第20讲 直角三角形及勾股定理（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

第20讲　直角三角形及勾股定理 2024四川数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 直角三角形及勾股定理 判定 勾股数 性质 勾股定理 探索方法 运用 特例 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形 (2)两个锐角互余的三角形是直角三角形 (3)一条边上的①________等于这条边的一半的三角形是直角三角形 (4)勾股定理逆定理：若三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 判定 中线 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 (1)直角三角形两锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的②________ (3)30°角所对直角边等于斜边的③________，且三边之比为 ④___________；反之，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角等于⑤________ (4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方 性质 一半 一半 30° 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 探索方法 (1)割补法(面积法)：S1＋S2＝S3(无字证明) (3)青朱出入图 (1) (2) (3) (4) 勾股数：满足a2＋b2＝c2的整数叫勾股数． 如(3，4，5)，(6，8，10)，(5，12，13)，(8，15，17)，(7，24，25) 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 运用 计算直角三角形的边、面积 蚂蚁怎样走最近 圆柱： 正方体： 长方体： (1) (2) (3) 两个数之和最小的走法路径最短，如图， 由3＋4＜5＋3＜ 出图(2)中的走法为最近走法 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 特例 (1)折叠有全等有勾股 (2)两直角三角形共边问题 已知高：如已知△ABC两边长为15，13，第三边上的高为12，求第三边BC的长． 分类讨论两种情况： 未知高：用方程解答．如已知三角形三边长为13，14，15，分别求三条高． 如图，在△ABC中，设BH＝x. AH2＝142－x2＝132－(15－x)2　　 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 ►课标要求1　理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． 1．(人教八上P14练习T1改编) 如图，∠ACB＝90°， CD⊥AB，垂足为D，则∠ACD与∠B的数量关系 为____________________． (对照2022年版新课标) ∠ACD＝∠B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 2．(人教八下P61习题T9改编) 如图，CD是直角三角形ABC的中线， ∠ACB＝90°，∠CDA＝120°，则∠B＝___________． 60° 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 3．(人教八下P26练习T2改编) 如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，则这两点之间的距离为__________. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 ►课标要求2　 探索勾股定理及其逆定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和判定，并能运用它们解决一些简单的实际问题． 4．(华师八上P118习题T5改编) 下列四组线段中，可以构成直角三角形 是(　　) C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 5．(人教八下P33例2改编) 如图，某港口P位于 东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天” 号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每 小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后 分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向 航行，则“海天”号沿__________方向航行． 西北 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 6．(人教八下P29习题T14改编) 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三 角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB 的顶点A 在△ECD的斜边DE上，连接BD，若AE＝4，AD＝6，则AC＝________. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝75°，AC＝6，DE垂直 平分BC，则BE的长度为(　　) 直角三角形的性质(重点) 命题点 1 A 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 如图，连接EC. ∵△ABC中，∠A＝90°，∠C＝75°， ∴∠B＝15°. ∵DE垂直平分BC， ∴BE＝EC，∠1＝∠B＝15°. ∴∠2＝∠ACB－∠1＝75°－15°＝60°. 在Rt△ACE中，∠2＝60°，∠A＝90°， ∴∠3＝180°－∠2－∠A＝180°－60°－90°＝30°. 故EC＝2AC＝2×6＝12. 即BE＝12.故选A． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4， 则BC的长为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD ＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为(　　) A．30° B．45° C．22.5° D．60° B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°. ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∴∠A＝90°－67.5°＝22.5°. ∴∠ECA＝∠A＝22.5°. ∴∠ECD＝∠ACD－∠ECA＝67.5°－22.5°＝45°.故选B． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是 △ABC的高，且BD＝1，则AD的长为(　　) A．2.5　　 B．3　　 C．3.5　　 D．4 B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ∵CD是△ABC的高，∠B＝60°， ∴∠BCD＝90°－∠B＝30°. ∴BC＝2BD＝2×1＝2. ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°－∠B＝30°. ∴AB＝2BC＝2×2＝4. ∴AD＝AB－BD＝4－1＝3.故选B． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若 AC＝3，AB＝5，则CD＝ (　　) A．2 B．2.4 C．3 B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 △ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，三条边分别为a，b， c.下列条件，能判断△ABC是直角三角形的是(　　) A．a∶b∶c＝1∶2∶3 B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．a2＝(b＋c)(b－c) 直角三角形的判定与勾股定理的应用 命题点 2 D 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 设a，b，c的边长分别为a，2a，3a. ∵a2＋(2a)2＝5a2≠(3a)2，∴∠C≠90°. 故选项A不能判定△ABC是直角三角形； ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∴△ABC是锐角三角形． 故选项B不能判定△ABC是直角三角形； 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x°，4x°，5x°.∵3x°＋4x°＋5x°＝180°，∴x＝15°. ∴∠C＝75°.∴△ABC是锐角三角形． 故选项C不能判定△ABC是直角三角形； ∵a2＝(b＋c)(b－c)＝b2－c2， ∴a2＋c2＝b2.∴∠B＝90°. 故选项D能判定△ABC是直角三角形． 故选D． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图所示的网格是正方形网格，A，B，P是网格线的交点，则 ∠PAB＋∠PBA＝(　　) A．30° 　 B．45°　 C．60°　 D．75° B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 有一个直角三角形的两边分别为4，5，要使三角形为直角三角 形，则第三边长为_____________． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有 一动点E自点A向点B以2 cm/s的速度运动，动点F自点B向点C以4 cm/s 的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发．出发__________秒后， △BEF为直角三角形． 3或7.5 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪(如图所示)，测 温仪离地面的距离AB＝3 m，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自 动测温并报告人体体温．当身高为1.8 m的市民CD正对门缓慢走到离门 1.6 m的地方时(即BC＝1.6 m)，测温仪自动显示体温，则人头顶离测温 仪的距离AD等于(　　) A．2.0 m B．2.2 m C．2.25 m D．2.5 m A 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝3 m，BE＝CD＝1.8 m，ED＝BC＝1.6 m， ∴AE＝AB－BE＝3－1.8＝1.2(m). 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图，把小蚂蚁放在点A处，并在点B处放了点儿火腿肠粒，请问小蚂蚁吃到火腿肠粒的最短路径是 __________ cm. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 等腰直角三角形的性质与判定 命题点 3 B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 由作图可知，PQ是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM. ∵以D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，∴DA＝DM＝DB. ∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB. ∵∠DAM＋∠DMA＋∠DBM＋∠DMB＝180°， ∴2∠DMA＋2∠DMB＝180°. ∴∠DMA＋∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°. ∴△AMB是等腰直角三角形． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2022·南充) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E， DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误 的是(　　)　　 A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9 A 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 A．22° B．23° C．25° D．27° A 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 4．(2021·广元) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个 动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形 PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是(　　) B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 5．(2023·广安) 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm， 在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外 壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处 到内壁A处所走的最短路程为__________ cm.(杯壁厚度不计) 10 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 6．(2022·成都) 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方 程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_______. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7．数学文化(2022·内江) 勾股定理被记载 于我国古代的数学著作《周髀算经》中， 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制 了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为 “赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是 由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形 EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长 为4，则S1＋S2＋S3＝__________． 48 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 8．数学文化(2023·扬州) 我国汉代数学家赵爽证明 勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之 为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和 一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长 为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20则每个直角 三角形的面积为__________． 96 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P41～42素养综合练测20 1∶∶2 (5)等积法：SRt△ABC＝c·h＝ab (6)特殊：S等腰Rt△ABC＝a2＝c2　 (2)弦图：(a－b)2＋4×ab＝c2　　　 (4)美国总统伽菲尔德梯形法：(a＋b)(a＋b)＝×c2＋ab×2 5＋4(＜＜)得 A．，， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．，， A．12　　 B．6　　 C．8　　 D．9 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是斜边AB的中点，∴CE＝AB＝AE. D． [解析] ①若4是直角边，5是斜边，那么第三边长为＝3； ②若4和5都是直角边，那么第三边＝＝. 3或 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD＝ ＝＝2(m). 故选A． 2 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点 M，连接AM，BM.若AB＝2，则AM的长为(　　) A．4 B．2 C． D． ∴AM＝AB＝×2＝2.故选B． 2．(2021·绵阳) 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别为BC，AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝(　　) 3．数学文化(2023·泸州) 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝ (m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　　) A． B．1 C． D． 2 $$