第13讲 一次函数与反比例函数的实际应用（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 2024四川数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 一次函数与反比例函数的实际应用 一次函数的 实际应用 反比例函数的实际应用 1．一般步骤： 2．常见类型 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 总目录 1.一般步骤：(1)根据题意设定问题中的变量；(2)建立一次函数模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程(组)或不等式(组)结合解决实际问题． 【提分技法】一次函数y＝kx＋b(k≠0)的自变量x的取值范围是 ①___________，图象是②___________，因此没有最大值与最小值．但由实际问题得到的一次函数解析式中，自变量的取值范围一般受到限制，故图象为线段或射线，根据一次函数的性质，就存在最大值或最小值. 全体实数 一条直线 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 总目录 2．常见类型 (1)简单应用：一般只涉及一个简单解析式的实际问题，要根据解析式求变量的值、求最大(小)值等． (2)分段函数问题：函数关系随自变量取值范围的变化而变化，如阶梯收费问题(水费、电费、出租车收费等)、促销问题、计算机程序等． (3)双图象问题：问题情境涉及两个相关解析式，如方案选择、相遇问 题等． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 总目录 1.一般步骤：(1)审题，确定自变量，因变量；(2)明确变量之间的数量关系；(3)根据数量关系确定反比例函数解析式； (4)根据题意确定自变量的取值范围；(5)根据反比例函数的性质解决相应问题；(6)对答案进行检验，符合题意后作答. 2．常见应用公式 反比例函数的实际应用 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 总目录 ►课标要求1　能用一次函数解决简单实际问题 1．为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)y与x的函数关系式为_____________________； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请设计一种费用最省的 方案，求出该方案所需费用为__________． (对照2022年版新课标) y＝－20x＋1 890 1 690元 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 总目录 ►课标要求2　能用反比例函数解决简单实际问题 2．跨学科融合(人教九下P17习题T8改编) (2021·自贡) 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例 函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是(　　) B．蓄电池的电压是18 V C．当I≤10 A时，R≥3.6 Ω D．当R＝6 Ω时，I＝4 A C 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 ►类型1　图象型 (2023·吉林) 甲、乙两个工程组同 时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长 度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维 修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务， 甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘 时间x(天)之间的关系如图所示． 一次函数的实际应用(重点) 命题点 1 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (1)甲组比乙组多挖掘了__________天； [分析]读图直接写出答案； [解答] 解：[由图象可知，甲、乙合作共挖掘了30天，甲单独挖掘了30天，即甲组比乙组多挖掘了30天．] 30 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； [分析]利用已知两点的坐标，待定系数求出k，b值，写出关系式，根据图上条件标出自变量取值范围； [解答] 解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为y＝kx＋b. ∵点(30，210)，(60，300)在图象上， ∴函数解析式为 y＝3x＋120(30≤x≤60). 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． [分析]求出乙队的挖掘量，然后求出甲队在同等工作量的条件下实际工作的天数，减去合作的天数即可． [解答] 解：由(1)关系式可知，甲单独干了30天，挖掘的长度是300－210＝90(m)，甲的工作效率是每天挖掘90÷30＝3(m). 前30天是甲、乙合作共挖掘了210 m，则乙单独挖掘的长度是210－90＝120(m). 当甲挖掘的长度是120 m时，工作天数是120÷3＝40(天). 乙组已停工的天数是40－30＝10(天). 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 ☞变式 (2023·鄂州) 1号探测气球从海拔10 m处出发，以1 m/min的速度竖直上升，与此同时，2号探测气球从海拔20 m处出发，以a m/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1 h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2(单位：m)与上升时间x(单位：min)的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (1)a＝__________，b＝__________； 解：[∵1号探测气球从海拔10 m处出发，以1 m/min的速度竖直上升． ∴当x＝20时，y1＝10＋x＝10＋20＝30. ∴b＝30. ∵2号探测气球从海拔20 m处出发，以a m/min的速度竖直上升， ∴设2号探测气球解析式为y2＝20＋ax. ∵y2＝20＋ax过(20，30)， ∴30＝20＋20a. 解得a＝0.5. ∴y2＝20＋0.5x.] 0.5 30 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (2)请直接写出y1，y2与x的函数关系式； 解：由题意，得 y1与x的函数关系式为y1＝10＋x； y2与x的函数关系式为y2＝20＋0.5x. 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5 m? 解：分两种情况： ①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米， 根据题意，得(20＋0.5x)－(x＋10)＝5. 解得x＝10； ②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米， 根据题意，得(x＋10)－(0.5x＋20)＝5. 解得x＝30. 综上所述，当上升10 min或30 min时，这两个气球的海拔竖直高度差为5 m． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 ►类型2　文字型 (2023·成都) 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元． (1)求A，B两种食材的单价； [分析] 根据题意可以列出相应的二元一次方程组，解方程组即可； 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 [解答] 解：设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意，得 ∴A种食材的单价是每千克38元，B种食材的单价是每千克30元． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． [分析]设A种食材购买m千克，B种食材购买(36－m)千克，总费用为w元，由题意得出w＝38m＋30(36－m)＝8m＋1 080，根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围，从而可以解答本题． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 [解答] 解：设A种食材购买m千克，B种食材购买(36－m)千克，总费用 为w元．由题意，得 w＝38m＋30(36－m)＝8m＋1 080. ∵m≥2(36－m)， ∴24≤m≤36. ∵k＝8＞0，∴w随m的增大而增大． ∴当m＝24时，w有最小值为8×24＋1 080＝1 272(元). ∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少为1 272元. 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 ☞变式 传统文化(2023·遂宁) 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1 000元购进甲种粽子的个数与用1 200元购进乙种粽子的个数相同． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ 解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为(x＋2)元．根据题意，得 经检验，x＝10是原方程的根，且符合题意，此时x＋2＝12. 答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (2)该超市计划购进这两种粽子共200个，两种都有，其中甲种粽子的个 数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、 15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元. ①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围； 解：设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200－m)个．根据题意，得 W＝(12－10)m＋(15－12)(200－m)＝－m＋600. ∴W与m的函数关系式为W＝－m＋600. ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴m≥2(200－m). 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 解：由①知，W＝－m＋600，－1＜0，m为正整数， ∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，此时200－134＝66. ∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 ►类型3　表格型 (2023·广元) 某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/(元/min) 被叫 A 78 200 0.25 免费 B 108 500 0.19 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； [分析]设方式A的计费金额为y1元，方式B的计费金额为y2元，根据表格即可得出y1和y2的函数解析式； 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 [解答] 解：设方式A的计费金额为y1元，方式B的计费金额为y2元． 根据表格数据，可知 ①当0≤t≤200时，y1＝78； 当t＞200时，y1＝78＋0.25(t－200)＝0.25t＋28； ②当0≤t≤500时，y2＝108； 当t＞500时，y2＝108＋0.19(t－500)＝0.19t＋13. 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (2)若你预计每月主叫时间为350 min，你将选择A，B哪种计费方式？并说明理由； [分析]将t＝350分别代入(1)中求得的函数解析式中，再比较大小即可得到结果； [解答] 解：选择方式B计费，理由如下： 当每月主叫时间为350 min时， y1＝0.25×350＋28＝115.5； y2＝108. ∵115.5＞108，∴选择方式B计费． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． [分析]令y1＝108，求出此时的t值，再以此分析即可求解． [解答] 解：令y1＝108，得0.25t＋28＝108， 解得t＝320. ∴当0≤t＜320时，y1＜108＜y2. ∴当0≤t＜320时，方式A更省钱； 当t＝320时，方式A和B的付费金额相同； 当t＞320时，方式B更省钱． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 一次函数的实际应用一般涉及的问题 1．求函数解析式，常用以下方法： (1)利用题干中的关系式； (2)利用待定系数法． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 2．选择最优方案或方案选取：当给定x值选取方案时，将x的值代入解析式，判断y值结果大小；给定y值选取方案时，将y的值代入解析式，判断x值结果大小；当x，y值均未给定时，若为两种方案的选取，将两个方案的函数关系式组成不等式，求解对应的x的取值范围． 3．利润最大或费用最少：一般由图象、题干中的数量关系或费用关系列出不等式，求出自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性求最少费用或最大利润． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、 乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛 人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情 况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四 所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的 是(　　) A．甲　　 B．乙　　　 C．丙　　 D．丁 反比例函数的实际应用 命题点 2 C 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 [解析] 根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数． ∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同 一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两所学校的优秀人数相同． ∵点丙在反比例函数图象上面， ∴丙校的xy的值最大，即优秀人数最多． 故选C． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 ☞变式 跨学科融合根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承 受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其函数图象如图所 示．当S＝0.25 m2时，该物体承受的压强p的值为__________Pa. 400 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 命题点1 命题点2 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2022·成都) 随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18 km/h，乙骑行的路程s(km)与骑行的 时间t(h)之间的关系如 图所示． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 (1)直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式； 解：当0≤t≤0.2时，设s＝at. 把(0.2，3)代入s＝at，得0.2a＝3. 解得a＝15.∴s＝15t； 当t＞0.2时，设s＝kt＋b. 把(0.2，3)和(0.5，9)代入s＝kt＋b，得 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 (2)何时乙骑行在甲的前面？ 解：由(1)可知当0≤t≤0.2时，乙骑行的速度为15 km/h，而甲的速度为18 km/h，则甲在乙前面．当t＞0.2时，乙骑行的速度为20 km/h，甲的速度为18 km/h. 设x小时后，乙骑行在甲的前面．由题意，得 18x＜20x－1.解得x＞0.5. 答：0.5小时后乙骑行在甲的前面． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2023·雅安) 李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/(元/kg) 4.8 4 零售价/(元/kg) 7.2 5.6 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共40 kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？(列方程或方程组求解) 解：设批发甲种蔬菜x kg，批发乙种蔬菜y kg.根据题意，得 答：批发甲种蔬菜25 kg，批发乙种蔬菜15 kg. 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共80 kg花m元，设批发甲种蔬菜n kg，求m与n的函数关系式； 解：根据题意，得m＝4.8n＋(80－n)×4. 整理，得m＝0.8n＋320. 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 (3)在(2)的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 解：设全部卖完蔬菜后利润为w元．根据题意，得w＝(7.2－4.8)n＋(5.6－4)(80－n). 整理，得w＝0.8n＋128. 由w＝0.8n＋128≥176，解得n≥60. 答：至少批发甲种蔬菜60 kg. 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 3．(2022·广安) 某企业下属A，B两厂向甲、乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲、乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲、乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨． (1)求A，B两厂各运送多少吨水泥； 解：设A厂运送x吨水泥，则B厂运送(x＋20)吨水泥．根据题意，得 x＋x＋20＝520.解得x＝250. 此时x＋20＝270. 答：A厂运送250吨水泥，B厂运送270吨水泥． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 (2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂最多 运往甲地的水泥150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A，B两厂运往甲、 乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计 一种总运费最低的运输方案，并说明理由． 解：由于从A厂运往甲地a吨水泥，则从A厂运往乙地(250－a)吨水泥，B 厂运往甲地(240－a)吨水泥，B厂运往乙地280－(250－a)＝(30＋a)吨水泥. 由题意，得w＝40a＋35(250－a)＋28(240－a)＋25(a＋30)＝40a＋8 750－ 35a＋6 720－28a＋25a＋750＝2a＋16 220. 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 ∵B厂最多运往甲地的水泥150吨， ∴240－a≤150.解得a≥90. ∵2＞0，∴w随a的增大而增大． ∴当a＝90时，总运费最低， 最低运费为2×90＋16 220＝16 400(元). 答：总费用最低的运输方案为从A厂运往甲地90吨水泥，运往乙地160吨水泥，从B厂运往甲地150吨水泥，运往乙地120吨水泥，最低运费为 16 400元． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 4．跨学科融合(2023·吉林) 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道 了电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而 变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f(MHz) 10 15 50 波长λ(m) 30 20 6 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 (1)求波长λ关于频率f的函数解析式； 解：设波长λ关于频率f的函数解析式为 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 (2)当f＝75 MHz时，求此电磁波的波长λ. 答：当f＝75 MHz时，此电磁波的波长为4 m． 返回首页 第13讲　一次函数与反比例函数的实际应用 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P28～29素养综合练测13 (1)行程问题：速度＝；(2)工程问题：工作效率＝； (3)压强问题：压强＝；(4)电学问题：电阻＝. A．函数解析式为I＝ ∴解得 解得 ＝.解得x＝10. 解得m≥. 综上，y1＝y2＝ 解得 ∴s＝20t－1. ∴s与t之间的函数表达式为 s＝ 解得 λ＝(k≠0). 把点(10，30)代入上式，得＝30. 解得k＝300. ∴λ＝. 解：当f＝75 MHz时，λ＝＝4. $$