第29讲 与圆有关的位置关系（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

第29讲　与圆有关的位置关系 2024四川数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 三角形的外接圆 三角形的内切圆 切线 圆幂定理 切线长定理 相交弦定理 切割线定理 割线定理 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 点P在圆外⇔①________ 点P在圆上⇔d＝r 点P在圆内⇔0≤d＜r　　 点与圆的位置关系 d为点P到圆心 O的距离 直线l与⊙O相交⇔0≤d＜r 直线l与⊙O相切⇔②________ 直线l与⊙O相离⇔d＞r　　 直线与圆的位置关系 d为圆心O到l的 距离 d＞r d＝r 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 定义：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，圆心叫三角形的外心 三角形的外接圆 外心 得到：三角形三边中垂线的交点 性质：外心到三角形三个顶点距离相等 位置：锐角三角形在三角形内，直角 三角形在斜边中点，钝角三角形 在三角形外 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 定义：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心叫三角形的内心 三角形的内切圆 内心 得到：三角形三条角平分线的交点 性质：内心到三角形三边距离相等 位置：都在三角形内　 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 性质：圆的切线垂直于过切点的半径 推论：(1)过切点；(2)过圆心；(3)垂直于切线(知三推一) 切线 判定 定理：经过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线 类型 已知切点：连半径，证垂直 未知切点：作垂直，证半径 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点与圆心的连线平分两切线的夹角 运用：∵PA，PB为⊙O的切线， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO　 切线长 定理 定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两 条线段的积相等 运用：∵弦AB，CD交于点P， ∴PA·PB＝PC·PD　 相交弦 定理 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 定理：从圆外引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆两个交点的线段长的比例中项 运用：∵PT为⊙O的切线，PAB为⊙O的割线， ∴PT2＝PA·PB　 切割线 定理 定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到两条割线与圆的交点的两条线段的乘积相等 运用：∵PAB，PCD为⊙O的割线， ∴PA·PB＝PC·PD 割线 定理 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 ►课标要求1　探索并掌握点与圆的位置关系 1．(湘教九下P46练习T2改编) 已知⊙O的半径为4，B为线段OA的中点， 当点B在⊙O外时，则线段OA的长度应满足的条件为___________. (对照2022年版新课标) OA＞8 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 ►课标要求2　了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念 2．(华师九下P50练习T1改编) 已知圆的半径为5 cm，当圆心到直线l的 距离为3 cm时，直线l与圆有__________个公共点． 2 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 3．(华师九下P56习题T11改编) 如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O 相切于点D，且∠CDA＝28°，则∠A的度数为__________． 62° 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 ►课标要求3　了解三角形的内心和外心 4．(人教九上P100练习T1改编) 如图，△ABC中，∠A＝56°，O是 △ABC的内心，则∠BOC度数为__________． 118° 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 ►课标要求4　探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等 5．(人教九上P101习题T6改编) 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切 点，AC是⊙O的直径．则∠P与∠CAB之间的数量关系为_____________. ∠P＝2∠CAB 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P(3，4) 与⊙O的位置关系是(　　) A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 ∴OP＝r.∴点P在⊙O上．故选B． 点与圆的位置关系 命题点 1 B 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式　P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大 距离是9 cm，则⊙O的半径是____________________． 6.5 cm或2.5 cm 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6.以C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为__________． 直线与圆的位置关系(重点) 命题点 2 4.8 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式 已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2 cm，线段OA＝ 3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 D 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 切线的性质与判定(重点) 命题点 3 C 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 [解析] 连接OB. ∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC. ∴∠ABO＝∠CBO＝90°. 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式 如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E分别为边AB，AC上的点， 且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周 长是__________． 7 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2023·巴中) 如图，⊙O是△ABC的外接圆， 若∠C＝25°，则∠BAO＝(　　) A．25° B．50° C．60° D．65° [解析] 连接OB. ∵∠C＝25°，∴∠AOB＝50°. 又∵OA＝OB，∴∠BAO＝65°.故选D． 三角形的外接圆与内切圆 命题点 4 D 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高， 点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB＝__________. 135° 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2022·眉山) 如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形 脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的 鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数 为(　　) A．28° B．50° C．56° D．62° C 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2022·自贡) P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10， ∠OPT＝30°，则PT长为(　　) A 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．(2022·资阳) 如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的 切线AD.若∠B＝35°，则∠DAC的度数是__________度． 35 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．(2023·德阳) 如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC的三边相切，已知AB＝10 m，AC＝8 m，BC＝ 6 m．若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为 __________．(π取3) 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5．(2022·宜宾) 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为__________． 289 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (1)求证：BC∥PF； 证明：连接OD. ∵PF是⊙O的切线， ∴OD⊥PF.∴BC∥PF. 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 解：连接BD.设AE＝x，则AD＝1＋x. ∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD. 又∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC. 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴CD2＝DE·AD＝1＋x＝BD2. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴AD2＋BD2＝AB2. 解得x＝3或x＝－6(舍去). ∴AE＝3. 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (3)在(2)的条件下，求△DCP的面积． 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 由(1)知，OD⊥PD，OH⊥BC. ∴四边形CHDP为矩形． 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．数学文化(2023·镇江)《九章算术》中记载：“今有勾 八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在 有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为 15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出 的算法译文如下：如图，根据短直角边的长、长直角边的长，求得斜边 的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积 再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径.根 据以上方法，求得该直径等于__________步．(注：“步”为长度单位) 6 返回首页 第29讲　与圆有关的位置关系 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P58～59素养综合练测29 [解析] 由勾股定理，得OP＝＝5. [解析] ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10. 根据切线的性质，得到圆的半径等于AB边上的高， ∴AB×r＝AC×BC. ∴r＝＝＝＝4.8. (2023·重庆A) 如图，AC是⊙O的切 线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB ＝2，BC＝3，则OC的长度是(　　) A．3 B．2 C． D．6 ∵∠A＝30°，AB＝2，∴OB＝AB＝2. ∵BC＝3，∴OC＝＝＝.故选C． A．5 B．5 C．8 D．9 6．(2022·绵阳) 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E. ∵D为劣弧的中点， ∴＝.∴OD⊥BC. (2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度； ∵＝， ∴＝. ∵⊙O的半径为，∴AB＝2. ∴(1＋x)2＋(1＋x)＝(2)2. 解：设OD与BC交于点H.由(2)知，AE＝3，AD＝AE＋DE＝4，DB＝＝2. ∵∠ADB＝90°， ∴cos ∠DAB＝＝＝. ∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO. ∴cos ∠ADO＝cos ∠DAB＝. ∵OH⊥BC， ∴BH＝CH，cos ∠ADO＝. ∴DH＝.∴OH＝－＝. ∴BH＝＝. ∴CH＝BH＝. ∴∠P＝90°，CP＝DH＝，DP＝CH＝. ∴S△DCP＝CP·DP＝. $$