专题6 几何变换——对称（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

专题6　几何变换——对称 2024四川数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1．轴对称与中心对称的性质与作法． 2．坐标与图形变化——对称 (1)P(a，b)关于x轴对称的点(a，－b). (2)P(a，b)关于y轴对称的点(－a，b). (3)P(a，b)关于原点对称的点(－a，－b). (4)P(a，b)关于直线x＝m对称的点(2m－a，b). (5)P(a，b)关于直线y＝n对称的点(a，2n－b). 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 总目录 2 必备素养 数学抽象，几何直观，应用意识，创新意识；数形结合思想，转化思想. 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 总目录 3 素养积累 例 1 (2020·达州) 如图，点P(－2，1)与点Q(a，b)关于直线l(y＝－1)对 称，则a＋b＝__________. 坐标与图形变化——对称 素养导向 1 －5 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 变式 如图，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(4，2).直线BC⊥y轴于 点C.点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标 为________________________________． 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 关于直线对称：①关于直线x＝m对称，P(a，b)→P′(2m－a，b)；②关于直线y＝n对称，P(a，b)→P″(a，2n－b). 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 例 2 (2021·资阳) 将一张圆形纸片(圆心为点O)沿直径MN对折后，按 图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得 到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为________. 剪纸问题 素养导向 2 135° 图1 图2 图3 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 变式 (2023·创编) 在三角形纸片ABC中，∠A ＝90°，∠C＝30°，AC＝30 cm，将该纸片沿 过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点 E处，折痕记为BD(如图1)，剪去△CDE后得到双 层△BDE(如图2)，再沿着过△BDE某顶点的直线 将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则 所得平行四边形的周长为________________cm. 图1　　 图2 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 例 3 (2023·创编) 如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三 角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所 得四边形的周长是_____________． 图形的剪拼 素养导向 3 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 变式 【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学 们以“平行四边形的剪拼”为主题开展数学活动，如 图1，在平行四边形纸片ABCD中，BA＝BC，沿该纸 片对角线AC剪开，得到△BAC和△DAC. 【操作发现】(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心， 逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示 的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，请判断四边 形ACEC′的形状，并说明理由； 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 解：四边形ACEC′是菱形． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA， 即∠BAC＝∠DC′A. ∵BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC. ∵α＝∠BAC，即∠C′AC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠C′AC，∠DC′A＝∠C′AC. ∴AC′∥CE.AC∥C′E. ∴四边形ACEC′是平行四边形． 由旋转的性质，得AC＝AC′. ∴四边形ACEC′是菱形． 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 (2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，得到如图3所示的平行四边形BCC′D，且∠BCC′＝90°，请判断此时α与∠BAC的数量关系，并说明理由； 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 解：α＝2∠BAC. 理由：过点A作AE⊥CC′于点E. 即α＝2∠EAC. ∵∠BCC′＝90°，∴∠AEC′＝∠BCC′. ∴EA∥BC.∴∠BCA＝∠EAC. ∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC＝∠EAC. ∴α＝2∠BAC. 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 【实践探究】(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13 cm，AC＝10 cm，请直接写出BD的长． 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 也可过点B作BF⊥AC于点F来求解．] 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 图形的剪拼主要抓住剪拼的图形与原图形的面积不变，把不规则的图形转化为规则图形，一般用到三角形中位线以及特殊四边形的性质. 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 例 4 (2022·自贡) 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE＋CF的最小值为__________． 轴对称——最短路线问题 素养导向 4 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 [解析] 如图，作点G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH＝1，然后连接HG′交AB于点E，在EB上截取EF＝1，此时GE＋CF的值最小． ∵CH＝EF＝1，CH∥EF， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH＝CF， ∴G′H＝EG′＋EH＝EG＋CF. ∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点， ∴DG′＝AD＋AG′＝2＋1＝3，DH＝4－1＝3. 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 变式 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 最短路线问题(将军饮马问题)：在直线l的同侧有两点A，B，在直线l上有到A，B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点． 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 翻折变换(折叠问题) 素养导向 5 例 5 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 [解析] 如图，过点G作GM⊥DE于点M. ∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3.∴ED＝EC. ∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF， ∴∠3＝∠4. ∴∠1＝∠4. 又∵∠DGE＝∠CGD， 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 ∴DG2＝GE·GC. ∵∠ABC＝90°，DE∥BC，∴AD⊥DE， 设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，∴EC＝DE＝10n， ∴DG2＝GE·GC＝3k×(3k＋10n)＝9k2＋30kn. 在Rt△DGM中，GM2＝DG2－DM2. 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 在Rt△GME中，GM2＝GE2－EM2. ∴DG2－DM2＝GE2－EM2. 即9k2＋30kn－(7n)2＝(3k)2－(3n)2. 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 变式 1.(2023·辽宁) 如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝ 20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点 B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为________________． 25°或115° 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 2．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分 别在AB，BC上(含端点)，且AB＝6 cm，BC＝10 cm.则折痕EF的最大值 是___________cm. 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 返回首页 专题6　几何变换——对称 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P86～87专题练测6 (－1，2)或(－－1，2) 40或 4＋2或8 ∵AC＝AC′，∴∠EAC＝∠CAC′， 解：BD＝ cm. [过点A作 AM⊥BC于点M，AN⊥BD于点N，∴BD＝2AM.设MC＝x，则BM＝13－x，由勾股定理，得AB2－BM2＝AC2－MC2，即132－(13－x)2＝102－x2.解得x＝. ∴AM＝＝(cm). ∴BD＝2AM＝ cm. 3 由勾股定理，得HG′＝＝3， 即GE＋CF的最小值为3. (2023·泸州) 如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE＋PF取得最小值时，的值是_____． (2023·成都) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若＝，则tan A＝________. ∴△DGE∽△CGD，∴＝， ∴AD∥GM，∴＝，∠MGE＝∠A. ∵＝，∴＝. 解得n＝k，∴EM＝k. ∵GE＝3k，∴GM＝＝＝k. ∴tan A＝tan ∠EGM＝＝＝. $$