第28讲 圆的基本概念与性质（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

第28讲　圆的基本概念与性质 2024四川数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 圆的基本概念与性质 基本概念 圆的对称性 垂径定理 圆周角 圆心角、弧、弦、弦心距的关系 圆内接四边形 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 定义：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧 在同圆或等圆中，能够①__________的两条弧叫等弧 基本 概念 弧 完全重合 等弧 【温馨提示】 等弧的长度和度数一定相等，长度或度数相等的弧不一定是等弧． 定义：连接圆上两点之间的线段叫弦 【温馨提示】直径是弦，弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦． 弦 定义：弦和弦所对弧组成的图形叫弓形 弓形高：弦中点和弧中点所连线段叫弓形高 弓形 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线(有无数条) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心 圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都能与它自身重合 圆的对称性 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论(知二推三)：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦； (4)平分优弧；(5)平分劣弧 特别：平分弦(非直径)的直径②________于弦，并且 ③________弦所对的两条弧 运用：赵州桥专题(知二求三) 如图，圆的半径为R，l是弦长(跨度)，d是弦心距， 两条平行弦之间所夹的弧④________　 垂径定理 垂直 平分 相等 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑤________ 圆周角 一半 推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角⑥________ (2)直径所对的圆周角为⑦________；90°的圆周角所对的弦是⑧________ 相等 90° 直径 弧的度数＝所对圆心角度数＝2倍所对圆周角度数 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦及两条弦的弦心距中有一组量相等，则其余各组量分别相等(知一推三) 圆心角、 弧、弦、 弦心距 的关系 确定圆 的条件 条件：(1)确定圆心；(2)确定半径 经过一个已知点：可以画无数个圆 经过二个已知点：可以画无数个圆(圆心在两点所在线段的垂直平分线上) 经过三个已知点 (1)三点在同一直线上：不能画圆 (2)定理：不在同一直线上的三点确定一个圆(确定：有且只有) 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 性质：圆内接四边形对角⑨________，一个外角等于它的内对角 圆内接 四边形 互补 判定 (1)到定点的距离等于定长的四个点共圆 (2)对角互补的四边形的四个顶点 共圆(一个外角等于它的内对角 的四边形的四个顶点共圆) (3)两个三角形在公共边同侧，且公共边所对的角相等的四个点共圆 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 ►课标要求1　理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念 1.(湘教九下P57习题T9改编) 如图，点A，B，C均在半径 为3的⊙O上，连接AB，BC，AC，OB，且AC过点O. (1)⊙O的弦有_______________，最长的弦是_________， 其长度为__________； (对照2022年版新课标) AB，AC，BC AC 6 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 (2)弦AB所对的圆心角是__________，所对的圆周角是 __________； (3)⊙O的劣弧有____________，优弧有____________； (4)∠AOB＝__________∠ACB＝__________∠OBC. ∠AOB ∠ACB 2 2 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 ►课标要求2　探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 2．(华师九下P40练习T2改编) 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点 D，且AB＝8，DC＝2，则⊙O的半径为__________． 5 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 3．(人教九上P83练习T2改编) 如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直的 两条弦，已知OA＝5，AB＝8，则AC的长为__________． 6 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 ►课标要求3　探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 4．(华师九下P45习题T6改编) 如图，∠A是⊙O的圆 周角，若∠OBC＝50°，则∠A＝__________°. 40 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 5．(华师九下P45习题T5改编) 如图，AB是⊙O的直径，已知AC＝BD， ∠A＝60°，则∠COD＝__________°. 60 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 ►课标要求4　了解并证明圆内接四边形的对角互补 6．一题多解法(华师九下P46习题T7改编) 如图，AB＝AC，求证：AD＝AE. 证明：(方法一)连接DE， 则∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE. (方法二)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∴AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE. 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 ►课标要求5　能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆 7．(北师九下P87习题T1改编) 如图，有A，B，C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小 区之间修建一个购物超市，使得超市到三个小区 的距离相等，请仅用尺规作图，确定超市的位置． (保留作图痕迹，不要求写出作法) 解：如图，点P的位置即为所求． 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD ＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 垂径定理及其推论(重点) 命题点 1 B 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ∵AD＝CD＝8，∴D为AC的中点． ∵AO＝CO，∴OD⊥AC. ∴OB＝10. ∴BD＝OB－OD＝10－6＝4.故选B． 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 (2023·南充) 如图，AB是⊙O的直径，D，M分别是弦AC，弧 AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是__________. 4 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 A．13 cm B．16 cm C．17 cm D．26 cm A 图1 图2 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴OD⊥AB，AC＝BC＝12 cm. 设OA＝r cm，则OC＝(r－8)cm. 由勾股定理，得122＋(r－8)2＝r2. 解得r＝13. 图2 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 (2023·永州) 如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的 半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度 为___________cm. 16 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·自贡) 如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连 接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是(　　) A．41° B．45° C．49° D．59° [解析] ∵∠DCA＝41°，∴∠DBA＝41°. ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°.∴∠ABC＝49°. 弧、弦、圆心角、圆周角的关系(重点) 命题点 2 C 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 A．140° B．120° C．110° D．70° A 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD.若∠AOD ＝120°，则∠CAO的度数为(　　) A．10° B．15° C．20° D．30° B 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ∵BC∥AD，∴∠CBD＝∠ADB. ∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADB. ∵AC⊥BD，∴∠AFD＝90°. ∴∠CAD＝∠ADB＝45°. 又∵∠AOD＝120°，OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°. ∴∠CAO＝∠CAD－∠OAD＝15°. 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2022·自贡) 如图，四边形ABCD内接于 ⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD 的度数是(　　) A．90° B．100° C．110° D．120° 圆内接四边形的性质 命题点 3 C 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 (2023·赤峰) 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°， 连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是(　　) A．25° B．30° C．35° D．40° A 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 B 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 C 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3．(2022·广元) 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若 ∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为(　　) A．25° B．35° C．45° D．65° A 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 A．18° B．21° C．22.5° D．30° C 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 5．(2022·内江) 如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于__________． 100° 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7．(2022·自贡) 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示， 测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为_________厘米. 26 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 8．(2023·江西) 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则 经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 D 返回首页 第28讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P56～57素养综合练测28 h表示弓形高，α是圆心角，则R2＝2＋(R－h)2 ， ， ∴＝.∴＝.∴BD＝CE. 由勾股定理，得OC＝＝＝10. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，则⊙O的半径OA为(　　) [解析] ∵D是的中点， ☞变式 (2023·宜宾) 如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于(　　) 1．(2023·凉山州) 如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB ＝30°，BC＝2，则OC＝(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 2．(2022·泸州) 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC＝4，DE＝4，则BC的长是(　　) A．1 B． C．2 D．4 4．(2021·眉山) 如图，在以AB为直径的⊙O中， 点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E， 弦AF交CE于点H，交BC于点G.若点H是AG的 中点，则∠CBF的度数为(　　) 6．(2021·成都) 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为__________. 2 $$