专题14 中点相关问题（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

专题14　中点相关问题 2024四川数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1．倍长过中点的线段． 2．构造中位线． 3．直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半． 4．垂径定理及逆定理． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 总目录 2 必备素养 模型观念，推理能力，运算能力；转化思想． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 总目录 3 素养积累 例 1 (2023·创编) 【问题情境】课外兴趣小组活动时， 老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝6，求BC边上的中 线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD至点E，使DE＝AD，连接BE.请根据小明的方法思考： 倍长过中点的线段 素养导向 1 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是__________； A．SAS B．SSS C．AAS D．HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______________． [解答]解：[由(1)，得△ADC≌△EDB. ∴AC＝BE＝6. 在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE， 即12－6＜2AD＜12＋6. ∴3＜AD＜9.] A 3＜AD＜9 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.若EF＝4，EC＝3，求线段BF的长； 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 [解答]解：图②中，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM. ∵AE＝EF，EF＝4，EC＝3， ∴AC＝AE＋EC＝4＋3＝7. ∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD. ∴△ADC≌△MDB(SAS)． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M. ∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE. ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M. ∴BF＝BM＝AC＝7. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.试猜想线段BE，CF，EF三者之间的数量关系，并证明你的结论． [解答]解：BE2＋CF2＝EF2. 证明：延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF，GC. ∵ED⊥DF，∴EF＝GF. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴△DBE≌△DCG(SAS). ∴BE＝CG，∠B＝∠GCD. ∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°. ∴∠GCD＋∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°. 在Rt△CFG中，由勾股定理，得 GC2＋CF2＝GF2. ∴BE2＋CF2＝EF2. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 (2023·湘潭) 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转． 特例感知：(1)当BG在BC上时，连接DF，AC相交 于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①所示． 针对小红发现的结论，请给出证明； 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 解：图①中，延长FG，交AC于点H. ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ∴BC＝CD，FG＝BG，CD∥AE，FG∥AE， ∠CGH＝∠BGF＝90°. ∴∠CHG＝45°，CD∥FG. ∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP. ∴CG＝GH.∴CG＋BG＝GH＋FG. ∴BC＝FH.∴CD＝FH. ∴△CDP≌△HFP(ASA)．∴CP＝HP. ∴点P是DF的中点． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点 恰好也是DF的中点P，如图②所示．根据小红发现 的结论，请判断△APE的形状，并说明理由； 解：△APE是等腰直角三角形． 理由：图②中，延长EG，交AD的延长线于点M， 设DF和EG交于点Q. ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，AD＝AB，BE＝EF，AD∥BC∥EF，∠BAC＝45°. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，∠MDQ＝∠EFQ. ∴∠M＝∠BEG. ∴AM＝AE.∴AM－AD＝AE－AB. ∴DM＝BE.∴DM＝EF. ∴△DQM≌△FQE(ASA)．∴DQ＝FQ. ∴点Q和点P重合，即EG与DF的交点恰好也是DF 的中点P. ∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°， ∴∠APE＝90°，AP＝EP. ∴△APE是等腰直角三角形． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 规律探究：(3)如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF的中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 解：△APE仍然是等腰直角三角形． 理由：图③中，延长EP至Q，使PQ＝PE，连 接DQ，AQ，延长DA和FE交于点N. ∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF， ∴△PDQ≌△PFE(SAS)． ∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF. ∴DQ∥EF.∴∠N＋∠ADQ＝180°. ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝ 90°，AB＝AD，BE＝EF. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴∠N＋∠ABE＝360°－∠BAN－∠BEN＝ 360°－90°－90°＝180°，DQ＝BE. ∴∠ABE＝∠ADQ. ∴△ADQ≌△ABE(SAS)． ∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE. ∴∠BAE＋∠BAQ＝∠DAQ＋∠BAQ＝∠BAD ＝90°.∴∠QAE＝90°. ∴△APE是等腰直角三角形． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 解题时，条件中若出现“中点”，“中线”等字样，可以考虑倍长中线(过中点的线段)构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，解决问题的关键是“倍长中线(过中点的线段)”． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 2 (2023·烟台) 如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE. 中位线问题 素养导向 2 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 [解答]证明：∵△ACD，△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形，∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE. ∵∠A＝∠CBE， ∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB. ∴AD∥CE.∴∠ADC＝∠DCE. ∴∠DCE＝∠CEB. 又∵EF＝AD＝CD，CE＝EB， ∴△DCE≌△FEB(SAS).∴DE＝BF. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长． [解答]解：∵∠A＝∠DCA＝∠ECB＝∠CBE， ∴DC∥BE. 过点G作GH∥CD，交CE于点H. ∴GH∥CD∥BE. ∵DG＝EG，GH∥BE，∴CH＝EH. ∵AD＝2，AD＝CD， 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形 的中位线，对角线AC交EF于P，若BC＝10，EF＝8， 求PF的长． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 中位线相关问题，即利用平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 3 (2023·青羊区) 数学中有一个定理叫做直角三角形斜边中线定理，它的内容是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请同学们运用这个定理探究下面的数学问题： 已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连接DF，CF. 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半” 素养导向 3 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)如图1，当D在AB上，E在AC上时，线段CF，DF的 数量关系是____________，并且可以得到∠CFD＝ __________(填度数)； [解答] 解：[∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°. ∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点， ∴DF＝BF＝EF，CF＝BF＝EF. ∴DF＝CF，∠DBF＝∠FDB，∠FBC＝∠CBF. ∴∠DFE＝2∠DBF，∠CFE＝2∠CBF. ∴∠DFC＝2∠DBC＝90°.] CF＝DF 90° 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)在图1的基础之上，将△ADE绕点A顺时针旋转45°得到图2，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由； [解答] 解：结论仍然成立． 理由：图2中，延长DF交BC于H. ∵F为BE的中点，∴BF＝EF. ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AD＝ED，AC＝BC，∠ACB＝∠ADE＝∠CDE＝90°. ∴BC∥DE.∴∠BHF＝∠EDF. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 又∵∠DFE＝∠BFH， ∴△DEF≌△HBF(AAS)． ∴DF＝FH，DE＝BH. ∵AD＝ED＝BH，AC＝BC，∴DC＝CH. 又∵DF＝FH，∠ACB＝90°， ∴CF＝DF，∠DFC＝90°. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 [解答] 解：图3中，延长DF交BA于点H，连接CH，CD. ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， 由旋转可以得出∠CAE＝∠BAD＝90°. ∵∠EAC＝∠ACB＝90°，∴AE∥BC. ∴∠AEB＝∠CBE.∴∠DEF＝∠HBF. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∵F是BE的中点，∴EF＝BF. 又∵∠EFD＝∠BFH， ∴△DEF≌△HBF(ASA)． ∵AD＝BH＝DE，AC＝BC，∠DAC＝∠ABC＝45°，∴△ADC≌△BHC(SAS)． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴CH＝CD，∠ACD＝∠BCH. ∵∠BCH＋∠ACH＝90°， ∴∠ACD＋∠ACH＝90°. ∴∠DCH＝90°. 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 (2023·创编) 如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，求AG的长． 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°. 在Rt△BCE中，F为斜边CE的中点， 在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5， 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 当几何问题中出现了直角三角形斜边上的中点时，就应想到要应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明变式． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 [解答] 解：△CFG是等腰三角形． 证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠CAD＋∠AGC＝90°， ∵CE⊥AB，∴∠AFE＋∠BAD＝90°. 圆中弦(或弧)的中点问题 素养导向 4 例 4 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴∠CAD＝∠BAD.∴∠AGC＝∠AFE. ∵∠AFE＝∠CFG，∴∠CGF＝∠CFG. ∴CF＝CG. ∴△CFG是等腰三角形． 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直构造中位线解题． (2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点垂直”解决相应问题(如图1). 图1 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”“垂径定理”解决相应问题(如图2). 图2 返回首页 专题14　中点相关问题 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P103～104专题练测14 在△ADC和△MDB中， 在△BDE和△CDG中， ∴AP⊥EQ，AP＝PE＝EQ. ∴CD＝2.∴GH＝CD＝1. 设CE＝BE＝m.∴EH＝m. ∵EF＝AD＝2，∴FH＝m－2. ∵GH∥BE，∴△GHF∽△BEF. ∴＝，即＝. 解得m＝2＋2或m＝2－2(舍去). ∴BE的长为2＋2. 解：在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，∴EF＝(AD＋BC)，PF是△ADC的中位线． ∵BC＝10，EF＝8，∴AD＝6.∴PF＝AD＝3. (3)在图1的基础之上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到图3，若AD＝，AC＝4，求此时线段CF的长． ∴AC＝BC＝4，AD＝DE＝. ∴∠AED＝∠ABC＝45°，AB＝4. ∴ED＝HB＝，DF＝FH.∴AH＝3. 在Rt△HAD中，DH＝＝＝2. ∴CF＝DH＝. ∴BF＝CE＝×10＝5.∴BG＝BF＝5. 由勾股定理，得AG＝＝3. (2023·创编) 如图，已知AB是⊙O的直径，C是上的一点， CE⊥AB于点E，D是的中点，AD交CE于点F，交BC于点G.判断△CFG的形状，并证明． ∵D是的中点， $$