专题06 二次函数（易错必刷51题11种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题06 二次函数（易错必刷51题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的定义 · 二次函数的性质 · 待定系数法求二次函数解析式 · 二次函数与一次函数，反比例函数图像判断 · 二次函数的对称轴，顶点坐标 · 二次函数图像的平移 · 二次函数的最值 · 二次函数与二次方程的关系 · 二次函数的图像与系数的关系 · 二次函数的应用 · 二次函数的综合 一．二次函数的定义（共4小题） 1．（23-24九年级上·江西·期末）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若函数是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）若是y关于x的二次函数，则 ． 二．二次函数的性质（共6小题） 5．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 7．（23-24九年级上·全国·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为点C，对称轴为直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y随x的增大而增大 D．若，则 8．（23-24九年级下·全国·单元测试）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． (2)若抛物线经过，两点，求证：． 三．待定系数法求二次函数解析式（共2小题） 11．（23-24九年级上·北京·期末）顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数的表达式为 ． 12．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ． 四．二次函数与一次函数，反比例函数图像判断（共7小题） 13．（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数的图形如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（　　） A．B．C．D． 14．（2023·山西太原·三模）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·山东济南·期末）一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·山东临沂·期中）一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级下·新疆喀什·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 18．（23-24九年级上·广东梅州·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A．B．C．D． 19．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 五．二次函数的对称轴，顶点坐标（共4小题） 20．（23-24九年级上·陕西安康·期末）已知，抛物线上的两点，关于它的对称轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 21．（23-24九年级上·浙江台州·期末）抛物线经过点，则它的对称轴是 ． 22．（23-24九年级下·全国·单元测试）用配方法把二次函数化为的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 23．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数图象经过点和．求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． 六．二次函数图像的平移（共6小题） 24．（23-24九年级·山东枣庄·期末）把抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 25．（22-23九年级上·安徽六安·期末）将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·全国·期末）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·云南昭通·期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式是 ． 29．（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 七．二次函数的最值（共4小题） 30．（23-24九年级上·河北邢台·期末）函数的最大值和最小值分别为（   ） A．4和 B．5和 C．5和 D．和4 31．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 32（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 33．（23-24九年级上·浙江台州·期末）当时，二次函数的最小值是，则 ． 8． 二次函数与二次方程的关系（共5小题） 34.（2023九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 35．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 36．（23-24九年级上·北京丰台·期中）若二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 37．（23-24九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是 ． 38．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线与轴只有一个交点，则 ． 九．二次函数的图像与系数的关系（共5小题） 39．（23-24九年级上·江西·期末）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 40．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过两个点，①；②；③；④，则上述说法正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 41．（23-24九年级上·河南南阳·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知二次函数的图象，根据图形判断①；②；③；④中正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一十．二次函数的应用（共4小题） 43．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 44．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：    (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 45．（23-24九年级上·云南昭通·期末）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，当售价为每件60元时，每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，且规定商品售价不低于成本价．设每件商品的售价为x元时，每天的销售量为y件． (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 46．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 47．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 一十一．二次函数的综合（共4小题） 48．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第三象限抛物线上一动点，作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若，求点P的坐标； ②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 49．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，顶点为．．是线段上的动点．过作于，与抛物线第一象限内的图象交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当线段最大时，求点的坐标． (3)若轴，求的面积． 49．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点． (1)求证；是等腰直角三角形． (2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标． (3)如图2，若点D在线段的下方抛物线上一点，画于点E． ①求的最大值． ②在线段上取点F，连，，若，且点C关于直线的对称点恰好落在抛物线上，求点D的坐标（直接写出答案）． 50．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线过，，点为第一象限内抛物线上一动点： (1)求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式； (2)在轴上取，连接，，当面积最大时，求点横坐标； (3)当时，点在抛物线对称轴右侧时，直线上存在两点（在上方），，动点从出发，沿运动到终点，当运动路程最短时，直接写出点坐标． 51．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)当时，直接写出点A、B、C、D的坐标： A ，B ，C ，D ； (2)如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记． ①用含t的代数式表示f； ②请直接写出f的最大值为： ． $$专题06 二次函数（易错必刷51题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的定义 · 二次函数的性质 · 待定系数法求二次函数解析式 · 二次函数与一次函数，反比例函数图像判断 · 二次函数的对称轴，顶点坐标 · 二次函数图像的平移 · 二次函数的最值 · 二次函数与二次方程的关系 · 二次函数的图像与系数的关系 · 二次函数的应用 · 二次函数的综合 一．二次函数的定义（共4小题） 1．（23-24九年级上·江西·期末）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：关于的函数是二次函数的条件是，即， 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据形如的函数是二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】A. ，不是二次函数，不符合题意；     B. ，是二次函数，符合题意； C. ，不是二次函数，不符合题意；         D. ，不是二次函数，不符合题意；     故选B． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若函数是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，将二次函数化为一般式，从而得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 函数是关于的二次函数， ， ， 故选：C． 4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）若是y关于x的二次函数，则 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了二次函数的定义；牢固掌握定义是解题的关键．根据（a是不为0的常数）是二次函数，可得答案． 【详解】解：∵是y关于x的二次函数， ∴且， 解得：． 故答案为：2． 二．二次函数的性质（共6小题） 5．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，则原函数的解析式是， 故选：A． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟悉掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或， 故选：C． 7．（23-24九年级上·全国·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为点C，对称轴为直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y随x的增大而增大 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据抛物线的位置判断即可；利用对称轴公式，可得，可得结论；应该是时，随的增大而增大；设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出即可． 【详解】解：A．抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ，故本选项不符合题意， B．，， ，故本选项不符合题意， C．观察图象可知，当时，随的增大而减小，本选项不符合题意， D．抛物线经过，， 可以假设抛物线的解析式为， ，， 过点作轴于点，设对称轴交轴于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确，符合题意； 故选：D 8．（23-24九年级下·全国·单元测试）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得对称轴为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为，， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∵， ∴， ∵，则，， ∴时的函数值与的函数值相等，且， ∴， ∴， 故选：B ． 9．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的性质．根据抛物线的对称性质求出抛物线对称轴，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， 又，两点纵坐标相同， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴经过的点的横坐标为， ∴D选项点的坐标才符合题意，A、B、C选项都不符合题意． 故选：D． 10．（23-24九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． (2)若抛物线经过，两点，求证：． 【答案】(1)甲和乙的说法都不对，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）先判断甲乙的说法，然后根据题意和二次函数的性质，说明理由即可； （2）根据抛物线经过，两点，可以得到、与的关系，然后根据二次函数的性质，即可得到． 【详解】（1）解：甲和乙的说法都不对， 理由：当时， ，故甲的说法不对； 令， 解得，，， 故乙的说法不对； （2）证明：抛物线经过，两点， ， ， ， 即． 三．待定系数法求二次函数解析式（共2小题） 11．（23-24九年级上·北京·期末）顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的顶点式与抛物线性质，掌握抛物线性质与顶点式是解题关键．根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同， ∴， ∵顶点是， ∴， ∴这个函数解析式为， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用顶点式设，再根据抛物线与 的图象开口大小相同得，代入即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设这条抛物线解析式为， ∵抛物线与 的图象开口大小相同， ∴， ∴， 故答案为：． 四．二次函数与一次函数，反比例函数图像判断（共7小题） 13．（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数的图形如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数、反比例函数和一次函数的图像与系数的关系，根据抛物线图像可得，，由时，，即可得出答案．掌握二次函数的图像与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴的交点在负半轴上， ∴，， ∴一次函数的图像经过一、二、三象限，故选项B、D不符合题意； ∵当时，， ∴反比例函数图像的两个分支分别在二、四象限，故选项A不符合题意． 故选：C． 14．（2023·山西太原·三模）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 15．（23-24九年级上·山东济南·期末）一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】A．由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； C．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 故选： B． 16．（23-24九年级上·山东临沂·期中）一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的综合判断．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：B． 17．（23-24九年级下·新疆喀什·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考察二次函数、一次函数和反比例函数的性质，利用二次函数的性质结合所给的二次函数图像可以判断、、的符号，然后结合一次函数和反比例函数的性质可以推断正确的图像． 【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴的正半轴， ∴， ∵对称轴 得出， ∴一次函数经过一、三、二象限，反比例函数 经过一、三象限， 故选：A． 【点睛】结合已知的二次函数图像正确判断a、b、c的符号的关键． 18．（23-24九年级上·广东梅州·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象，反比例函数图形的性质是解题的关键．根据图形所在象限判定的符号，即可求解． 【详解】解：A、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； B、根据反比例函数图形可得， ，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； C、根据反比例函数图形可得，，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴交点在轴上方，原选项符合题意； D、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向上，与轴的交点在轴下方，原选项不符合题意； 故选：C． 19．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴一次函数经过一、三、四象限， 故选：C． 五．二次函数的对称轴，顶点坐标（共4小题） 20．（23-24九年级上·陕西安康·期末）已知，抛物线上的两点，关于它的对称轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据对称轴为直线，点P的坐标为，利用点P和点Q关于直线对称，即可求得点Q的坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，点P的坐标为， 设点， ∴点P和点Q关于直线对称， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为：， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·浙江台州·期末）抛物线经过点，则它的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数与x轴的交点是关于对称轴对称的两点进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴的交点是关于对称轴对称的两点, ∴根据对称性可得 ：抛物线的对称轴为直线, 故答案为：直线. 22．（23-24九年级下·全国·单元测试）用配方法把二次函数化为的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【分析】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】解：， ∵ 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 23．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数图象经过点和．求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． 【答案】，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．先用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式求解即可． 【详解】解：把点和代入， 得解得 ∴二次函数的表达式为， ∵， ∴图象的顶点坐标为． 六．二次函数图像的平移（共6小题） 24．（23-24九年级·山东枣庄·期末）把抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据抛物线平移的规律：左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标），平移不改变的值，即可解答． 【详解】解：根据抛物线平移的规律：左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标）， 把抛物线向右平移3个单位长度可得， 再再向下平移5个单位长度可得． 故选：． 25．（22-23九年级上·安徽六安·期末）将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为， 故选：C． 26．（23-24九年级上·全国·期末）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解二次函数图象的平移规律是解题的关键．二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律即得答案． 【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是． 故选D． 27．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，则原函数的解析式是， 故选：A． 28．（23-24九年级上·云南昭通·期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式是． 故答案为：． 29．（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， 把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 故答案为：． 七．二次函数的最值（共4小题） 30．（23-24九年级上·河北邢台·期末）函数的最大值和最小值分别为（   ） A．4和 B．5和 C．5和 D．和4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据函数求出对称轴，根据二次函数的性质进行计算即可． 【详解】解：中， 对称轴， 故在对称轴处求出最小值，当时，， 当时，， 时，， 故选C． 31．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了两条直线交点的求法，勾股定理的应用，二次函数的性质等，用含的式子表示出是解题的关键． 联立两个解析式构成方程组，得出点坐标，根据勾股定理得出，然后根据二次函数的性质可得有最小值． 【详解】由，解得 ∴， ∴， ∴时，有最小值． 故选：． 32（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最大值是解题的关键． 由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时；当时，结合题意利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，当时，y的最大值为4， ∵y的最大值为4，距离对称轴最远， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最大值， ∴， 解得； 综上所述：k的值为或． 故答案为：或． 33．（23-24九年级上·浙江台州·期末）当时，二次函数的最小值是，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查二次函数的性质与二次函数的最值，掌握二次函数的增减性是解题的关键．先求解抛物线的对称轴，判断抛物线的开口方向，再分三种情况讨论：①当，即时，②当，即，③当，即，再进一步解答即可； 【详解】解：的对称轴为直线，，抛物线的开口向上， ①当，即时，则时，， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， ②当，即时，则时，， ∴； 解得：， ③当，即时，则时，， ∴ ∴， 解得：（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：1或 8． 二次函数与二次方程的关系（共5小题） 34.（2023九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与x轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，进而得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标 ∴方程的解为， 故选：B． 35．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由题意得出一元二次方程有解，从而得出，，计算即可得出答案，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程有解， ∴，， 解得：，， 故选：D． 36．（23-24九年级上·北京丰台·期中）若二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、解一元一次不等式，根据二次函数的图象与轴有两个交点，可知判别式，列出不等式并解之即可求出的取值范围，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键． 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点， ， 解得：， 为二次函数， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 37．（23-24九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程无实根是解题的关键．根据题意可得方程无实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， 则方程无实根， 即， 解得， 故答案为：． 38．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线与轴只有一个交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 九．二次函数的图像与系数的关系（共5小题） 39．（23-24九年级上·江西·期末）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的对称轴可得，由此即可判断②正确；再根据二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴可得，从而可得，即可判断①错误；根据二次函数的最大值即可判断③正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与时的函数值相等，从而可得当时，，即可判断④错误． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即，结论②正确； ∵二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴， ∴， ∴， ∴，结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数都有， ∴，结论③正确； 由函数图象可知，当时，， 由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，即，结论④错误； 综上，正确的有②③， 故选：B． 40．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过两个点，①；②；③；④，则上述说法正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系．熟练掌握抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴x轴的交点位置，与各系数的关系，二次函数与方程的关系，与不等式的关系，是解决问题的关键． 由抛物线开口向下，交y的正半轴，得到，，对称轴在y轴右侧，判定a、b异号，得到，确定①正确；根据点和都在抛物线上，得到，，得到，，得到，，确定②③正确；当时，根据，，得到；根据，，  得到，确定④正确． 【详解】解：∵由抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线交y的正半轴， ∴， ∴， ∴①正确； ∵点和都在抛物线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴②③正确； ∵当时， ，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 所以④正确． 故选：D． 41．（23-24九年级上·河南南阳·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性，增减性以及二次函数图像上点的坐标特征是关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点，且， ∴抛物线开口向下，则，， ， 故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴函数的最大值为， ∴对任意实数m都有：，即，故②错误； ∵对称轴为，． ∴当时的函数值大于0，即， ∴，故③正确； ∵对称轴为，点的对称点为， ∵抛物线开口向下， ∴若，则，故④正确； 综上，正确的有③④共2个． 故选：B． 42．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知二次函数的图象，根据图形判断①；②；③；④中正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，根据开口方向和对称轴的位置以及与y轴的交点位置即可判断①②③，根据抛物线与x轴有两个不相同的交点即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴有两个不相同的交点， ∴，即，故④错误； 故选：C． 一十．二次函数的应用（共4小题） 43．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线的图形及性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据待定系数法进行求解即可． 【详解】解：设出抛物线方程， 由图象可知该图象经过点， 故， ， 故， 故选：A． 44．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：    (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较，的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中，令得：； 解得或， ， ， ， ． 45．（23-24九年级上·云南昭通·期末）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，当售价为每件60元时，每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，且规定商品售价不低于成本价．设每件商品的售价为x元时，每天的销售量为y件． (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当售价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数解析式，利用函数的性质求解； （1）依据题意，由每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，进而列式计算可以得解； （2）依据题意，由每件的利润销量=总利润，进而列式得，再由二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， ∵， ∴当时，W的值最大，最大值为1250元． 答：当售价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 46．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：当时， ， 球不能射进球门． 47．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【答案】6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 一十一．二次函数的综合（共4小题） 48．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第三象限抛物线上一动点，作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若，求点P的坐标； ②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得，，进而求得结果； （2）①可推出为等腰直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为元二次方程，从而求得结果； ②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果．注意有两种情况：当点P在第三象限与点P在第二象限内，要分别 求解． 【详解】（1）解： 抛物线过点和点，代入得： ， 解得：， ； （2）解：①如图1，设直线交轴于点， ，轴轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 点， 设直线的解析式为：， 点和点，代入得： ， 解得， 直线的解析式为：， ， 解得，（舍去）， 当时，， ； ②如图2， 设点，四边形的周长记作， 当点在第三象限，作轴于，如图2， 令二次函数的得， ， 解得，， ， 设直线的解析式为， 过和点， ， 解得， 直线的解析式为， 点与关于对称， ，， 轴， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 平行四边形为菱形， ， 轴，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 解得：（舍去），， ，； 四边形的周长为：． 当点P在第二象限时， 同理可得：， 解得，（舍去）， ∴， 四边形的周长为：． 综上所述：四边形的周长为：或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量． 49．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，顶点为．．是线段上的动点．过作于，与抛物线第一象限内的图象交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当线段最大时，求点的坐标． (3)若轴，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3)2 【分析】本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数与一次函数的交点问题以及最值问题、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先求出，求出点和点坐标代入即可得到抛物线的解析式． （2）先求出直线的解析式，设经过点与平行的直线为，联立直线和抛物线的解析式，令△即可得到答案； （3）连接，利用，得到，求出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）， ， ，， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 将，代入， 得， 即， 解得， 抛物线解析式为； （2）由（1）得，， ， 设直线解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线解析式为， 当最大时，点与重合， 过点作于点，则，，， ，， ， ， 直线的解析式为， 由，解得或， 点在第一象限， ，， 当线段最大时，点的坐标为，； （3）如图所示，连接， ，， 轴， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 49．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点． (1)求证；是等腰直角三角形． (2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标． (3)如图2，若点D在线段的下方抛物线上一点，画于点E． ①求的最大值． ②在线段上取点F，连，，若，且点C关于直线的对称点恰好落在抛物线上，求点D的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，即可得即问题得解； （2）过点作交于点, 交于，连接，利用等腰直角三角形的性质可得，然后求出直线的解析式为：再联立即可求解； （3）求得直线的解析式为：①设过点D的坐标为 过点与直线平行的直线解析式为过点作轴的平行线交于点，通过联立方程可得点的坐标为根据可得点横坐标为, 即可得, 进而可得再证明为等腰直角三角形，即问题得解；②设点关于的对称点为点(且点在抛物线上) ，则有垂直平分线段，即由图可知抛物线上除点、点外，再无其它点到原点的距离为，由此可得点与点重合，此时对称轴即为斜边的中线，即点为中点，过点作于点，连接，再计算出可得可知点与点重合，则点与点重合，符合要求，问题随之得解. 【详解】（1）证明: 令可得 令 可得 解得 ∴, ， ， 为等腰直角三角形； （2）过点作 交于点, 交于, 连接, 如图, 为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵平分 ， 即根据“三线合一”可知：即 ， ， 是等腰直角三角形，即 ， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 联立 ， 解得 (舍去) , ， ； （3）∵, 设直线BC的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为： ， ①设点的坐标为过点与直线平行的直线解析式为过点作y轴的平行线交于点, 如图, 联立 可得 则 ， ∴解得 , 即点的坐标为根据可得点横坐标为， 即可得, ∴当有最大值时，点的坐标为, , 即： 当 时， ∵, ， ， 为等腰直角三角形， ， ∴此时的最大值为 ②设点关于的对称点为点(且点在抛物线上) ，则有垂直平分线段， 即 由图可知抛物线上除点、点外，再无其他点到原点的距离为， ∴点与点重合，此时对称轴即为斜边的中线， 即点为中点， 过点作于点, 连接, ∵, 为等腰直角三角形， 且可得为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 此时若点与点重合，则点与点重合，满足 此时点坐标为:； 若点不与点重合： 点为定点(中点) ，且点在线段上，即： 第一种情况：当点从点往点靠近时，点也会逼近点，此时形成的角会越来越小， ∴即不存在的情况； 第二种情况：当点从点往点靠近时，与的夹角将越来越小，则在的另一个锐角会越来越大， ∴即不存在的情况； 综上: 点与点重合满足要求, 即. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正切，等腰三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，问题的难点在第三问的第二小问，确定F点为BC的中点是解答本题的关键. 50．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线过，，点为第一象限内抛物线上一动点： (1)求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式； (2)在轴上取，连接，，当面积最大时，求点横坐标； (3)当时，点在抛物线对称轴右侧时，直线上存在两点（在上方），，动点从出发，沿运动到终点，当运动路程最短时，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设直线的表达式为，将点D，E代入，解关于k，c的二元一次方程组求解即可；将点D，E代入，解关于a，b的二元一次方程组即可求解； （2）如图，连接，过点作轴于点，作轴于点，分别表示出，即可表示出，通过列方程求解即可； （3）根据题意可得，则可得到；如图所示，取，作点T关于直线的对称点K，连接，设直线与x轴，y轴分别交于、H，连接，证明，由轴对称的性质可得，，则，可得；证明四边形是平行四边形，得到，则当三点共线时，的值最小，即此时点Q的运动路程最小，同理可得直线解析式为，联立，解得，则；设，则，可得． 【详解】（1）解：设直线的表达式为． 直线经过点和点， ，解得 直线的表达式为； 将点、的坐标代入抛物线函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图，连接，过点作轴于点，作轴于点， 将代入，得， ，． ， ． ， ．设点的坐标为． ，， ， ， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴此时； 点的坐标是或． （3）解：∵， ∴或， ∵点在抛物线对称轴的右侧，即在直线的右侧， ∴点； 如图所示，取，作点T关于直线的对称点K，连接，设直线与x轴，y轴分别交于、H，连接， ∴， ∴，， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵动点从出发，沿运动到终点， ∴点Q的运动路程， ∴当三点共线时，的值最小，即此时点Q的运动路程最小， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴； 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，轴对称的性质，平移，解二元一次方程组，平行四边形的判定和性质，勾股定理，交点坐标等问题，根据平移和轴对称做辅助线，利用方程求交点坐标是解交本题的关键． 51．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)当时，直接写出点A、B、C、D的坐标： A ，B ，C ，D ； (2)如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记． ①用含t的代数式表示f； ②请直接写出f的最大值为： ． 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】 （1）当时，抛物线的表达式为：，即可求解； （2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，进而求出点，，利用，即可求，解，故点、的坐标分别为、，，代入抛物线即可作答； （3）①证明，故，则，即可求解； ②，即可求解． 【详解】（1） 当时，抛物线的表达式为：， 令，则或；当时，，函数的对称轴为， 故点、、、的坐标分别为、、、； 故答案为：、、、； （2） ，令，则，则点， 函数的对称轴为，故点的坐标为， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则，故点，， 则， ， 解得：， 故点、的坐标分别为、，， 抛物线的表达式为：， （3） ①如图，作与的延长线交于点， 由（2）知，抛物线的表达式为：， 故点、的坐标分别为、，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：； 设点，则点； 则， 由点，、的坐标得，直线的表达式为：， 则点，故， ，轴， 故，， ，故， 则， ； ②； 当时，． 故答案为： $$