九年级数学期末模拟卷（广西专用，人教版九上全部）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期末模拟考试

2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部。 5．难度系数：0.76。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是中心对称图形，故不符合题意； D．是中心对称图形，故符合题意， 故选：D． 2．若一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴点A在外， 故选：． 4．把抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据抛物线平移的规律：左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标）， 把抛物线向右平移3个单位长度可得， 再再向下平移5个单位长度可得． 故选：． 5．下列说法中，正确的是（   ） A．“打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B．“若a，b互为相反数，则”，这一事件是随机事件 C．“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是7”，这一事件是不可能事件 D．“泉州明天降雨的概率是”意思是泉州明天有的时间在降雨 【答案】C 【详解】A、“打开电视，正在播放电视剧”是随机事件，所以选项A错误，不符合题意； B、“若a，b互为相反数，则”，这一事件是必然事件，所以选项B错误，不符合题意； C、“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不可能是7”，所以选项C正确，符合题意； D、“泉州明天降雨的概率是”，并不意味着泉州明天有的时间在降雨，所以选项D错误，不符合题意． 故选：C． 6．如图，是的直径，若，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图，连结， ， ， ， ， 故选：C． 7．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的对称轴直线为，开口向上． ∴关于对称轴直线的对称点为：， 关于对称轴直线的对称点为：， ∵， ∴， 故选：B. 8．如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设圆锥的母线长为， ∵ ∴ ∴ 解得： 故选：C． 9．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 10．如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有： 闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合四个的情况有：，，，， 故这些开关随机闭合至少两个共11种， 其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种， 将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 11．如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论： 嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为 下列论正确的是（    ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 【答案】B 【详解】解：令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q， ∵点P是中点， ∴，， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴，故嘉嘉对； ∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴， ∴扫过的面积，故琪琪错； 故选：B． 12．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；， 抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵时，取得最大值， ∴对于任意实数t，； 即，故④正确； 故答案为：①③④共3个， 故选：D． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 13．已知点和在二次函数图像上，则 0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着轴的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为： 14．随机掷三枚均匀的硬币一次，至少一次正面都朝上的概率是 ． 【答案】0.875/ 【详解】解：根据题意，共有（正，正，正），（反，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（反，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反）8种情况， 至少一次正面都朝上的情况有（正，正，正），（反，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反）7种情况， 故至少一次正面都朝上的概率是． 故答案为：． 15．若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】1 【详解】解：由点与点关于原点对称，得， 故． 故答案为：1． 16．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于方程即有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 17．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ） 【答案】 / 【详解】解：如图，作轴于点C， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， …， ∵，，，，…， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴顶点的纵坐标是， ∴顶点的坐标是． 故答案为：，． 18．如图，在中，，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于， 由旋转知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点， ∴当（点和点重合）时，最小，最小，最小值为， 在中，，， ∴， ∵， ∴−， 在中，， ∴， 故线段长度的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（1）计算：； （2）解方程： 【详解】解：（1） ；·······················3分 （2） ∴ 即 解得： ······················6分 20．（本题6分）已知二次函数． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)在（1）条件下，当时，求y的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 抛物线解析式为， ∴， ∴函数图象的顶点坐标为．······························3 分 （2）解：由（1）得函数解析式为， ∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，且当时，取得最大值，最大值为7， 当时，， 当时，， ∴．·························· 6 分 21．（本题10分）三角形的位置如图所示： (1)画出将三角形先向左平移4个单位，再向上平移2个单位后所得到的三角形； (2)写出点、、的坐标； (3)线段绕点C旋转90度，点A到达位置的坐标为 ． (4)求出三角形的面积． 【详解】（1）解：如图所示：三角形， ··············3分 （2）解：由（1）得······················5分 （3）解：如图所示： ∴ ···················· 7 分 （4）解：设三角形的面积为， 则， 答：三角形的面积为8．··················10 分 22．（本题10分）在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾，电池为有害垃圾．为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上字母J（代表金属）、Z（代表纸板）、G（代表果皮）、D（代表电池），把四张小卡片装入一个不透明的袋子里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 【详解】（1）解：根据题意画树状图如下： ；·························4 分 （2）解：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的结果和有2种， 甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率．··············10 分 23．（本题10分）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则． (1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． (2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积 (3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积． 【详解】（1）解：如图2， ∵为正方形的中心角， ∴，， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴， 又∵， ∴， ∴．················3分 （2）如图3， ∵为正六边形的中心角， ∴，， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点 ∴，·····························4分 又∵， ∴， ∴． ∵四边形面积为， ∴正六边形的面积为．·························6分 （3）如图4， ∵为正多边形的中心角， ∴，，··························8分 ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正多边形的边分别交于点 ∴， 又∵， ∴，··························9分 ∴． ∵四边形面积为， ∴正多边形的面积为．················ 10分 24．（本题10分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 (1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ，·························1 分 解得：， 函数关系式为；·····················3 分 （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，．···························5 分 单价不低于成本价，且不高于50元销售， 不符合题意，舍去． 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；·····················6 分 （3）解：由题意得： ， 8 分 ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，，·······················10 分 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 25．（本题10分）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． (3)在（）的条件下，如图，若是线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，①求证：是的切线；②连接，如图，求的最小值． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形． 证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形；···················1分 （2）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴；···················· 3分 （3）①证明：∵为等腰直角三角形， ∴， 由旋转可得，， ∴， 即， ∵为的直径， ∴是的切线；·············6分 ②由旋转可得，， ∴，， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴，···················9分 当时，最短，此时点和圆心重合，即的最小值等于圆的半径， ∴的最小值为．·······················10 分 26．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于点，， ∴设抛物线的表达式为：， ∵ ∴， 则， 则抛物线的表达式为：；······················ 2 分 （2）解：如图1，由抛物线的表达式知， 其对称轴为直线， ∵ ∴ 则··························· 3分 作点关于抛物线对称轴的对称点， ∴ ∵点D是的中点 ∴ 作点关于轴的对称点， ∴··························· 4分 连接交轴于点交抛物线对称轴于点 则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小， 理由：∵点关于轴的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点 ∴，， 则，·······················5分 此时的长度满足点P走过的路径最短 设直线的表达式为 把，分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点，，··························· 6分 令，则， 则点，， ∵， ∴， 即点、坐标分别为：、， ∴最短路径长6.5；························· 7 分 （3）解：存在，理由： 依题意 ∴ 解得：（舍去）或3，··························· 8 分 则点， 设直线交于点， 由点、知， ∴， 而直线和轴正半轴的夹角为， ∴ 则， ，则， 则， 解得：（舍去）或1， 则点，························· 9分 设直线的表达式为 把点、分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 依题意，得 解得：（舍去）或7， 则点．···························· 10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 12 分） 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6 分） 21．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部。 5．难度系数：0.76。 第一部分（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗 产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程   2 22 3 4 0k x x k     的一个根为0，则 k的值为（ ） A．0 B．2 C．−2 D．2或−2 3．在Rt ABC△ 中， 90C  ， 5BC  ， 12AC  ，以点 B为圆心，12 为半径画圆，则点 A与 B 的位置关 系是（ ） A．点 A在 B 外 B．点 A在 B 上 C．点 A在 B 内 D．无法确定 4．把抛物线 22y x 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，得到的抛物线是（ ） A．  22 3 5y x   B．  22 3 5y x   C．  22 3 5y x   D．  22 3 5y x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．下列说法中，正确的是（ ） A．“打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B．“若 a，b互为相反数，则 0a b  ”，这一事件是随机事件 C．“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是 7”，这一事件是不可能事件 D．“泉州明天降雨的概率是60% ”意思是泉州明天有60% 的时间在降雨 6．如图， AB是 O 的直径，若  AC CD BD  ，连接BD，CD，则 BDC 的度数是（ ） A．100 B．110 C．120 D．130 7．若      1 2 34, , 3, , 1,M y N y P y  为二次函数  22y x k   的图象上的三点，则 1 2 3, ,y y y 的大小关系是（ ） A． 1 2 3y y y  B． 2 1 3y y y  C． 3 1 2y y y  D． 1 3 2y y y  8．如图，用一个圆心角为 的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π 的圆锥，则该扇形的圆心角为  为（ ） A．90 B．135 C．180 D．270 9．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈， 一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注： 1 丈 10 尺)如果设折断后的竹子高度为 x尺，根据题意，可列方程为（ ） A． 2 2 24 (10 )x x   B． 2 2 2(10 ) 4x x   C． 2 2 2(10 ) 4x x   D． 2(10 ) 4x x  10．如图，电路上有 1S ， 2S ， 3S ， 4S 四个断开的开关和一个正常的小灯泡 L，将这些开关随机闭合至少两 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 个，能让灯泡发光的概率为（ ） A． 3 5 B． 7 11 C． 4 5 D． 9 11 11．如图，已知AB所在圆的半径为 5，弦𝐴𝐵的长 8，点 P是AB中点，AB绕点 A逆时针旋转90后得到AB， 两位同学提出了相关结论： 嘉嘉： AP的长为 2 5 ；琪琪： AP扫过的面积为 5π 下列论正确的是（ ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 12．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线  2 0y ax bx c a    的顶点为  1,P k ，且经过点  3,0A  ，其部 分图象如图所示，下面四个结论中， ① 0abc  ；② 2b a  ；③若点  ,N t n 在此抛物线上且n c ，则 0t  或 2t   ；④对于任意实数 t，都有    2 1 1 0a t b t    成立． 正确的有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 第二部分（非选择题 共 84 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，满分 12 分） 13．已知点  11,A y 和  22,B y 在二次函数  2 0y ax a  图像上，则 1 2y y 0．（填“ ”、“ ”或“ ”） 14．随机掷三枚均匀的硬币一次，至少一次正面都朝上的概率是 ． 15．若点  , 3P x  与点  4,Q y 关于原点对称，则  2016x y  ． 16．如果关于 x的方程  2x x k  有两个相等的实数根，那么 k的值是 ． 17．如图，平面直角坐标系中， 1 1OAB 是边长为 2 的等边三角形，作 2 2 1B A B 与 1 1OAB 关于点 1B 成中心对 称，再作 2 3 3B A B 与 2 2 1B A B 关于点 2B 成中心对称，如此作下去，则 2 1 2 2nn nB A B﹣△ （n是正整数）的顶点 2nA 的 坐标是（ ， ） 18．如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 30B  ， 2 3AC  ，P是 BC边上一动点，连接 AP，把线段 AP 绕点 A逆时针旋转60到线段 AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题 6 分）（1）计算：  0 1 2 13 2 2 22      ； （2）解方程：  2 2 4x x x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 20．（本题 6 分）已知二次函数 2y x bx c    ． (1)当 4b  ， 3c  时，求该函数图象的顶点坐标． (2)在（1）条件下，当 1 3x   时，求 y的取值范围． 21．（本题 10 分）三角形 ABC的位置如图所示： (1)画出将三角形 ABC先向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的三角形 1 1 1A BC ； (2)写出点 1A、 1B 、 1C 的坐标； (3)线段 AC绕点 C旋转 90 度，点 A到达位置的坐标为 ． (4)求出三角形 1 1 1A BC 的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 22．（本题 10 分）在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾， 电池为有害垃圾．为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上 字母 J（代表金属）、Z（代表纸板）、G（代表果皮）、D（代表电池），把四张小卡片装入一个不透明的袋子 里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 23．（本题 10 分）【阅读理解】如图 1， BOC 为等边 ABC 的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个 角度  0 120     ， BOC 的两边与三角形的边 BC， AC分别交于点M ，N ．设等边 ABC 的面积为 S，通过证明可得 OBM OCN ≌ ，则 1 3OMC OCN OMC OBM OBCOMCN S S S S S S S         四边形 ． (1)【类比探究】如图 2， BOC 为正方形 ABCD的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个角度  0 90     ， BOC 的两边与正方形的边BC，CD分别交于点M ，N ．若正方形 ABCD的面积为S， 请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 (2)【拓展应用】如图 3， BOC 为正六边形 ABCDEF的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个角度  0 60     ， BOC 的两边与正六边形的边BC，CD分别交于点M ，N ．若四边形OMCN面积为 6 ， 请直接写出正六边形 ABCDEF的面积 (3)【猜想结论】如图 4， BOC 为正n边形 ABCDE ……的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个角度 360 0 n             ， BOC 的两边与正n边形的边BC，CD分别交于点M ，N ．若四边形OMCN面积 为S，请用含n、S的式子表示正n边形 ABCDE ……的面积． 24．（本题 10分）2020 年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销 售一批成本为每件 30 元的商品，按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，经调查发现，该商品每天的 销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价 x（元） 30 40 45 销售数量 y（件） 100 80 70 (1)求该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为 800 元？ (3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 25．（本题 10 分）如图，四边形 ABCD内接于 O ， AC为 O 的直径， ADB CDB   ． (1)试判断 ABC 的形状，并给出证明； (2)若 2AB  ， 1AD  ，求CD的长度． (3)在（2）的条件下，如图2，若 E是线段 AC上的动点，连接EB，将 BEC 绕点 B逆时针旋转得到 ABF△ ， ①求证： AF 是 O 的切线；②连接EF ，如图3，求EF 的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 26．（本题 10 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 4y ax bx   与 x轴交于点  4,0A ， 3 ,0 2 B      ，与 y 轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图 1，点 D是OC的中点，点 E为 x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点 P从点 D出发，沿D E F C   运动，若要使点 P走过的路径最短，请求出点 E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图 2，直线 y x 与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点 Q（点M除外），使得 QCA MCA   ？ 若存在，请求出点 Q坐标；若不存在，说明理由． 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C A D C C B C A D B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13． 14．0.875 15．1 16． 17．， 18． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分） 【详解】解：（1） ；·······················3分 （2） ∴ 即 解得： ······················6分 20．（本题6分） 【详解】（1）解：当，时， 抛物线解析式为， ∴， ∴函数图象的顶点坐标为．······························3 分 （2）解：由（1）得函数解析式为， ∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，且当时，取得最大值，最大值为7， 当时，， 当时，， ∴．·························· 6 分 21．（本题10分） 【详解】（1）解：如图所示：三角形， ··············3分 （2）解：由（1）得······················5分 （3）解：如图所示： ∴ ···················· 7 分 （4）解：设三角形的面积为， 则， 答：三角形的面积为8．··················10 分 22．（本题10分） 【详解】（1）解：根据题意画树状图如下： ；·························4 分 （2）解：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的结果和有2种， 甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率．··············10 分 23．（本题10分） 【详解】（1）解：如图2， ∵为正方形的中心角， ∴，， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴， 又∵， ∴， ∴．················3分 （2）如图3， ∵为正六边形的中心角， ∴，， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点 ∴，·····························4分 又∵， ∴， ∴． ∵四边形面积为， ∴正六边形的面积为．·························6分 （3）如图4， ∵为正多边形的中心角， ∴，，··························8分 ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正多边形的边分别交于点 ∴， 又∵， ∴，··························9分 ∴． ∵四边形面积为， ∴正多边形的面积为．················ 10分 24．（本题10分） 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ，·························1 分 解得：， 函数关系式为；·····················3 分 （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，．···························5 分 单价不低于成本价，且不高于50元销售， 不符合题意，舍去． 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；·····················6 分 （3）解：由题意得： ， 8 分 ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，，·······················10 分 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 25．（本题10分） 【详解】（1）解：为等腰直角三角形． 证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形；···················1分 （2）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴；···················· 3分 （3）①证明：∵为等腰直角三角形， ∴， 由旋转可得，， ∴， 即， ∵为的直径， ∴是的切线；·············6分 ②由旋转可得，， ∴，， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴，···················9分 当时，最短，此时点和圆心重合，即的最小值等于圆的半径， ∴的最小值为．·······················10 分 26．（本题10分） 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于点，， ∴设抛物线的表达式为：， ∵ ∴， 则， 则抛物线的表达式为：；······················ 2 分 （2）解：如图1，由抛物线的表达式知， 其对称轴为直线， ∵ ∴ 则··························· 3分 作点关于抛物线对称轴的对称点， ∴ ∵点D是的中点 ∴ 作点关于轴的对称点， ∴··························· 4分 连接交轴于点交抛物线对称轴于点 则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小， 理由：∵点关于轴的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点 ∴，， 则，·······················5分 此时的长度满足点P走过的路径最短 设直线的表达式为 把，分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点，，··························· 6分 令，则， 则点，， ∵， ∴， 即点、坐标分别为：、， ∴最短路径长6.5；························· 7 分 （3）解：存在，理由： 依题意 ∴ 解得：（舍去）或3，··························· 8 分 则点， 设直线交于点， 由点、知， ∴， 而直线和轴正半轴的夹角为， ∴ 则， ，则， 则， 解得：（舍去）或1， 则点，························· 9分 设直线的表达式为 把点、分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 依题意，得 解得：（舍去）或7， 则点．···························· 10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部。 5．难度系数：0.76。 第一部分（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化 遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程   2 22 3 4 0k x x k     的一个根为0，则 k的值为（ ） A．0 B．2 C．−2 D．2或−2 3．在Rt ABC△ 中， 90C  ， 5BC  ， 12AC  ，以点 B为圆心，12 为半径画圆，则点 A与 B 的位置 关系是（ ） A．点 A在 B 外 B．点 A在 B 上 C．点 A在 B 内 D．无法确定 4．把抛物线 22y x 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，得到的抛物线是（ ） A．  22 3 5y x   B．  22 3 5y x   C．  22 3 5y x   D．  22 3 5y x   5．下列说法中，正确的是（ ） A．“打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B．“若 a，b互为相反数，则 0a b  ”，这一事件是随机事件 C．“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是 7”，这一事件是不可能事件 D．“泉州明天降雨的概率是60% ”意思是泉州明天有60% 的时间在降雨 6．如图， AB是 O 的直径，若  AC CD BD  ，连接BD，CD，则 BDC 的度数是（ ） A．100 B．110 C．120 D．130 7．若      1 2 34, , 3, , 1,M y N y P y  为二次函数  22y x k   的图象上的三点，则 1 2 3, ,y y y 的大小关系是 （ ） A． 1 2 3y y y  B． 2 1 3y y y  C． 3 1 2y y y  D． 1 3 2y y y  8．如图，用一个圆心角为 的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π 的圆锥，则该扇形的圆心角 为 为（ ） A．90 B．135 C．180 D．270 9．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一 丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备 注：1 丈 10 尺)如果设折断后的竹子高度为 x尺，根据题意，可列方程为（ ） A． 2 2 24 (10 )x x   B． 2 2 2(10 ) 4x x   C． 2 2 2(10 ) 4x x   D． 2(10 ) 4x x  10．如图，电路上有 1S ， 2S ， 3S ， 4S 四个断开的开关和一个正常的小灯泡 L，将这些开关随机闭合至少两 个，能让灯泡发光的概率为（ ） A． 3 5 B． 7 11 C． 4 5 D． 9 11 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 11．如图，已知AB所在圆的半径为 5，弦𝐴𝐵的长 8，点 P是AB中点，AB绕点 A逆时针旋转90后得到AB， 两位同学提出了相关结论： 嘉嘉： AP的长为 2 5 ；琪琪： AP扫过的面积为 5π 下列论正确的是（ ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 12．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线  2 0y ax bx c a    的顶点为  1,P k ，且经过点  3,0A  ，其部 分图象如图所示，下面四个结论中， ① 0abc  ；② 2b a  ；③若点  ,N t n 在此抛物线上且n c ，则 0t  或 2t   ；④对于任意实数 t，都 有    2 1 1 0a t b t    成立． 正确的有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共 84 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，满分 12 分） 13．已知点  11,A y 和  22,B y 在二次函数  2 0y ax a  图像上，则 1 2y y 0．（填“ ”、“ ”或“ ”） 14．随机掷三枚均匀的硬币一次，至少一次正面都朝上的概率是 ． 15．若点  , 3P x  与点  4,Q y 关于原点对称，则  2016x y  ． 16．如果关于 x的方程  2x x k  有两个相等的实数根，那么 k的值是 ． 17．如图，平面直角坐标系中， 1 1OAB 是边长为 2 的等边三角形，作 2 2 1B A B 与 1 1OAB 关于点 1B 成中心对 称，再作 2 3 3B A B 与 2 2 1B A B 关于点 2B 成中心对称，如此作下去，则 2 1 2 2nn nB A B﹣△ （n是正整数）的顶点 2nA 的坐标是（ ， ） 18．如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 30B  ， 2 3AC  ，P是BC边上一动点，连接 AP，把线段 AP绕点 A逆时针旋转60到线段 AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题 6 分）（1）计算：  0 1 2 13 2 2 22      ； （2）解方程：  2 2 4x x x   20．（本题 6 分）已知二次函数 2y x bx c    ． (1)当 4b  ， 3c  时，求该函数图象的顶点坐标． (2)在（1）条件下，当 1 3x   时，求 y的取值范围． 21．（本题 10 分）三角形 ABC的位置如图所示： (1)画出将三角形 ABC先向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的三角形 1 1 1A BC ； (2)写出点 1A、 1B 、 1C 的坐标； (3)线段 AC绕点 C旋转 90 度，点 A到达位置的坐标为 ． (4)求出三角形 1 1 1A BC 的面积． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 22．（本题 10 分）在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾， 电池为有害垃圾．为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上 字母 J（代表金属）、Z（代表纸板）、G（代表果皮）、D（代表电池），把四张小卡片装入一个不透明的袋子 里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 23．（本题 10 分）【阅读理解】如图 1， BOC 为等边 ABC 的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个 角度  0 120     ， BOC 的两边与三角形的边 BC，AC分别交于点M ，N ．设等边 ABC 的面积为 S，通过证明可得 OBM OCN ≌ ，则 1 3OMC OCN OMC OBM OBCOMCN S S S S S S S         四边形 ． (1)【类比探究】如图 2， BOC 为正方形 ABCD的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个角度  0 90     ， BOC 的两边与正方形的边BC，CD分别交于点M ，N ．若正方形 ABCD的面积为S， 请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）． (2)【拓展应用】如图 3， BOC 为正六边形 ABCDEF的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个角度  0 60     ， BOC 的两边与正六边形的边BC，CD分别交于点M ，N ．若四边形OMCN面积为 6 ， 请直接写出正六边形 ABCDEF的面积 (3)【猜想结论】如图 4， BOC 为正n边形 ABCDE ……的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个角度 360 0 n             ， BOC 的两边与正n边形的边BC，CD分别交于点M ，N ．若四边形OMCN面积 为S，请用含n、S的式子表示正 n边形 ABCDE ……的面积． 24．（本题 10 分）2020 年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带 货”．销售一批成本为每件 30 元的商品，按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，经调查发现，该商品 每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价 x（元） 30 40 45 销售数量 y（件） 100 80 70 (1)求该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为 800 元？ (3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少元？ 25．（本题 10 分）如图，四边形 ABCD内接于 O ， AC为 O 的直径， ADB CDB   ． (1)试判断 ABC 的形状，并给出证明； (2)若 2AB  ， 1AD  ，求CD的长度． (3)在（2）的条件下，如图2，若 E是线段 AC上的动点，连接EB，将 BEC 绕点 B逆时针旋转得到 ABF△ ， ①求证： AF 是 O 的切线；②连接EF ，如图3，求EF 的最小值． 26．（本题 10 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 4y ax bx   与 x轴交于点  4,0A ， 3 ,0 2 B      ，与 y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图 1，点 D是OC的中点，点 E为 x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点 P从点 D出发，沿D E F C   运动，若要使点 P走过的路径最短，请求出点 E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图 2，直线 y x 与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点 Q（点M除外），使得 QCA MCA   ？ 若存在，请求出点 Q坐标；若不存在，说明理由． 2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部。 5．难度系数：0.76。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 3．在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定 4．把抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（   ） A．“打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B．“若a，b互为相反数，则”，这一事件是随机事件 C．“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是7”，这一事件是不可能事件 D．“泉州明天降雨的概率是”意思是泉州明天有的时间在降雨 6．如图，是的直径，若，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 9．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论： 嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为 下列论正确的是（    ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 12．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 13．已知点和在二次函数图像上，则 0．（填“”、“”或“”） 14．随机掷三枚均匀的硬币一次，至少一次正面都朝上的概率是 ． 15．若点与点关于原点对称，则 ． 16．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 17．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ） 18．如图，在中，，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（1）计算：； （2）解方程： 20．（本题6分）已知二次函数． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)在（1）条件下，当时，求y的取值范围． 21．（本题10分）三角形的位置如图所示： (1)画出将三角形先向左平移4个单位，再向上平移2个单位后所得到的三角形； (2)写出点、、的坐标； (3)线段绕点C旋转90度，点A到达位置的坐标为 ． (4)求出三角形的面积． 22．（本题10分）在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾，电池为有害垃圾．为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上字母J（代表金属）、Z（代表纸板）、G（代表果皮）、D（代表电池），把四张小卡片装入一个不透明的袋子里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 23．（本题10分）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则． (1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． (2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积 (3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积． 24．（本题10分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 (1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 25．（本题10分）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． (3)在（）的条件下，如图，若是线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，①求证：是的切线；②连接，如图，求的最小值． 26．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部。 5．难度系数：0.76。 第一部分（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗 产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是中心对称图形，故不符合题意； D．是中心对称图形，故符合题意， 故选：D． 2．若一元二次方程   2 22 3 4 0k x x k     的一个根为0，则 k的值为（ ） A．0 B．2 C．−2 D．2或−2 【答案】C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【详解】解：∵ 一元二次方程   2 22 3 4 0k x x k     的一个根为0， ∴ 2 4 0k   ， ∴ 2k   ， ∵ 2 0k   ， ∴ 2k  ， ∴ 2k   ， 故选：C ． 3．在Rt ABC△ 中， 90C  ， 5BC  ， 12AC  ，以点 B为圆心，12 为半径画圆，则点 A与 B 的位置关 系是（ ） A．点 A在 B 外 B．点 A在 B 上 C．点 A在 B 内 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵ 在Rt ABC△ 中， 90C  ， 5BC  ， 12AC  ， ∴ 2 2 2 25 12 13    AB BC AC ， ∵ 13 12AB   ， ∴ 点 A在 B 外， 故选：A ． 4．把抛物线 22y x 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，得到的抛物线是（ ） A．  22 3 5y x   B．  22 3 5y x   C．  22 3 5y x   D．  22 3 5y x   【答案】D 【详解】解：根据抛物线平移的规律：左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标）， 把抛物线 22y x 向右平移 3 个单位长度可得  22 3y x  ， 再再向下平移 5 个单位长度可得  22 3 5y x   ． 故选：D ． 5．下列说法中，正确的是（ ） A．“打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B．“若 a，b互为相反数，则 0a b  ”，这一事件是随机事件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 C．“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是 7”，这一事件是不可能事件 D．“泉州明天降雨的概率是60% ”意思是泉州明天有60% 的时间在降雨 【答案】C 【详解】A、“打开电视，正在播放电视剧”是随机事件，所以选项 A 错误，不符合题意； B、“若 a，b互为相反数，则 0a b  ”，这一事件是必然事件，所以选项 B 错误，不符合题意； C、“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不可能是 7”，所以选项 C 正确，符合题意； D、“泉州明天降雨的概率是60% ”，并不意味着泉州明天有60% 的时间在降雨，所以选项 D 错误，不符合题 意． 故选：C． 6．如图， AB是 O 的直径，若  AC CD BD  ，连接BD，CD，则 BDC 的度数是（ ） A．100 B．110 C．120 D．130 【答案】C 【详解】解：如下图，连结 ,AC OC，   AC CD BD  ， 60AOC  ， OA OC 60OAC  ， 180 60 120BDC     ， 故选：C． 7．若      1 2 34, , 3, , 1,M y N y P y  为二次函数  22y x k   的图象上的三点，则 1 2 3, ,y y y 的大小关系是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A． 1 2 3y y y  B． 2 1 3y y y  C． 3 1 2y y y  D． 1 3 2y y y  【答案】B 【详解】解：∵ 二次函数  22y x k   的对称轴直线为 2x   ，开口向上． ∴  14,M y 关于对称轴直线 2x   的对称点为：  10 y, ，  23,N y 关于对称轴直线 2x   的对称点为：  21, y ， ∵ 1 0 1   ， ∴ 2 1 3y y y  ， 故选：B. 8．如图，用一个圆心角为 的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π 的圆锥，则该扇形的圆心角为  为（ ） A．90 B．135 C．180 D．270 【答案】C 【详解】解：设圆锥的母线长为 l， ∵ 2π 8πS l  ∴ 4l  ∴ π 4 2π 2 180     解得： 180   故选：C． 9．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈， 一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注： 1 丈 10 尺)如果设折断后的竹子高度为 x尺，根据题意，可列方程为（ ） A． 2 2 24 (10 )x x   B． 2 2 2(10 ) 4x x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 C． 2 2 2(10 ) 4x x   D． 2(10 ) 4x x  【答案】A 【详解】解：∵ 竹子原长一丈，折断后的竹子高度为 x尺， ∴ 折断部分的竹子长 10 x 尺． 根据题意得：  22 24 10x x   ． 故选：A． 10．如图，电路上有 1S ， 2S ， 3S ， 4S 四个断开的开关和一个正常的小灯泡 L，将这些开关随机闭合至少两 个，能让灯泡发光的概率为（ ） A． 3 5 B． 7 11 C． 4 5 D． 9 11 【答案】D 【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有： 闭合两个的情况有： 1(S ， 2 )S ， 1(S ， 3 )S ， 1(S ， 4 )S ， 2(S ， 3 )S ， 2(S ， 4 )S ， 3(S ， 4 )S ， 闭合三个的情况有： 1(S ， 2S ， 3 )S ， 1(S ， 2S ， 4 )S ， 1(S ， 3S ， 4 )S ， 2(S ， 3S ， 4 )S ， 闭合四个的情况有： 1(S ， 2S ， 3S ， 4 )S ， 故这些开关随机闭合至少两个共 11 种， 其中能让灯泡发光的结果有： 1(S ， 3 )S ， 1(S ， 4 )S ， 2(S ， 3 )S ， 2(S ， 4 )S ， 1(S ， 2S ， 3 )S ， 1(S ， 2S ， 4 )S ， 1(S ， 3S ， 4 )S ， 2(S ， 3S ， 4 )S ， 1(S ， 2S ， 3S ， 4 )S ，共 9 种， 将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为 9 11 ． 故选：D． 11．如图，已知AB所在圆的半径为 5，弦𝐴𝐵的长 8，点 P是AB中点，AB绕点 A逆时针旋转90后得到AB， 两位同学提出了相关结论： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 嘉嘉： AP的长为 2 5 ；琪琪： AP扫过的面积为 5π 下列论正确的是（ ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 【答案】B 【详解】解：令AB所在圆的圆心为点 O，连接 ,OA OP，OP与 AB相交于点 Q， ∵ 点 P是AB中点， ∴ 1 4 2 AQ AB  ，OP AB ， 设 PQ x ，则 5OQ x  ， 根据勾股定理可得： 2 2 2AQ OQ OA  ， 即  22 24 5 5x   ， 解得： 1 22, 8x x  （舍去）， ∴ 2PQ  ， ∴ 2 2 2 5AP AQ PQ   ，故嘉嘉对； ∵ AB绕点 A逆时针旋转90后得到AB， ∴ 90PAP  ， ∴ AP扫过的面积   2 90 2 5 5 360      ，故琪琪错； 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 12．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线  2 0y ax bx c a    的顶点为  1,P k ，且经过点  3,0A  ，其部 分图象如图所示，下面四个结论中， ① 0abc  ；② 2b a  ；③若点  ,N t n 在此抛物线上且n c ，则 0t  或 2t   ；④对于任意实数 t，都有    2 1 1 0a t b t    成立． 正确的有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵ 抛物线的顶点坐标为  1,P k ， ∴ 对称轴为 1 2 b x a     ， ∴ 2b a ；故②错误； ∵ 抛物线的开口向下， ∴ 0a  ； 2 0b a  ， 抛物线与 y 轴交于正半轴， ∴ 0c  ， ∴ 0abc  ，故①正确， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∵  2 0y ax bx c a    ，当 0x  时， y c ， ∴ 图象过  0,c ， ∵ 对称轴为直线 1x   ， ∴  0,c 关于对称轴的对称点为：  2,c ， ∵ 抛物线的开口向下，在对称轴的左侧， y 随 x的增大而增大，在对称轴的右侧， y 随 x的增大而减小， ∵ 点  ,N t n 在此抛物线上且n c ， ∴ 0t  或 2t   ；故③正确； ∵ 1x   时， y 取得最大值a b c  ， ∴ 对于任意实数 t， 2at bt c a b c     ； 即    2 1 0a t t b t    ，故④正确； 故答案为：①③④共 3 个， 故选：D． 第二部分（非选择题 共 84 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，满分 12 分） 13．已知点  11,A y 和  22,B y 在二次函数  2 0y ax a  图像上，则 1 2y y 0．（填“ ”、“ ”或“ ”） 【答案】 【详解】解：∵  2 0y ax a  ， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为 y 轴， ∴ 当 0x  时， y 随着 x轴的增大而减小， ∴ 1 2y y ， ∴ 1 2 0y y  ， 故答案为： 14．随机掷三枚均匀的硬币一次，至少一次正面都朝上的概率是 ． 【答案】0.875/ 7 8 【详解】解：根据题意，共有（正，正，正），（反，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（反，反， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 反），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反）8 种情况， 至少一次正面都朝上的情况有（正，正，正），（反，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（反，反， 正），（反，正，反），（正，反，反）7 种情况， 故至少一次正面都朝上的概率是 7 8 ． 故答案为： 7 8 ． 15．若点  , 3P x  与点  4,Q y 关于原点对称，则  2016x y  ． 【答案】1 【详解】解：由点  , 3P x  与点  4,Q y 关于原点对称，得 4, 3x y   ， 故    2016 2016 14 3x y     ． 故答案为：1． 16．如果关于 x的方程  2x x k  有两个相等的实数根，那么 k的值是 ． 【答案】 1 【详解】解：∵ 关于 x方程  2x x k  即 2 2 0  x x k 有两个相等的实数根， ∴    22 4 2 4 1 0b ac k          ， 解得： 1k   ， 故答案为： 1 ． 17．如图，平面直角坐标系中， 1 1OAB 是边长为 2 的等边三角形，作 2 2 1B A B 与 1 1OAB 关于点 1B 成中心对 称，再作 2 3 3B A B 与 2 2 1B A B 关于点 2B 成中心对称，如此作下去，则 2 1 2 2nn nB A B﹣△ （n是正整数）的顶点 2nA 的 坐标是（ ， ） 【答案】 4 1n / 1 4n  3 【详解】解：如图，作 1AC x 轴于点 C， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ∵ 1 1OAB 是边长为 2 的等边三角形， ∴ 1 1 1 2 OC OB  ， 1 30OAC  ， ∴ 2 2 1 1 2 1 3A B    ， ∴ 1A的坐标为  1 3， ， 1B 的坐标为 (2 )0， ， ∵ 2 2 1B A B 与 1 1OAB 关于点 1B 成中心对称， ∴ 点 2A 与点 1A关于点 1B 成中心对称， ∵ 2 2 1 3   ，2 0 3 3    ， ∴ 点 2A 的坐标是  3 3， ， ∵ 2 3 3B A B 与 2 2 1B A B 关于点 2B 成中心对称， ∴ 点 3A 与点 2A 关于点 2B 成中心对称， ∵ 2 4 3 5   ，  2 0 3 3    ， ∴ 点 3A 的坐标是  5 3， ， ∵ 3 4 4B A B 与 3 3 2B A B 关于点 3B 成中心对称， ∴ 点 4A 与点 3A 关于点 3B 成中心对称， ∵ 2 6 5 7   ，2 0 3 3    ， ∴ 点 4A 的坐标是  7 3， ， …， ∵ 1 2 1 1   ，3 2 2 1   ，5 2 3 1   ，7 2 4 1   ，…， ∴ nA 的横坐标是2 1n  ， 2nA 的横坐标是2 2 1 4 1n n    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ∵ 当 n为奇数时， nA 的纵坐标是 3，当 n为偶数时， nA 的纵坐标是 3 ， ∴ 顶点 2nA 的纵坐标是 3 ， ∴ 顶点 2nA 的坐标是  4 1 3n  ， ． 故答案为：4 1n ， 3 ． 18．如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 30B  ， 2 3AC  ，P是 BC边上一动点，连接 AP，把线段 AP 绕点 A逆时针旋转60到线段 AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为 ． 【答案】 3 【详解】解：如图，在 AB上取一点E，使 AE AC ，连接PE，过点E作EF BC 于F ， 由旋转知， AQ AP ， 60PAQ  ， ∵ 30B  ， 90ACB  ， ∴ 60EAC  ， ∴ 60PAQ EAC   ， ∴ EAP CAQ   ， 又∵ AE AC ， AP AQ ， ∴  SASCAQ EAP ≌ ， ∴ CQ EP ， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点 P是 BC上的动点， ∴ 当EP BC （点 P和点F 重合）时，EP最小，CQ最小，最小值为EF ， 在Rt ACB△ 中， 30B  ， 2 3AC  ， ∴ 2 4 3AB AC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ∵ 2 3AE AC  ， ∴ BE AB − 2 3AE  ， 在Rt BFE△ 中， 30B  ， ∴ EF  1 2 3BE  ， 故线段CQ长度的最小值是 3， 故答案为： 3． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题 6 分）（1）计算：  0 1 2 13 2 2 22      ； （2）解方程：  2 2 4x x x   【详解】解：（1）  0 1 2 13 2 2 22      1 1 1 2 2 2     1 2  ；·······················3 分 （2）  2 2 4x x x   ∴    2 2 2 0x x x    即  22 0x   解得： 1 2 2x x  ······················6 分 20．（本题 6 分）已知二次函数 2y x bx c    ． (1)当 4b  ， 3c  时，求该函数图象的顶点坐标． (2)在（1）条件下，当 1 3x   时，求 y的取值范围． 【详解】（1）解：当 4b  ， 3c  时， 抛物线解析式为 2 4 3y x x    ， ∴  22 7y x    ， ∴ 函数图象的顶点坐标为  2,7 ．······························3 分 （2）解：由（1）得函数解析式为  22 7y x    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ∵ 抛物线开口向下， ∴ 函数有最大值，且当 2x  时，取得最大值，最大值为 7， 当 1x   时， 2y   ， 当 3x  时， 6y  ， ∴ 2 7y ≤ ≤ ．·························· 6 分 21．（本题 10 分）三角形 ABC的位置如图所示： (1)画出将三角形 ABC先向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的三角形 1 1 1A BC ； (2)写出点 1A、 1B 、 1C 的坐标； (3)线段 AC绕点 C旋转 90 度，点 A到达位置的坐标为 ． (4)求出三角形 1 1 1A BC 的面积． 【详解】（1）解：如图所示：三角形 1 1 1A BC ， ··············3 分 （2）解：由（1）得      1 1 12,3 0 0 4 2A B C  ， ，， ， ······················5 分 （3）解：如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ∴    2 35 2 5 6A A  ， ， ， ···················· 7 分 （4）解：设三角形 1 1 1A BC 的面积为S， 则 1 1 1 4 5 2 5 4 2 2 3 8 2 2 2 S             ， 答：三角形 1 1 1A BC 的面积为 8．··················10 分 22．（本题 10 分）在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾， 电池为有害垃圾．为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上 字母 J（代表金属）、Z（代表纸板）、G（代表果皮）、D（代表电池），把四张小卡片装入一个不透明的袋子 里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 【详解】（1）解：根据题意画树状图如下： ；·························4 分 （2）解：由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属 于“可回收物”的结果 JZ和ZJ有 2 种， 甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率 2 1 12 6   ．··············10 分 23．（本题 10 分）【阅读理解】如图 1， BOC 为等边 ABC 的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 角度  0 120     ， BOC 的两边与三角形的边 BC， AC分别交于点M ，N ．设等边 ABC 的面积为 S，通过证明可得 OBM OCN ≌ ，则 1 3OMC OCN OMC OBM OBCOMCN S S S S S S S         四边形 ． (1)【类比探究】如图 2， BOC 为正方形 ABCD的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个角度  0 90     ， BOC 的两边与正方形的边BC，CD分别交于点M ，N ．若正方形 ABCD的面积为S， 请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）． (2)【拓展应用】如图 3， BOC 为正六边形 ABCDEF的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个角度  0 60     ， BOC 的两边与正六边形的边BC，CD分别交于点M ，N ．若四边形OMCN面积为 6 ， 请直接写出正六边形 ABCDEF的面积 (3)【猜想结论】如图 4， BOC 为正n边形 ABCDE ……的中心角，将 BOC 绕点O逆时针旋转一个角度 360 0 n             ， BOC 的两边与正n边形的边BC，CD分别交于点M ，N ．若四边形OMCN面积 为S，请用含n、S的式子表示正n边形 ABCDE ……的面积． 【详解】（1）解：如图 2， ∵ BOC 为正方形 ABCD的中心角， ∴ OB OC ， 45OBM OCN   ， ∵ BOC 绕点 O逆时针旋转一个角度 9(0 )0     ， BOC 的两边与正方形的边 ,BC CD分别交于点 ,M N ∴ BOM CON  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 又∵ ,OB OC OBM OCN    ， ∴ BOM CON≌  ， ∴ 1 S 4OMC OCN OMC OBM OBC ABCDOMCN S S S S S S          正方形四边形 ．················3 分 （2）如图 3， ∵ BOC 为正六边形 ABCDEF的中心角， ∴ OB OC ， 60OBM OCN   ， ∵ BOC 绕点 O逆时针旋转一个角度 9(0 )0     ， BOC 的两边与正六边形的边 ,BC CD分别交于点 ,M N ∴ BOM CON  ，·····························4 分 又∵ ,OB OC OBM OCN    ， ∴ BOM CON≌  ， ∴ 1 S 6OMC OCN OMC OBM OBCOMCN ABCDEF S S S S S S         四边形 六边形 ． ∵ 四边形OMCN面积为 6 ， ∴ 正六边形 ABCDEF的面积为6 6 ．·························6 分 （3）如图 4， ∵ BOC 为正多边形 ABCDE   的中心角， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ∴ OB OC ， 360 OBM OCN n      ，··························8 分 ∵ BOC 绕点 O逆时针旋转一个角度 9(0 )0     ， BOC 的两边与正多边形的边 ,BC CD分别交于点 ,M N ∴ BOM CON  ， 又∵ ,OB OC OBM OCN    ， ∴ BOM CON≌  ，··························9 分 ∴ 1 SOMC OCN OMC OBM OBCOMCN n ABCDES S S S S S n           四边形 正 边形 ． ∵ 四边形OMCN面积为S， ∴ 正多边形 ABCDE   的面积为nS．················ 10 分 24．（本题 10分）2020 年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销 售一批成本为每件 30 元的商品，按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，经调查发现，该商品每天的 销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价 x（元） 30 40 45 销售数量 y（件） 100 80 70 (1)求该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为 800 元？ (3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为 y kx b  ， 将点 (30,100)、 (40,80) 代入一次函数关系式得： 100 30 80 40 k b k b      ，·························1 分 解得： 2 160 k b     ， 函数关系式为 2 160y x   ；·····················3 分 （2）解：由题意得： ( 30)( 2 160) 800x x    ， 整理得： 2 110 2800 0x x   ， 解得： 1 40x  ， 2 70x  ．···························5 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 单价不低于成本价，且不高于 50 元销售， 2 70x  不符合题意，舍去． 答：销售单价定为 40 元时，每天的销售利润为 800 元；·····················6 分 （3）解：由题意得： ( 30)( 2 160)w x x    22( 55) 1250x    ， 8 分 2 0  ，故当 55x  时，w随 x的增大而增大，而30 50x  ， 当 50x  时，w有最大值，此时， 1200w  ，·······················10 分 答：销售单价定为 50 元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是 1200 元． 25．（本题 10 分）如图，四边形 ABCD内接于 O ， AC为 O 的直径， ADB CDB   ． (1)试判断 ABC 的形状，并给出证明； (2)若 2AB  ， 1AD  ，求CD的长度． (3)在（2）的条件下，如图2，若 E是线段 AC上的动点，连接EB，将 BEC 绕点 B逆时针旋转得到 ABF△ ， ①求证： AF 是 O 的切线；②连接EF ，如图3，求EF 的最小值． 【详解】（1）解： ABC 为等腰直角三角形． 证明：∵ AC为 O 的直径， ∴ 90ABC  ， ∵ ADB CDB   ， ∴  AB BC ， ∴ AB BC ， ∴ ABC 为等腰直角三角形；···················1 分 （2）解：∵ 2AB BC  ， 90ABC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ∴ 2 2 2 2AC AB    ， ∵ AC为 O 的直径， ∴ 90ADC  ， ∴ 2 2 2 22 1 3CD AC AD     ；···················· 3 分 （3）①证明：∵ ABC 为等腰直角三角形， ∴ 45BAC BCA   ， 由旋转可得， 45BAF BCE    ， ∴ 45 45 90CAF BAC BAF       ， 即 AC AF ， ∵ AC为 O 的直径， ∴ AF 是 O 的切线；·············6 分 ②由旋转可得， BAF BCE≌△ △ ， ∴ BF BE ， ABF CBE   ， ∴ 90ABF ABE CBE ABE ABC      ， 即 90EBF  ， ∴ EBF△ 为等腰直角三角形， ∴ 2EF BE ，···················9 分 当BE AC 时， BE 最短，此时点E和圆心O重合，即 BE 的最小值等于圆的半径1， ∴ EF 的最小值为√2．·······················10 分 26．（本题 10 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 4y ax bx   与 x轴交于点  4,0A ， 3 ,0 2 B      ，与 y 轴交于点 C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图 1，点 D是OC的中点，点 E为 x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点 P从点 D出发，沿D E F C   运动，若要使点 P走过的路径最短，请求出点 E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图 2，直线 y x 与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点 Q（点M除外），使得 QCA MCA   ？ 若存在，请求出点 Q坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：∵ 已知抛物线 2 4y ax bx   与 x轴交于点  4,0A ， 3 ,0 2 B      ， ∴ 设抛物线的表达式为： 2 2( 4)( 1.5) ( 2.5 6) 2.5 6y a x x a x x ax ax a         ， ∵ 2 4y ax bx   ∴ 6 4a  ， 则 2 3 a   ， 则抛物线的表达式为： 22 5 4 3 3 y x x    ；······················ 2 分 （2）解：如图 1，由抛物线的表达式 2 2 5 4 3 3 y x x    知， 其对称轴为直线 5 53 2 4 2 3 x          ， ∵ 2 2 5 4 3 3 y x x    ∴ 0 4x y ， 则  0 4C ， ··························· 3 分 作点C关于抛物线对称轴的对称点N ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ 5 ( 4) 2 N ， ∵ 点 D是OC的中点 ∴ (0,2)D 作点D关于 x轴的对称点G， ∴ (0, 2)G  ··························· 4 分 连接CN 交 x轴于点E交抛物线对称轴于点F 则此时，点E、F 符合题设要求，此时点 P运动的路径最小， 理由：∵ 点D关于 x轴的对称点G，点C关于抛物线对称轴的对称点N ∴ ED GE ，CF NF ， 则DE EF CF GE EF NF GN      ，·······················5 分 此时GN的长度满足点 P走过的路径最短 设直线NG的表达式为 0 0y k x b  把 5 ( 4) 2 N ， ， (0, 2)G  分别代入 0 0y k x b  得， 0 0 0 5 4 2 2 k b b       解得 0 0 12 5 2 k b       直线NG的表达式为： 12 2 5 y x  ， 当 5 4 x  时， 12 2 1 5 y x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 即点 5 ( 4 F ，1) ，··························· 6 分 令 12 2 0 5 y x   ，则 5 6 x  ， 则点 5 ( 6 E ， 0) ， ∵ 5 ( 4) 2 N ， ， (0, 2)G  ∴ 2 2 5 13 ( ) (4 2) 6.5 2 2 NG      ， 即点E、F 坐标分别为： 5 ( 0) 6 E ， 、 5 1 4 F      ， ， ∴ 最短路径长 6.5；························· 7 分 （3）解：存在，理由： 依题意 22 5 4 3 3 y x x y x         ∴ 2 2 5 4 3 3 x x x    解得： 2x   （舍去）或 3，··························· 8 分 则点 (3,3)M ， 设直线CQ交OM 于点 ( , )N m m ， 由点  0 4C ， 、  4,0A 知，OC OA ∴ 45CAO  ， 而直线 y x 和 x轴正半轴的夹角为45， ∴ 180 45 45 90OMA       原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 则 AC MN ， QCA MCA  ，则CN CM ， 则 2 2 2 2( 4) (0 3) (4 3)m m      ， 解得： 3m  （舍去）或 1， 则点 (1,1)N ，························· 9 分 设直线CN 的表达式为 1 1y k x b  把点  0 4C ， 、 (1,1)N 分别代入 1 1y k x b  得 1 1 1 4 1 b k b     ， 解得 1 1 4 3 b k     直线CN 的表达式为： 3 4y x   ， 依题意，得 22 5 4 3 3 3 4 y x x y x           22 53 4 4 3 3 x x x      解得： 0x  （舍去）或 7， 则点 (7, 17)Q  ．···························· 10 分 2024-2025学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共12分） 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部。 5．难度系数：0.76。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 3．在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定 4．把抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（   ） A．“打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B．“若a，b互为相反数，则”，这一事件是随机事件 C．“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是7”，这一事件是不可能事件 D．“泉州明天降雨的概率是”意思是泉州明天有的时间在降雨 6．如图，是的直径，若，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 9．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论： 嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为 下列论正确的是（    ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 12．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 13．已知点和在二次函数图像上，则 0．（填“”、“”或“”） 14．随机掷三枚均匀的硬币一次，至少一次正面都朝上的概率是 ． 15．若点与点关于原点对称，则 ． 16．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 17．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ） 18．如图，在中，，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（1）计算：； （2）解方程： 20．（本题6分）已知二次函数． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)在（1）条件下，当时，求y的取值范围． 21．（本题10分）三角形的位置如图所示： (1)画出将三角形先向左平移4个单位，再向上平移2个单位后所得到的三角形； (2)写出点、、的坐标； (3)线段绕点C旋转90度，点A到达位置的坐标为 ． (4)求出三角形的面积． 22．（本题10分）在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾，电池为有害垃圾．为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上字母J（代表金属）、Z（代表纸板）、G（代表果皮）、D（代表电池），把四张小卡片装入一个不透明的袋子里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 23．（本题10分）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则． (1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． (2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积 (3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积． 24．（本题10分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 (1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 25．（本题10分）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． (3)在（）的条件下，如图，若是线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，①求证：是的切线；②连接，如图，求的最小值． 26．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$