专题12 “手拉手”型全等及相似（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

专题12　“手拉手”型全等及相似 2024四川数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1．旋转的性质 2．“手拉手”模型 (1)有公共顶点的等边三角形“手拉手”得全等． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 总目录 (2)有公共顶点的等腰直角三角形“手拉手”得全等． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 总目录 (3)有公共顶点的直角三角形“手拉手”得相似． (4)有公共顶点的一般三角形“手拉手”得相似． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 总目录 2 必备素养 几何直观，推理能力，模型观念；化归思想． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 总目录 3 素养积累 例 1 (2023·创编) 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE. [解答] 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE， 即∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS)． ∴BD＝CE. 等边三角形“手拉手”模型 素养导向 1 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 遇共顶点的两个等边三角形，即联想其中的全等三角形和相似三角形． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 2 如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点E恰好落在边BC上(与点B，C不重合)，连接BD. 等腰三角形“手拉手”模型 素养导向 2 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)求证：BD＝CE； [解答] 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE. ∴∠DAB＝∠EAC. 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴BD＝CE. 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)若AB与DE相交于点F，求证：CE·BE＝CA·BF. [解答] 证明：∵AB＝AC， ∵AD＝AE， 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠ACB＝∠AED. ∵∠CAE＋∠ACE＝∠BEF＋∠AEF， ∴∠CAE＝∠BEF.∴△CAE∽△BEF. ∴CE·BE＝CA·BF. 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 遇共顶点的两个等腰三角形，即联想其中的全等三角形和相似三角形． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 3 (2022·达州) 某校一数学兴趣小组在一次合作探 究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等 腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝ ∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C 按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： 等腰直角三角形“手拉手”模型 素养导向 3 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 【初步探究】 (1)如图2，当ED∥BC时，则α＝__________； 45° 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系： ____________________； 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 【深入探究】 (3)如图4，当点E，F不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立， 请给出推理过程；若不成立，请说明理由； [解答]　解：当点E，F不重合时，(2)中的结论仍然 成立． 理由：由(2)知，△ACE≌△BCD(SAS).∴∠CAF＝ ∠CBD. 图4中，过点C作CG⊥CF交BF于点G. ∵∠ACF＋∠ACG＝90°，∠ACG＋∠BCG＝90°，∴∠BCG＝∠ACF. 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∵∠CBG＝∠CAF，BC＝AC， ∴△BCG≌△ACF(ASA). ∴CG＝CF，BG＝AF. ∴△GCF为等腰直角三角形． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 【拓展延伸】 (4)如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE(m为常数)．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6.试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 图6中，过点C作CG⊥CF交BF于点G. 由(3)知，∠BCG＝∠ACF. 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 遇共顶点的两个等腰直角三角形，即联想其中的全等三角形和相似三角形． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 4 (2023·创编) 如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝ 90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE，若AC∶BC＝3∶4，则BD∶CE 为 __________． 直角三角形“手拉手”模型 素养导向 4 5∶3 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 [解析] ∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE. 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 B 变式 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 2．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF. (1)求证：①∠DAC＝∠FAB； 证明：∵AF⊥DE， ∴∠DFA＝90°＝∠B. ∴Rt△ADF≌Rt△ACB(HL)． ∴∠DAF＝∠CAB.∴∠DAC＝∠FAB. 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ②DF＝CE＋EF； 证明：连接AE. ∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)． ∴EF＝BE. ∵Rt△ADF≌Rt△ACB， ∴DF＝BC＝BE＋CE＝EF＋CE. 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)若AB＝BC，∠CDE＝20°，求∠CAF的度数． 解：∵AB＝BC，∠B＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵Rt△ADF≌Rt△ACB， ∴∠ADF＝∠ACB＝45°，AD＝AC，∠DAF＝ ∠CAB＝45°. ∵∠CDE＝20°， ∴∠ADC＝∠ADF＋∠CDE＝65°. ∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝65°. ∴∠CAD＝50°. ∴∠CAF＝5°. 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 遇共顶点的两个直角三角形，即联想到其中的全等三角形和相似三角形． 返回首页 专题12　“手拉手”型全等及相似 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P99～100专题练测12 ∴∠ACB＝，∠C＝∠ABC. ∴∠AED＝. ∴＝. [解答]　解：[∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CE＝CD，DF＝CF.∴∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS).∴AF＝AE＝BD.∵BF＝BD＋DF，∴BF＝AF＋CF.] BF＝AF＋CF ∴GF＝CF. ∴BF＝BG＋GF＝AF＋CF. [解答]　解：BF＝mAF＋·FC. 理由：由(2)知，∠ACE＝∠BCD. 而BC＝mAC，CD＝mCE，即＝＝m， ∴△BCD∽△ACE.∴∠CBD＝∠CAE. ∴△BGC∽△AFC. ∴＝＝＝m. ∴BG＝mAF，CG＝mCF. 在Rt△CGF中，GF＝＝＝·CF. ∴BF＝BG＋GF＝mAF＋·FC. ∴∠BAC＝∠DAE，＝. ∵∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE ＝∠BAD， ∴△ACE∽△ABD.∴＝. ∵AC∶BC＝3∶4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴设AC＝3x，BC＝4x. 在Rt△ABC中，AB＝＝＝5x. ∴AC∶BC∶AB＝3∶4∶5.∴BD∶CE＝5∶3. 1.(2023·创编) 如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB′C′，连接CC′，将CC′沿C′B′方向平移至EB′，连接BE，若CC′＝，则BE的长为(　　) A．1　　 B．　　 C．　　 D．2 在Rt△ADF和Rt△ACB中， 在Rt△AEF和Rt△AEB中， $$