人和8名儿童购买团体票，12名儿童购买儿童门票，则需要花费的钱数为20×25＋12×20元。 分别算出三个方案花费的钱数，再比较大小，花费钱数少的方案即为购票最划算的方案。 【详解】32－12＝20（人），则成人有12人，儿童有20人。 方案一：12×40＋20×20 ＝480＋400 ＝880（元） 方案二：32×25＝800（元） 方案三：12名成人和8名儿童购买团体票，12名儿童购买儿童门票。 20×25＋12×20 ＝500＋240 ＝740（元） 740＜800＜880，则方案三花费的钱数最少。即12名成人和8名儿童购买团体票，12名儿童购买儿童门票最合算。 答：12名成人和8名儿童购买团体票，12名儿童购买儿童门票最合算。一共需要花费740元。 【对应练习1】 某旅行社推出“泰山两日游”方案，6个成人和3名儿童去游玩，选哪一种方案最合算？ 【答案】6个成人和1名儿童购买团体票，剩下的儿童购买儿童票最合算 【分析】根据题意可知，一共有三种购票方案，方案一：买6张成人票和3张儿童票，分别求出需要的钱数，然后相加即可； 方案二：都购买团体票，就是购买（6＋3）张团体票，用张数乘票价求出需要的钱数； 方案三：6个成人和1名儿童购买团体票，剩下的3－1＝2（名）儿童购买儿童票，分别求出需要的钱数再相加； 然后比较三个方案，找出需要花费钱数最少的即可。 【详解】方案一：成人购买成人票，儿童购买儿童票，需要： 140×6＋80×3 ＝840＋240 ＝1080（元） 方案二：全部购买团体票，需要： （6＋3）×110 ＝9×110 ＝990（元） 方案三：6个成人和1名儿童购买团体票，剩下的儿童购买儿童票，需要： 110×（6＋1）＋80×（3－1） ＝110×7＋80×2 ＝770＋160 ＝930（元） 930＜990＜1080 答：6个成人和1名儿童购买团体票，剩下的儿童购买儿童票最合算。 【对应练习2】 光明小学15名老师带领85名学生去参观科技展，选哪种方案买票最省钱？需要多少元？ 【答案】方案一；1875元 【分析】根据题意，分别算出两种方案的钱数。 方案一：用老师的人数乘成人票的价钱，求出老师购票的钱数，再用学生的人数乘儿童票的价钱，求出学生购票的钱数，再将两个钱数相加即可求出总钱数； 方案二：先将老师人数和学生人数相加，求出总人数，再用总人数乘团体票每人的价钱，即可求出总钱数。 【详解】方案一：15×40＋85×15 ＝600＋1275 ＝1875（元） 方案二：85＞30 （15＋85）×20 ＝100×20 ＝2000（元） 1875＜2000 答：选方案一买票最省钱，需要1875元。 【对应练习3】 野生动物园门票的价格如下图。 野生动物园欢迎您！ 成人票：155元 儿童、老人票：80元 团体票：125元（5人及以上） （1）星期六，爸爸妈妈和上一年级的女儿果果一起去野生动物园游玩。爸爸带了400元，够买一家三口的门票吗？ （2）欢欢一家和硕硕一家也一起到野生动物园游玩。他们买门票最少花多少元？ 【答案】（1）够 （2）785元 【分析】（1）根据题意，爸爸妈妈是成人，果果是儿童，所以用成人票的价格乘2，再加上儿童票的价格，即可求出他们一家三口的门票钱，再与400元比较大小即可。 （2）欢欢一家和硕硕一家有成人4人，儿童2人，老人1人。第一种，成人和儿童、老人票分开购票，可分别算出他们各自需要多少钱，再用加法计算出一共需要多少钱。第二种，成人和儿童、老人票一起购买团体票，每人125元，直接用125乘上总人数即可计算出一共需要多少钱。第三种，因为儿童、老人票和团体票都比成人票便宜，可以考虑让1个老人和4个成人凑一起（凑够5人）买团体票，而剩下的儿童单独买儿童票，最后把他们的钱数加起来。 【详解】（1）155×2＋80 ＝310＋80 ＝390（元） 390＜400 答：爸爸带了400元，够买一家三口的门票。 （2）①成人和儿童、老人票分开购票； 155×4＋80×2＋80 ＝620＋160＋80 ＝780＋80 ＝860（元） ②购买团体票：125×（4＋2＋1） ＝125×7 ＝875（元） ③交叉买票：可以让成人4人和1位老人买团体票，剩下2名儿童购买儿童票： 125×（4＋1）＋80×2 ＝125×5＋80×2 ＝625＋160 ＝785（元） 785＜860＜875 答：最少花785元。 【考点六】排队问题。 【方法点拨】 注意计算每个人的排队等候时间，再进行叠加。 【典型例题】 5位同学排队购票，小军排第一，他购票用了2分钟，这时他后面的同学一共等了( )分钟。 解析： 排在第二位的同学等待了2分钟。第三位的同学等待了2×2＝4（分钟）。第四位的同学等待了2×3＝6（分钟）。第五位的同学等待了2×4＝8（分钟）。一共等待了（2＋4＋6＋8）分钟。 由分析得： 一共等了：2＋4＋6＋8 ＝6＋14 ＝20（分钟） 【对应练习1】 小铭、小帅和小杰三位同学排队打午饭，小铭打饭用了3分钟，这时小帅和小杰各等候了( )分钟，这时他们两人一共等候了( )分钟。 解析： 小铭、小帅和小杰三位同学排队打午饭，小铭打饭用了3分钟，这时小帅和小杰各等候了3分钟，他们两人一共等候了6分钟。 【对应练习2】 3人排队复印材料，已知甲复印要7分钟，乙要13分钟，丙要6分钟。若要3人等待的总时间最短，则三人复印的先后顺序是( )。 解析： 要使等候的时间最少，需要让用时最少的先复印，因为6＜7＜13，所以按丙→甲→乙的顺序复印使等侯的时间和最少； 【对应练习3】 东东、晶晶、红红三位同学要去量身高、验视力，每项检查都要2分，他们至少要用( )分钟能做完这些检查。 解析： 东东量身高的同时晶晶验视力，然后东东验视力的同时红红量身高，最后晶晶量身高的同时红红验视力，这样用时为2×3＝6（分钟）。 【考点七】必胜的策略。 【方法点拨】 注意分析条件，假设结果再进行判断。 【典型例题】 一堆棋子共有14颗，两人轮流从中拿走1颗或者2颗，谁拿到最后一颗谁就获胜。如果你想获胜，( )拿（填“先”或者“后”），拿( )颗。 解析： 我如果想获胜，则应让对方拿走第12颗，因此剩下的2颗应由我先拿走，剩下的12颗，当对方拿1颗时，我拿2颗；当对方拿2颗时，我拿1颗。 根据分析可知：如果我想获胜，我应先拿2颗。 【对应练习1】 小亮有10、7、4三张扑克牌，小明有6、8、3三张扑克牌，规定每人每次出一张，大牌吃小牌。如果小亮先出，小明获胜的策略是10—( )，7—( )，4—( )。 解析： 小亮有10、7、4三张扑克牌，小明有6、8、3三张扑克牌，规定每人每次出一张，大牌吃小牌。如果小亮先出，小明获胜的策略是10—3，7—8，4—6。 【对应练习2】 四年级学生举行100米跑PK 赛，每班选手成绩如表。一班选手的比赛顺序是甲→乙→丙。如果比赛采取三场两胜制，二班若想获胜，应采取的比赛顺序是（ ）。 一班 甲：15秒 乙：19秒 丙：21秒 二班 A：16秒 B：20秒 C：23秒 解析： C→A→B 【对应练习3】 聪聪和明明用扑克牌的点数比大小，采用三局两胜制。聪聪按8、6、4的顺序先出牌，明明想要获胜，应该按照( )的顺序出牌。 解析：3、7、5 【对应练习4】 甲乙两人轮流报数，每次只能报1或3，把两人报的所有的数加起来，谁报数后和是31，谁就获胜，若甲先报，则甲第一次报( )可确保获胜。 解析： 31÷（1＋3） ＝31÷4 ＝7……3 余数是3，先报数的甲第一次一定要报3，和还剩31－3＝28，即28可被4整除，最后一次甲报数后和是31，所以只要这样做甲一定会赢。 若甲先报，则甲第一次报3可确保获胜。 【考点八】过河问题。 【方法点拨】 让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河，然后再骑用时最少的回来，然后再过河。 【典型例题】 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？ 解析： 先骑甲马把乙马赶过河，再骑甲马回，需3＋2＝5分钟；再骑丙马赶丁马过河，骑乙马回，需7＋3＝10分钟；再骑甲马赶乙马过河不回，需3分钟。 3＋2＋7＋3＋3 ＝5＋7＋3＋3 ＝12＋3＋3 ＝15＋3 ＝18（分钟） 答：最少需要的时间是18分钟。 【对应练习1】 小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河要2分钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要多少分钟？ 解析： 骑乙赶丙，骑乙回：3＋2＝5（分钟），再乙骑赶丁，骑乙回：8＋2＝10分钟；再骑乙赶甲过河不回，需7分钟。 最少需要的时间是： 3＋2＋8＋2＋7＝22（分钟） 答：最少需要22分钟。 【对应练习2】 小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙牛过河要2分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛过河要5分钟，己牛过河要6分钟。每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？ 解析： 因为6头牛过河，每次只能赶3头牛，所以需要三次； 骑甲赶戊和己，再骑甲回，需6＋1＝7分钟； 再骑甲赶丙和丁，再骑甲回，需4＋1＝5分钟； 最后骑甲赶乙需2分钟； 把以上时间加起来即可得把6头牛都赶到对岸去的最少时间。 6＋1＋4＋1＋2 ＝7＋4＋1＋2 ＝11＋1＋2 ＝12＋2 ＝14（分钟） 答：要把6头牛都赶到对岸去，最少要14分钟。 【对应练习3】 小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 解析： 要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短： 第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：（分钟）； 第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了（分钟）； 第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟； 所以，小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用（分钟）。 答：最小要用13分钟。 【考点九】打电话问题。 【方法点拨】 打电话的规律总结。 1.每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的2倍。 2.根据总结发现，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看；第1分钟，共有2人，2=21；第2分钟，共有4人，4=22；第3分钟，共有8人，8=23；第4分钟，共有16人，16=24；第5分钟，共有32人，32=25；第6分钟，共有64人，64=26；第7分钟，共有128人，128=27…由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n-1）人。 【典型例题】 即将开学，老师给学生打紧急电话通知核酸检测，假设1分钟可以完成1次通话，并要求学生尽快相互转达（老师同时也在打，且无重复通知）在6分钟内，最多能通知( )人。 解析： 2×2×2×2×2×2－1 ＝64－1 ＝63（人） 【对应练习1】 有一种细胞，每2分钟分裂一次，每个细胞变成2个细胞。现在有1个这种细胞，经过10分钟，一共分裂成了( )个细胞。 解析： 这些细胞共分裂的次数是：10÷2＝5（次） 2×2×2×2×2＝32（个） 【对应练习2】 一名教练员通知两个同学参加比赛，用了1分钟，依次类推，每个同学再次通知两个同学也用1分钟……6分钟共通知( )名同学。 解析： 2＋4＋8＋16＋32＋64＝126（名） 【对应练习3】 徐老师需要在最短的时间内向全班同学发出紧急通知，如果打电话通知1个人需要1分钟，按打电话的最优策略，4分钟后最多有( )位学生接到通知。 解析： 如果打电话通知1个人需要1分钟，按打电话的最优策略，4分钟后最多有15位学生接到通知。 【考点十】货物运输问题。 【方法点拨】 列出可能的方案，最好再进行比较得出最优解。 【典型例题】 有18吨货物，用两辆载质量为6吨和4吨的车来运，如果每辆车都装满，怎样安排能恰好运完？ 方案 载质量6吨的车 载质量4吨的车 运货吨数 ① 3次 ② ③ ④ （1）将表格填写完整。 （2）方案 能恰好运完18吨货物。 【答案】（1）见解答 （2）①和③ 【分析】（1）因为18÷6＝3（次），所以载质量为6吨的车最多运的次数不能超过3次，然后载质量为6吨的车每次减少1次，然后增加载质量4吨的车的次数，计算出这些车辆可以运货的总吨数即可； （2）根据表格找出能恰好运完18吨货物的方案即可。 【详解】（1）表格填写如下： 方案 载质量6吨的车 载质量4吨的车 运货吨数 ① 3次 0次 18 ② 2次 2次 20 ③ 1次 3次 18 ④ 0次 5次 20 （2）方案①和③能恰好运完18吨货物。 【对应练习1】 下面两辆车可以用来运煤。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完36吨煤？（试着列表说明） 【答案】可以用载重量为8吨的车运3次，载重量为6吨的车运2次；或者可以用载重量为6吨的车运6次 【分析】根据每种车的载重量和总吨数，利用列举法找到符合题意的运煤方案。 【详解】列表如下： 方案 载质量8吨车（次） 载质量6吨车（次） 运煤吨数（吨） 方案一 5 0 40 方案二 4 1 38 方案三 3 2 36 方案四 2 4 40 方案五 1 5 38 方案六 0 6 36 通过上面表格可知，只有方案三和方案六符合题意； 答：可以用载重量为8吨的车运3次，载重量为6吨的车运2次；或者可以用载重量为6吨的车运6次，可以恰好运完36吨煤。 【对应练习2】 如图两辆车运煤，如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完15吨煤？ 方案 4吨 3吨 运煤吨数 正确方案打“√” ① 4次 （    ）次 （    ）吨 ② 3次 （    ）次 （    ）吨 ③ （    ）次 （    ）次 （    ）吨 ④ （    ）次 （    ）次 （    ）吨 ⑤ （    ）次 （    ）次 （    ）吨 【答案】见解答 【分析】方案①：一辆大货车1次运4吨，4乘4可以求出4次运16吨。 方案②：4乘3求出大货车3次运12吨，再用15减12的差是3吨，此时还有3吨，而小火车1次正好可以运3吨。 方案③：在方案②的基础上大货车运的次数减少1次，即大货车运2次，4乘2可以求出2次共运8吨，15减8求出还剩下7吨，这7吨安排小货车运，7除以3求出运2次还剩1吨，即运完7吨需要小货车运3次，最后计算大货车运2次与小货车运3次运输的总质量，3乘3再加8即可求出运输的总质量。 方案④：大货车减少为运输1次，15减4得11，剩下的11吨安排小货车运输，11除以3商是3余数是2，即需要小货车运4次，再计算小货车运4次的总质量，把这个总质量与大货车1次运的4吨相加即可。 方案⑤：全部用小货车运，15除以3，得到的商是5，即需要小货车运5次，正好运15吨。 【详解】方案①：4×4＝16（吨） 方案②：4×3＝12（吨） 15－12＝3（吨） 3÷3＝1（次） 方案③：4×2＝8（吨） 15－8＝7（吨） 7÷3＝2（次）……1（吨） 2＋1＝3（次） 3×3＋8 ＝9＋8 ＝17（吨） 方案④：15－4＝11（吨） 11÷3＝3（次）……2（吨） 3＋1＝4（次） 4×3＋4 ＝12＋4 ＝16（吨） 方案⑥：15÷3＝5（次） 方案 4吨 3吨 运煤吨数 正确方案打“√” ① 4次 0次 16吨 ② 3次 1次 15吨 √ ③ 2次 3次 17吨 ④ 1次 4次 16吨 ⑤ 0次 5次 15吨 √ 答：4吨的车运3次、3吨的车运1次，或3吨的车运5次，恰好运完15吨煤。 【对应练习3】 下面两辆车可以用来运煤。如果每次运煤的车都装满，怎样安排能恰好运完26吨煤？请把你的正确方案写出来。 【答案】3吨车运2次，5吨车运4次或3吨车运7次，5吨车运1次 【分析】由题意得，有两种车，小货车每次可以运3吨，大货车每次可以运5吨。要想恰好运完26吨煤，可以用列表法列出所以可能的方案，然后算出其能运的煤的吨数，据此找出满足条件的方案即可。 【详解】 序号 3吨车运的次数 5吨车运的次数 可以运的煤的吨数 能否刚好运完26吨煤 1 0 6 30 × 2 1 5 28 × 3 2 4 26 √ 4 3 4 29 × 5 4 3 27 × 6 5 2 25 × 7 6 2 28 × 8 7 1 26 √ 9 8 1 29 × 10 9 0 27 × 答：3吨车运2次，5吨车运4次或3吨车运7次，5吨车运1次可以恰好运完26吨煤。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$