第12讲 反比例函数的图象与性质（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

第12讲　反比例函数的图象与性质 2024四川数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 反比例函数的图象与性质 图象与性质 k的几何意义 题型归类 技巧归类 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 图象与性质 减小 增大 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 k的几何意义 P与P′关于原点对称， ＝|xy| ＝2|k| S矩形 ＝|x|·|y|　 ＝|k| 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 1.函数值大小比较 (1)一次函数与反比例函数大小比较：如图1，交点 的横坐标与0，将x轴从左到右分成①②③④段 当y2＞y1时，取①③段：如x＜－1或0＜x＜2 当y2＜y1时，取②④段：如－1＜x＜0或x＞2　 题型归类 图1 (2)两个反比例函数k的比较：如图2，k1＜k2 (3)同一个反比例函数上三点纵坐标值大小比较：主要 画图，如(－1，y1)，(1，y2)，(2，y3) 2．反比例函数与面积问题 3．反比例函数与三角形问题 4．反比例函数与四边形问题 图2 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 (3)夹心三角形面积：如图3，S△AOB＝S梯形ABCD (4)如图4，AB＝DC (5)如图5，DE∥AB　 技巧归类 图3 图4 图5 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 ►课标要求1　结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式 1．跨学科融合一辆汽车前灯电路上的电压U(V)保持不变，通过灯泡的电流强度I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数．若当电阻为30 Ω时，通过灯 泡的电流强度为0.40 A，则当电阻为50 Ω时，通过灯泡的电流强度为__________A． (对照2022年版新课标) 0.24 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 A．y的值随x的值增大而减小 B．它的图象在第一、三象限 C．它的图象是双曲线 D．若点(a，b)在它的图象上，则点(b，a)也在它的图象上 A 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 k＜2 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 A A B C D 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 2 1 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点(a，a＋2)，则a＝1 反比例函数的图象与性质(重点) 命题点 1 C 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴a(a＋2)＝3.解得a＝1或a＝－3. 故D选项错误．故选C． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 反比例函数中系数k的几何意义 命题点 2 －6 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 A．4　　 B．3　　　 C．2　　 D．1 C 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 24 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 反比例函数与一次函数的综合问题(重点) 命题点 3 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (1)求b，k的值； 过点C作CF⊥x轴于点F，则CF∥OB. ∵AB∶BC＝2∶1，OA＝4， 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (3)连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD，DE，求△ODE的面积． [解答] 解：∵直线CO与双曲线交于点C，E， ∴OE＝OC.∴S△ODE＝S△OCD. ∵S△OCD＝S△COA＋S△ADO， 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； ∵B(m，－1)在反比例函数的图象上， ∴－m＝－2.∴m＝2.∴B(2，－1). ∵A(－1，2)，B(2，－1)两点在一次函数y＝kx＋b的图象上， ∴一次函数的解析式为y＝－x＋1. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标． 解：∵直线l∥y轴，AD⊥l， ∴AD＝3，D(2，2). ∵DC＝2DA， ∴DC＝6. ∵点C是直线l上一动点， ∴点C的坐标为(2，8)或(2，－4). 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 对于反比例函数、一次函数和不等式的综合问题： (1)联立反比例函数和一次函数的解析式，解方程组求得反比例函数和一次函数图象的交点坐标； (2)结合函数图象确定相关不等式的解集． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 A 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 D 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 k＜2 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式； 解：过点A作AT⊥x轴于点T，过点B作BK⊥x轴于点K. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝CB，∠ACB＝90°. ∴∠ACT＝90°－∠BCK＝∠CBK. ∵∠ATC＝∠CKB＝90°， ∴△ATC≌△CKB(AAS). ∴AT＝CK，CT＝BK.∵C(3，0)，B(6，m)， ∴AT＝CK＝6－3＝3，CT＝BK＝m. ∴OT＝3－m.∴A(3－m，3). 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 设直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝k′x＋b， 把A(2，3)，B(6，1)代入上式，得 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． ∴当AP＋BP最小时，△ABP周长最小． ∵A，A′关于x轴对称，∴AP＝A′P. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ∴当A′，P，B三点共线时，AP＋BP最小，△ABP周长也最小． ∵A′(2，－3)，B(6，1)， 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③0＜y＜1；④0≤y≤1. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ A 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (1)k＝___________； (2)D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC， 则OB2－BD2的值为__________． 4 返回首页 第12讲　反比例函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P24～25素养综合练测12 请完成《练测本》P26～27滚动集训 表达式 y＝(k≠0)，y＝kx-1，xy＝k k的符号 k＞0 k＜0 图象 (双曲线) 渐近性 图象与坐标轴无限接近，但永不与坐标轴相交 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一象限内(x＞0或x＜0)，y随x的增大而①_______ 在每一象限内(x＞0或x＜0)，y随x的增大而②________ 对称性 关于直线y＝x，y＝－x成轴对称，也关于原点成中心对称 面积不变 图象上任一点作两坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成矩形面积不变，恒为|k|，S△＝|k| 画法(五点法) 在一个象限内取五个点，用平滑的曲线连接起来，再由对称性画出另一支 S△APP′＝×2|yP|×2|xP| S△＝|k| (1)大胆设坐标，字母用得越少越好，如 (2)根系关系：|x1－x2|＝ 2．(湘教九上P11练习T1改编) 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点M(－2，2)，则这个函数的表达式为_____________． y＝－ ►课标要求2　能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况 3．关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是 (　　) 4．(人教九下P21复习题T5改编) 已知反比例函数y＝ 的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是_____________． 5．(人教九下P9习题T8改编) 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝(其中a，b是常数，ab≠0)的大致图象是(　　) 6．(北师九上P157习题T3改编) 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知反比例函数y＝(k＞0)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为1，则k＝__________，m＝__________． 关于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　) [解析] 反比例函数y＝，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误； 反比例函数y＝，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确； 反比例函数y＝ 图象经过点(a，a＋2)， (2023·内江) 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE 的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点 D的对应点B恰好落在反比例函数y＝(x＜0)的图象上， 点O，E的对应点分别是点C，A，若点A为OE的中点，且S△EAF＝，则k的值为__________． ☞变式1 (2023·广西) 如图，过反比例函数y＝ (x＞0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行 线交y＝－ 的图象于B，D两点，以AB，AD 为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩 形，面积分别记为S1，S2，S3，S4.若S2＋S3＋S4＝，则k的值为(　　) ☞变式2 (2023·烟台) 如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为__________． (2022·巴中) 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋b与x轴、y轴分别交于点A(－4，0)，B两点，与双曲线y＝(k＞0)交于C，D两点，AB∶BC＝2∶1. [解答] 解：∵点A在直线y＝x＋b上，A(－4，0)， ∴0＝×(－4)＋b.解得b＝2. ∴＝＝.∴AF＝OA＝6.∴OF＝2. 在y＝x＋2中，令x＝2，得y＝3. ∴C(2，3).∴3＝.∴k＝6. (2)求D点坐标并直接写出不等式x＋b－≥0的解集； [解答] 解：∵点D是y＝x＋2和y＝的交点， ∴令x＋2＝，可得或 ∵点D在第三象限，∴D(－6，－1). 由图象，得不等式x＋2－≥0的解集为－6≤x＜0或x≥2. ∴S△ODE＝S△OCD＝×4×3＋×4×1＝8. ☞变式 (2022·自贡) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(－1，2)，B(m，－1)两点． 解：∵A(－1，2)在反比例函数y＝的图象上， ∴n＝2×(－1)＝－2. ∴反比例函数的解析式为y＝－. ∴解得 1．(2021·广安) 若点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) 2．(2021·内江) 如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 3．(2022·乐山) 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝(k＞0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E.若S△ABE＝，则k＝__________． 4．(2022·成都) 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是________． 5．(2022·内江) 如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点P(2，3)，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点Q(m，n).若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是_______________. ＜m＜2 6．(2023·宜宾) 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3，0)，顶点A，B(6，m)恰好落在反比例函数y＝第一象限的图象上． ∵A(3－m，3)，B(6，m)恰好落在反比例函数y＝第一象限的图象上， ∴k＝3(3－m)＝6m.∴m＝1，k＝6.∴反比例函数的表达式为y＝，A(2，3)，B(6，1). 解得 ∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝－x＋4. 解：在x轴上存在一点P，使△ABP周长的值最小．作A(2，3)关于x轴的对称点A′(2，－3)，连接A′B交x轴于P.∵A(2，3)，B(6，1)，∴AB＝＝2. ∴A′B＝＝4. ∴AP＋BP＝A′P＋BP＝A′B＝4. ∴△ABP周长的最小值为4＋2. 7．跨学科融合根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y＝(a为常数且a＞0，x＞0)的性质表述中，正确的是(　　) 8．(2023·安徽) 如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过斜边OB的中点C. $$