专题拓展：数列求和及其应用（8大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

专题拓展：数列求和及其应用 一、几种数列求和的常用方法 1、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 3、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 4、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 二、公式法求和常用公式 公式法主要适用于等差数列与等比数列. 1、等差数列的前n项和 2、等比数列的前n项和 3、一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 三、裂项相消法中常见的裂项技巧 1、等差型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2、根式型裂项 （1） （2） （3） （4） 3、指数型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4、对数型裂项 四、错位相减法求和步骤 形如， 其中为等差数列，首项为，公差为；为等比数列，首项为，公比为. 对数列进行求和，首先列出，记为①式； 再把①式中所有项同乘等比数列的公比，即得，记为②式； 然后①②两式错开一位作差，从而得到的前项和。 注：等差数列的通项常见形式为 (其中A、B为常数)， 等比数列通项常见的形式为 (其中A、m为常数) 题型一 加减型分组求和 【例1】（24-25高二上·福建宁德·月考）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 .故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为等差数列，首项，公差，． (1)证明是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为数列为等差数列，首项，公差，所以， 当时，，且， 所以数列是以3为首项，以9为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 所以 . 【变式1-2】（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为为数列的前项和，且， 当时，则有，解得； 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此，. （2）因为， 所以， . 【变式1-3】（23-24高二上·甘肃·期中）已知是递增的等比数列，，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，又，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）记数列的公比为， 由题知，即，解得或， 又是递增的等比数列，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）当时，，得 当时，，整理得， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，得， 又，所以， 所以 题型二 奇偶项型分组求和 【例2】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 【答案】A 【解析】若为奇数，则是偶数，是奇数， 则 ， ① ， ② ①②得：， 所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列； 所以 .故选:A. 【变式2-1】（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. （2）由（1）得， 所以 . 【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 故， . 【变式2-3】（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为①，时，②， ①-②整理得， 数列是正项数列，， 当时，， ，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ； （2）由题意知，设的前项中奇数项的和为，偶数项的和为， ， ， . 题型三 并项法数列求和 【例3】（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【解析】因为， 所以，故选：C. 【变式3-1】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知数列满足，，则该数列的前22项和为（    ） A．69 B．88 C．89 D．96 【答案】C 【解析】当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 故选：C 【变式3-2】（24-25高二上·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【答案】(1)；(2)5150. 【解析】（1）设的首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 由恒成立，得， 又，而，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 所以. 【变式3-3】（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 题型四 逆序相加法求和 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【解析】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以．故选：C. 【变式4-1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则 ， 故，故选：B. 【变式4-2】（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 【答案】D 【解析】由， 得, , , 又， 所以， 所以.故选：D. 【变式4-3】（23-24高二下·江苏建湖·月考）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 . 【答案】11 【解析】因， 设， 则，故. 故答案为：11 题型五 裂项相消法求和 【例5】（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【答案】 【解析】当时，，即. ① 当时，② ①②得， 所以. 当时，也适合， 综上，. ， . 故答案为： 【变式5-1】（24-25高二上·吉林·月考）已知数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前2024项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设数列的公比为，则. 因为是和的等差中项，所以， 即，解得或（舍去）或（舍去） 所以. （2）由（1）知 ， . ， 故的前2024项和. 【变式5-2】（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 【变式5-3】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知数列中，，数列是等比数列，且公比. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，， 所以等比数列的首项为，公比为3， 故， 所以； （2）由（1）得， 故 . 题型六 错位相减法求和 【例6】（24-25高二上·福建·期中）设数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意有， 所以，，，. 累加这个式子得，， 又，所以显然满足上式，所以. （2）由（1）知，所以， ， 两式相减得：， 所以， 整理得. 【变式6-1】（24-25高三上·山东滨州·月考）已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列的通项公式为. （2）由（1），得， ∴数列的前项和 ∴   ∴ 所以 【变式6-2】（23-24高二上·甘肃威武·期中）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由，得，即， 又，有， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则有， ， ， ①-②得 ， ，即. 【变式6-3】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列的前项和为，且（）．数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，， 当时，， 因为也适合该式， 所以； （2）已知数列的前项和为，且（）． 数列满足， 因为，所以， 由得，所以是以为首项公比的等比数列， 所以， 可得， ， ， 两式相减可得， ， 所以. 题型七 数列与不等式综合 【例7】（23-24高二下·山西·期中）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题可得，则，…，，， 将这项相加，可得， 所以，经检验成立，所以. （2）由题可得，，当时，， 又因为当时，， 所以. 【变式7-1】（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 【变式7-2】（23-24高二下·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时，，也满足. 法二：可得，所以数列是常数列， . （2），， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 【变式7-3】（24-25高二上·河南信阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 （2），故， 由可得，化简可得， 因此， 记， 则， 当时，，故，而， 当时，， ，故， 故为数列的最小项，故， 故的最大值为 题型八 数列新定义问题 【例8】（23-24高二下·海南·期中）（多选）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对.故选：ABD. 【变式8-1】（23-24高二下·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 【答案】(1)34；(2) 【解析】（1）由题意可得时，， 故； （2）当时，代入公式可得， 且， 故当时， 时，，代入上式也成立. 综上，. 【变式8-2】（24-25高三上·广东·月考）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1)2和5为两个质数“理想数”；(2)的值为12或18；(3)证明见解析 【解析】（1）以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； （2）由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． （3）显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 【变式8-3】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”． 【答案】(1)数列是“凹数列”，理由见解析；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）因为，则， 又，故，即，数列是“凹数列”． （2）因为等差数列的公差为， 所以， 因为数列是凹数列， 所以对任意恒成立， 即 所以，即， 因为，解得． 所以的取值范围为． （3）先证明必要性： 因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，当时，有 ， 所以， 又， 所以．必要性成立， 再证明充分性： 对于任意的，当时，有， 取，则有， 即，所以为“凹数列”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题拓展：数列求和及其应用 一、几种数列求和的常用方法 1、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 3、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 4、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 二、公式法求和常用公式 公式法主要适用于等差数列与等比数列. 1、等差数列的前n项和 2、等比数列的前n项和 3、一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 三、裂项相消法中常见的裂项技巧 1、等差型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2、根式型裂项 （1） （2） （3） （4） 3、指数型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4、对数型裂项 四、错位相减法求和步骤 形如， 其中为等差数列，首项为，公差为；为等比数列，首项为，公比为. 对数列进行求和，首先列出，记为①式； 再把①式中所有项同乘等比数列的公比，即得，记为②式； 然后①②两式错开一位作差，从而得到的前项和。 注：等差数列的通项常见形式为 (其中A、B为常数)， 等比数列通项常见的形式为 (其中A、m为常数) 题型一 加减型分组求和 【例1】（24-25高二上·福建宁德·月考）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为等差数列，首项，公差，． (1)证明是等比数列； (2)求数列的前项和． 【变式1-2】（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式1-3】（23-24高二上·甘肃·期中）已知是递增的等比数列，，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，又，求数列的前项和. 题型二 奇偶项型分组求和 【例2】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 【变式2-1】（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【变式2-3】（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 题型三 并项法数列求和 【例3】（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【变式3-1】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知数列满足，，则该数列的前22项和为（    ） A．69 B．88 C．89 D．96 【变式3-2】（24-25高二上·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【变式3-3】（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 题型四 逆序相加法求和 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【变式4-1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 【变式4-3】（23-24高二下·江苏建湖·月考）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 . 题型五 裂项相消法求和 【例5】（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【变式5-1】（24-25高二上·吉林·月考）已知数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前2024项和. 【变式5-2】（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【变式5-3】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知数列中，，数列是等比数列，且公比. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求. 题型六 错位相减法求和 【例6】（24-25高二上·福建·期中）设数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式6-1】（24-25高三上·山东滨州·月考）已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-2】（23-24高二上·甘肃威武·期中）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 【变式6-3】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列的前项和为，且（）．数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型七 数列与不等式综合 【例7】（23-24高二下·山西·期中）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【变式7-1】（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【变式7-2】（23-24高二下·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【变式7-3】（24-25高二上·河南信阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 题型八 数列新定义问题 【例8】（23-24高二下·海南·期中）（多选）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 【变式8-2】（24-25高三上·广东·月考）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【变式8-3】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $