第24讲 解直角三角形及其实际应用（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

第24讲　解直角三角形及其实际应用 2024四川数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 解直角三角形及其实际应用 解直角三角形 坡度(坡比)、坡角 解直角三角形的实际应用 仰角、俯角 方位角 模型 方法 应用测量 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 解直角三角形 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线③_______的角叫仰角，视线在水平线④_______的角叫俯角 上方 下方 坡度(坡比)、 坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平面的夹角叫 坡角． i＝tan α＝⑤__________ 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 方位角：南北∥南北，东西∥东西；南北偏东西，图中讨 论的每个点都画“十字架”，如东南方指南偏东45°；如 图，A点在B点北偏东50°，则B点在A点⑥__________ 南偏西50° 模型：(1)靠背型　(2)母抱子型　(3)组合型　　 (4)爬坡型　　 (5)叠型 方法：(1)勾股定理；(2)三角函数；(3)设k法(方程思想)；(4)射影定理；(5)数形结合；(6)作垂线；(7)两个△：用一个△设未知数，用另一个△列方程 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 (1)底部可以到达　　　　(2)底部不能到达 应用测量 GF＝GE＋EF EC＝ED＋CD＝AD·tan α＋AB 【提分点拨】 1．一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位，如1.00精确到百分位，1.0精确到十分位． 2．在计算过程中，比计算结果要求多保留一位数进行计算． 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 ►课标要求　能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些 简单的实际问题 1．(华师九上P117习题T4改编) 如图，小兵同学从A处出发向正东方向走 x米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC＝α，则A，C 两处 相距(　　) (对照2022年版新课标) B 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 2．(湘教九上P126例1改编) 如图，某数学兴趣小组 测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角 为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A， B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则这棵树 CD的高度是(　　) A 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 3．(人教九下P77练习T2改编) 如图，一河坝横断面的迎水坡AB的坡度 为1∶2，坝高BC＝3 m，则AC的长度为(　　) A 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 4．(人教九下P35例2改编) 如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°， ∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若∠A＝60°，求BC的长； 解：∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，∴∠E＝30°. 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 ∴设BE＝4x，则AE＝5x，AB＝3x. ∴3x＝6，解得x＝2，∴BE＝8，AE＝10. 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 5．(人教九下P76例5改编) 如图，一艘海轮位于灯塔P的北 偏东72°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航 行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处． 这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据： sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84) 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 解：如图，由题意，得PC⊥AB，EF∥AB， ∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°. 在Rt△APC中，AP＝100海里， ∴PC＝AP·sin 72°≈100×0.95＝95(海里). 在Rt△BCP中， ∴B处距离灯塔P约有148海里． 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 解直角三角形 命题点 1 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 [解析] 设C(a，0)，∴OC＝a. ∵A(1，0)，B(0，－3)， ∴OA＝1，AC＝a－1，OB＝3， 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 过点C作CD∥y轴交BA的延长线于点D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD. ∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D. 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 2或14 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (2022·宜宾) 宜宾东楼始建于唐代，重建于 宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼(如 图1)成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化 地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯 步A处(如图2)测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为 7∶24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D 的仰角为60°，求东楼的高度DE. 解直角三角形的实际应用 命题点 2 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 ∠DAC＝45°，∠C＝90°. 设BF＝7a米，AF＝24a米， ∴(7a)2＋(24a)2＝252. 解得a＝1. ∴AF＝24米，BF＝7米． ∵∠DAC＝45°，∠C＝90°， ∴∠DAC＝∠ADC＝45°. ∴AC＝DC. 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 设DE＝x米，则DC＝(x＋7)米，BE＝CF＝x＋7－24＝(x－17)米． 解得x≈41. 答：东楼的高度DE约为41米． 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 ☞变式 (2023·眉山) 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方 向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东 45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 __________海里． 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2022·宜宾) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5， BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB 于点F，则cos ∠ADF的值为(　　) C 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2022·绵阳) 如图，测量船以20海里每小时 的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量， 测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东 15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上． 航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点 C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝____________海里(计算结果不取近似值)． 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 3．(2023·成都) 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区 服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在 侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端 离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD 的长．(结果精确到0.1米；参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96， tan 16°≈0.29) 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 解：过点A作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K. 在Rt△ABT中，BT＝AB·sin ∠BAT＝5×sin 16° ≈1.4(米)，AT＝AB·cos ∠BAT＝5×cos 16°≈ 4.8(米). ∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°， ∴四边形ATCK是矩形． ∴CK＝AT≈4.8米，AK＝CT＝BC－BT＝4－1.4＝2.6(米). 在Rt△AKD中，∵∠ADK＝45°， ∴DK＝AK＝2.6米． ∴CD＝CK－DK≈4.8－2.6＝2.2(米). ∴阴影CD的长约为2.2米． 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 4．(2023·仙桃) 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 解：过点D作DE⊥BC于点E. 由题意，得AF⊥BC，DE＝AF. 设AF＝3x米，则BF＝4x米． 在Rt△ABF中， 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 在Rt△DEC中，CD＝20，∠C＝18°， ∴DE＝CD·sin C＝20×sin 18°≈20×0.31＝6.2. 答：斜坡AB的长约为10.3米． 返回首页 第24讲　解直角三角形及其实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P48～49素养综合练测24 (1)已知斜边和一直角边(c，a)，由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝①__________ (2)已知两直角边(a，b)，由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－ ∠A；c＝②__________ (3)已知斜边和锐角(c，∠A)，则∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A (4)已知一直角边和锐角(a，∠A)，则∠B＝90°－∠A，b＝，c＝　 ＝＋AB A．米 B．米 C．x·sin α米 D．x·cos α米 A．8(3－)m B．8(3＋)m C．6(3－)m D．6(3＋)m A．6 m B．3 m C．9 m D．6 m 在Rt△ABE中，∵AB＝6，tan A＝， ∴BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6. ∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝， ∴CE＝＝＝8. ∴BC＝BE－CE＝6－8. (2)若sin A＝，求AD的长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留 根号) 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝＝， ∴tan E＝＝＝＝，∴DE＝. ∴AD＝AE－DE＝10－＝. BP＝≈≈148(海里)， (2023·广元) 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若 tan ∠ABC＝，则点C的坐标为__________. BC＝＝. 在Rt△OAB中，tan ∠OBA＝＝. ∵tan ∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC. ∴＝，CD＝BC. ∴＝.∴＝. 解得a＝0(舍去)或a＝.∴C. ☞变式 (2021·内江) 已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为__________． (结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4) [解答] 解：由题意，得tan ∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°， ∵tan ∠DBE＝＝， ∴tan 60°＝. 6(＋1) A． B． C． D． (5－5) ∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝. AB＝＝＝5x. ∴AF＝DE＝6.2.∴3x＝6.2，解得x＝. ∴AB＝5x＝5×≈10.3(米). $$