专题4 坐标系中的特殊三角形（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

专题4　坐标系中的特殊三角形 2024四川数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1．直角三角形、等腰(边)三角形及等腰直角三角形的性质． 2．构造“K型”全等、“K型”相似基本模型． 3．特殊三角形的存在性问题． 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 总目录 2 必备素养 推理能力，运算能力，模型观念；数形结合思想，分类讨论思想． 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 总目录 3 素养积累 例 1 (2022·广安) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋ m(a≠0)与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，其中点B的坐标为(0， －4)，点C的坐标为(2，0). 坐标系中的直角三角形 素养导向 1 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (1)求此抛物线的解析式． [解答] 解：∵抛物线y＝ax2＋x＋m(a≠0)经过 点B(0，－4)，C(2，0)， 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD，BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 解得x＝－4或x＝2.∴A(－4，0). ∵B(0，－4)，∴OA＝OB＝4. 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 －t2－4t＝－(t＋2)2＋4. ∵－1＜0，∴当t＝－2时，△ABD的面积最大， 最大面积为4，此时D(－2，－4). 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． [解答] 解：如备用图，设抛物线的对称轴交x轴 于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M， 则N(－1，0)，M(－1，－4). ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°. ①当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三 角形，∴AN＝NP1＝3.∴P1(－1，3)； 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ②当∠P2BA＝90°时，△BMP2是等腰直角三角 形，∴BM＝MP2＝1.∴P2(－1，－5)； ③当∠APB＝90°时，设P(－1，n)，AB的中点 为J，连接PJ，则J(－2，－2). 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 变式 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 在平面内构造直角三角形，根据直角三角形的特殊性质(如特殊角)进行分析，对于直角三角形的存在性问题，可以借助“一圆两线”来确定点的位置，结合“K型”相似、勾股定理等知识构建方程进行解答． 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 例 2 如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，且OA，OC(OA＞OC)的长分别是一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个实数根． 坐标系中的等腰(边)三角形 素养导向 2 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (1)求点C的坐标； [解答] 解：解方程x2－14x＋48＝0，得x1＝6，x2＝8. ∵OA，OC(OA＞OC)的长分别是一元二次方程 x2－14x＋48＝0的两个实数根， ∴OC＝6，OA＝8.∴C(0，6). 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)求直线MN的解析式； [解答] 解：设直线MN的解析式是y＝kx＋b(k≠0).由(1)知，OA＝8，则A(8，0). ∵点A，C都在直线MN上， 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (3)在直线MN上存在点P，使以P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． [∵A(8，0)，C(0，6)，∴B(8，6). ∵点P在直线MN上， 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 当以P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1(4，3)； 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 变式 (2021·达州) 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A 的坐标为(1，0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时 每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到 △A2OB2，…，依次类推，则点A2 021的坐标为(　　) C 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，运用它们的特殊性解决问题(如特殊角、三线合一的性质)，等腰三角形的存在性问题可借助“两圆一线”来确定点的位置，可以借助两点间距离公式、相等、相似等建立等式进行解答. 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 坐标系中的等腰直角三角形 素养导向 3 例 3 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (1)求直线y＝kx＋2的解析式及点B的坐标； 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC.求经过点C的双曲线的解析式． [解答] 解：过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂 线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于 点D，过点C作CE⊥BF于点E， 则∠D＝∠F＝∠CEF＝∠CEB＝90°. ∴四边形CDFE是矩形．∴∠DCE＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE. 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC， ∴AC＝BC.∴△ACD≌△BCE(AAS). ∴AD＝BE，CD＝CE. 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 变式 (2023·眉山) 如图，在平面直角坐标系xOy中， 点B的坐标为(－8，6)，过点B分别作x轴、y轴的垂线， 垂足分别为C，A，直线y＝－2x－6与AB交于点D，与y 轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝－2x －6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角 形，则点M的坐标为___________________． 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 掌握等腰直角三角形的性质(特别是它的特有性质)，通常构造“K型”全等建立等量关系进行解答． 返回首页 专题4　坐标系中的特殊三角形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P82～83专题练测4 ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－4. [解答] 解：存在．如图，设D， 连接OD. 在x2＋x－4＝0中，令y＝0， ∴S△ABD＝S△AOD＋S△OBD－S△AOB＝×4× ＋×4×(－t)－×4×4＝ ∴PJ＝AB＝2. 由勾股定理，得12＋(n＋2)2＝(2)2. 解得n＝－2或n＝－－2. ∴P3(－1，－2)，P4(－1，－－2). 综上所述，满足条件的点P的坐标为(－1，3) 或(－1，－5)或(－1，－2)或(－1，－－2). 如图，已知直角三角形ABO中，AO＝1，将△ABO绕O点旋转至△A′B′O的位置，且A′在OB的中点处，点B′在反比例函数y＝上，则k的值________． ∴解得 ∴直线MN的解析式为y＝－x＋6. [解答] 解：点P的坐标为(4，3)或 或或. ∴设P(a，－a＋6). ②当PC＝BC时，a2＋＝64.解得a＝±. ∴P2，P3； ③当PB＝BC时，(a－8)2＋＝64. 解得a＝.∴P4.] A．(－22 020，－×22 020) B．(22 020，－×22 021) C．(22 020，－×22 020) D．(－22 021，－×22 021) (2021·广元) 如图，直线y＝kx＋2与双曲线y＝相交于点A，B，已知点A的横坐标为1. [解答] 解：∵点A在双曲线y＝上，且点A的横坐标为1， ∴点A的纵坐标为＝.∴A. ∵点A在直线y＝kx＋2上， ∴k＋2＝.∴k＝－. ∴直线AB的解析式为y＝－x＋2. 联立解得或 ∴B. 设点C(m，n).∵A，B， ∴AD＝n－，CD＝m－1，BE＝3－m，CE＝n－. ∴解得 ∴C. 设过点C的双曲线的解析式为y＝. ∴k′＝2×＝5. ∴过点C的双曲线的解析式为y＝. (－8，6)或 $$