第21讲 相似三角形（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

第21讲　相似三角形 2024四川数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 相似三角形 比例尺 成比例线段 黄金分割 平行线分线段成比例 相似三角形的判定 基本模型 相似三角形的性质 相似三角形的运用 相似多边形 补充定理 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 比例尺：图上距离与实际距离的比 成比例线段 概念：四条线段a，b，c，d满足a∶b＝c∶d，那么这四条线段成比 例线段，a，d叫①_________，b，c叫②_________，d叫第四比例项 比例外项 比例内项 注意 (1)有序性；(2)线段取正值；(3)数可以是负数；(4)线段统一长度单位． 比例性质 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 比例中项：如果a∶b＝b∶c(或b2＝ac)，那么b是a，c的比例中项 黄金分割 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 黄金分割 注意 (1)一条线段有2个黄金分割点；(2)知一求二(AC，AB，BC)； 黄金矩形：宽与长之比等于黄金比的矩形是黄金矩形 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形．如图， ∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，则BC2＝BD2＝ AD2＝CD·AC　 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 平行线分线段成比例 推论：平行三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 (1)两角对应相等的两个三角形相似 (2)两边对应成比例且④______相等的两个三角形相似 (3)三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定 一般三角形 夹角 直角三角形 (1)一个锐角对应相等 (2)两边对应成比例 两直角边对应成比例 斜边和一条直角对应成比例 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 基本模型 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 (1)相似三角形对应角⑤__________，对应边⑥__________，对应高(中线、角平分线)⑦__________ (2)相似三角形周长之比等于⑧__________，面积之比等于 ⑨_______________ 相似三角形的性质 相等 成比例 成比例 相似比 相似比的平方 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 求面积：(1)面积比等于相似比的平方；(2)同高不同底， 面积之比等于底边之比；(3)同底等高，三角 形面积相等 相似三角形的运用 计算三角形的边和角 证明线段乘积式的步骤 (1)乘积式化比例式，上下左右找相似； (2)用相等线段替换后再找相似； (3)找中间比； (4)作辅助线：常过分点作平行线 三角形内截 正方形(对应高之比等于相似比) 矩形(长∶宽＝2∶1时易产生两个答案) 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 定义：各角⑩________、各边⑪________的两个多边形叫相似多边形． 两个条件缺一不可(反例：矩形与正方形；菱形与正方形) 相似比：(1)对应边之比；(2)有序性；(3)周长之比等于相 似比；(4)面积之比等于相似比的平方 相似多边形 相等 成比例 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 (1)射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；每条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．如图，CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB (2)角平分线性质定理：三角形角平分线分对边成两条线段之比等于相邻两边之比．如图，AD平分 ∠BAC，则 补充定理 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 ►课标要求1　了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割 (对照2022年版新课标) B 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 A．0.73 m B．1.24 m C．1.37 m D．1.42 m B 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 ►课标要求2　掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 3．(人教九上P42习题T4改编) 如图，在△ABC中，D， E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥ AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　　) A．3∶8 B．3∶5 C．5∶8 D．2∶5 C 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 ►课标要求3　通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比 103° 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 ►课标要求4　了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形 相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三 角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明 5．(湘教九上P89习题T3改编) 如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE， 只需要添加一个条件即可，这个条件可以是________________________ ________________． ∠B＝∠D(或∠C＝∠E或 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 6．(人教九下P43习题T7改编) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD⊥AB于点D，AC＝6，BD＝9，则AD＝_________，CD＝_________. 3 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 ►课标要求5　了解相似三角形的性质定理(这些定理不要求学生证明)： 相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方 7．(湘教九上P90习题T6改编) 两个相似三角形的一组对应边的长分别为 10 cm和20 cm. (1)若它们的周长之差是60 cm，则较大的三角形的周长是________ cm； (2)若它们的面积之和是260 cm2，则较小的三角形的面积是_______ cm2. 120 52 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 8．(人教九下P58复习题T11改编) 如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中，点G，F在BC边上，点D，E分别在AB，AC边上，AH⊥BC交DE于点M，若BC＝12 cm，AH＝8 cm，求正方形DEFG的边长． 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 解：设正方形DEFG的边长为x cm. ∵DE∥BC， 又∵BC＝12 cm，AH＝8 cm， 答：正方形DEFG的边长为4.8 cm. 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 (2023·达州) 如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A， B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠 近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为_____________cm. (结果保留根号) 比例线段及性质 命题点 1 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 A．(20－x)2＝20x　 B．x2＝20(20－x) C．x(20－x)＝202 D．以上都不对 A 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ∵AO＝2，OF＝1， ∴AF＝AO＋OF＝2＋1＝3. 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 下列四组图形中，一定相似的是(　　) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 图形的相似 命题点 2 D 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] A．正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； B．正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义； C．菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不一定相似； D．正五边形与正五边形，对应角都相等，对应边一定成比例，故一定相似． 故选D． 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工 画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方 形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中 花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是(　　) D A B C D 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上， 请添加一个条件_________________________________________，使△ADE∽△ABC. 相似三角形的判定与性质(重点) 命题点 3 条件开放 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式1 如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE，BC 的延长线交于点F，AE的垂直平分线分别交AE，BC于点 H，G，连接EG，则与△FEC相似的三角形个数为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 C 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． (1)证明：△ABD∽△CBA； 证明：∵AD是斜边BC上的高， ∴∠BDA＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC. 又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA. 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长． 解：由(1)知△ABD∽△CBA， 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∴AB＝CD＝5a. ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF. 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (1)若AB＝8，求线段AD的长； 解：∵四边形BFED是平行四边形， ∴DE∥BF.∴DE∥BC. ∵AB＝8，∴AD＝2. 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 解：∵△ADE∽△ABC， ∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积为16. ∵四边形BFED是平行四边形， ∴EF∥AB.∴△EFC∽△ABC. ∴平行四边形BFED的面积为16－9－1＝6. 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2020·成都) 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF 被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的 长为(　　) D 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 2．(2022·巴中) 如图，在平面直角坐标系中，C为 △AOB的OA边上一点，AC∶OC＝1∶2，过C作CD∥ OB交AB于点D，C，D两点纵坐标分别为1，3，则点B 的纵坐标为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 C 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3．(2021·绵阳) 如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB(AB＋BC)，且△DAB∽△DCA.若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ 的最小值是(　　) A 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 4．(2022·遂宁) 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的 点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF 面积的最大值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 A 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 5．(2023·内江) 如图，在△ABC中，点D，E为 边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG ∥EF，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH 的长为(　　) C 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 6．(2022·宜宾) 如图，△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠1＝ ∠2.若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝________． 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7．(2023·东营) 如图，△ABC为等边三角形，点D，E 分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝ 2.4，则AD的长为(　　) A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 C 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 8．(2023·上海) 如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD. (1)求证：DE＝AF； 证明：∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC. ∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD， ∴△ACF≌△DAE(ASA).∴DE＝AF. 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE. 证明：∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA. ∴∠AFB＝∠DEC. ∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE. ∵AF＝DE，∴AF2＝BF·CE. 返回首页 第21讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P43～44素养综合练测21 基本性质：＝⇔ad＝bc(两内项之积等于两外项之积) 合比性质：＝⇔＝ 等比性质：＝＝＝…＝(a＋d＋f＋…＋n≠0)⇔ ＝ 概念：点C把线段AB分成线段AC，BC，如果＝ ＝≈0.618，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫黄金分割点，叫黄金比 (3)若无AC＞BC等条件则有两个答案；(4)若答案无约等于“≈”，则用计算．　 如图，若l1∥l2∥l3，则＝③__________ 所得的对应线段成比例．如图，DE∥BC，则＝ ＝ 1．(华师九上P51练习T3改编) 若＝，则＝(　　) A． B． C． D． 2．(人教九上P1引言改编) 在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)(　　) 4．(人教九下P57复习题T1改编) 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.若∠B＝65°，∠C＝82°，∠A′＝110°，则∠D＝__________． ＝) 3 ∴＝. ∴＝，解得x＝4.8. (80－160) [解析] ∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80 cm，∴AC＝AB＝×80＝40－40(cm). ∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80(cm)，∴DB＝AB＝×80＝40－40(cm). ∴CD＝AC＋BD－AB＝2(40－40)－80＝80－160(cm).∴支撑点C，D之间的距离为(80－160)cm. ☞变式 (2021·巴中) 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，P是线段AB上一点(AP＞BP)，若满足＝，则称P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是(　　) (2023·北京) 如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为________. ∵AB∥EF∥CD，∴＝＝. ∠ADE＝∠B [解析] ∵∠A＝∠A，∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝时，△ADE∽△ABC.故答案为∠ADE＝∠B(或∠AED＝∠C或＝). ∴＝.∴＝.∴BD＝3.6. (2023·乐山) 如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F.若＝，则＝_________． ∵＝，∴设AE＝2a，则BE＝3a. ∴＝＝.∴＝＝. ☞变式1 (2021·南充) 如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为___________． ☞变式2 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，＝. ∴△ADE∽△ABC.∴＝＝. ∴＝＝＝. ∴＝＝.∴△EFC的面积为9. A．2 B．3 C．4 D． A． B． C． D． A．1 B． C．2 D．3 ∴＝.∴AF·DE＝BF·CE. $$