第2讲 代数式、整式及因式分解（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学讲义（四川专用）

第2讲　代数式、整式及因式分解 2024四川数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 代数式、整式及因式分解 列代数式 乘法 代数式求值 整式的相关概念 整式的运算 加减 公式 典型问题 多项式 单项式 整式 同类项 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 列代数式：有代数式的和、差、积、商、乘方等类型 代数式求值 (1)直接代入：先化简，再代入求值 (2)整体代入(可消元降次)：先因式分解，把已知代数式恒等变形后再代入求值 单项式 定义：数与①__________的积叫单项式 字母 注意 单独一个数或一个②________也是单项式，如－a，0都是单项式． 字母 次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 定义：几个单项式的和叫多项式 次数：多项式中次数最高项的次数叫这个多项式的次数，如a＋2ab2＋25是③______次 排列：书写多项式时，一般按某个字母降幂排列，如－xy＋x2－1按x的降幂排列是x2－xy－1 多项式 3 整式：单项式和多项式统称为整式 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.几个常数项也是同类项 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 加减：实质是合并同类项，即把同类项的系数相加减，所得结果为新的系数，字母和字母指数不变．去(添)括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)＝a－b－c(口诀：负“－”变正“＋”不变) 乘法 单×单：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式的字母连同它的指数作为积的一个因式 单×多：等于单项式与多项式的每一项相乘，再把积相加 多×多：(a＋b)(m＋n)＝④___________________ am＋an＋bm＋bn 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑤__________，(口诀：两数和、两数差，同方异方来作差) 完全平方公式：(a±b)2＝⑥_____________， (口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号看前方，同号得正，异号得负) 公式 a2－b2 a2±2ab＋b2 (如图2、图3) 图形表示： 图1　　　 　图2　　　　　图3 (如图1) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 整式型：已知x＋y＝3，x2＋y2＝5，则x－y＝⑦______ 典型问题 平方型 ±1 2(或6) 3(或7) 添项构成完全平方式：4x2＋1添一项构成完全平方式，则添的整式：⑩_____________ 添括号，运用简便运算：(a－2b＋3c)(a＋2b－3c)＝ ⑪______________ ±4x或4x4 a2－(2b－3c)2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 代数式、整式及因式分解 幂的运算 整式的运算 除法 口诀 因式分解 定义 方法 原则 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 单÷单：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多÷单：(am＋bm)÷m＝⑫__________ 除法 a＋b 同底数幂的乘法：am·an＝⑬______，底数不变，指数⑭_______ 同底数幂的除法：am÷an＝⑮______，底数不变，指数⑯______ 幂的乘方：(am)n＝⑰_____，底数不变，指数⑱______ 积的乘方：(3ab)n＝⑲________，括号内每一个因式分别乘方，切记不要忘记给系数乘方 幂的运算 am＋n 相加 am－n 相减 amn 相乘 3nanbn 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 定义：把一个多项式化成几个⑳__________的形式，这种变形叫因式分解，与整式乘法互为逆运算 口诀：一提(公因式)，二数(数项数)，三用(用公式)，四分组 整式的积 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 方法 提公因式法 公因式确定 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项相同字母的最低次幂 ma＋mb＋mc＝㉑____________ m(a＋b＋c) 公式法 平方差公式：a2－b2＝㉒____________ 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝㉓__________ (a＋b)(a－b) (a±b)2 十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝㉔______________ 分组分解法：四项可以二、二分组，也可以三、一分组 (x＋a)(x＋b) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 (1)分解到不能再分解为止，若字母的最高次数超过一次，检查是否还能继续分解； (2)首项为正； (3)无中括号； (4)无新的公因式 原则 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 ►课标要求1　能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 1．(人教七上P54例1改编) x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品 总价为_____________元． (对照2022年版新课标) (ax＋by) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 ►课标要求2　能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 ►课标要求3　理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了 解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理(★2022版新增) 3．(华师八上P31试一试改编) 如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长 为b的小方形，将阴影部分剪成两个直角梯形后再拼成一个等腰梯形(如图2)， 通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是(　　) A．a(a＋b)＝a2＋ab B．a(a－b)＝a2－ab C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2－b2＝(a－b)(a＋b) 图1　　　　 图2 D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 ►课标要求4　能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数) 4．(人教八上P115例1改编) 把多项式3a3b2＋9a3bc分解因式时，应提取 的公因式是(　　) A．3a3b2 B．9a3b2c C．3a3b3 D．3a3b D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 5．(人教八上P115例2改编) 把2x(a－b)－4y(a－b)分解因式，正确的是 (　　) A．2(a－b)(x＋2y) B．2(a－b)(x－2y) C．(a－b)(2x＋4y) D．(a－b)(2x－4y) 6．(华师八上P44例1改编) 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 (　　) A．x2＋4y2 B．x2＋2x－1 C．－x2－4y2 D．－x2＋4y2 B D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 7．(华师八上P45练习 T1改编) 下列各式中，能进行因式分解的是(　　) A．x2＋y2 B．x2＋x－1 C．x－y D．x2－y2 D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 8．(人教八上P119习题 T4改编) 简算： 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 代数式－7x的意义可以是(　　) A．－7与x的和 B．－7与x的差 C．－7与x的积 D．－7与x的商 ☞变式 一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位 数是(　　) A．x＋y B．10xy C．10(x＋y) D．10x＋y 代数式 命题点 1 C D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 下列计算正确的是(　　) A．(a2)3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a3·a4＝a12 D．a2－a＝a [解析] A．(a2)3＝a2×3＝a6，则A计算正确；B．a6÷a2＝a6-2＝a4，则B计算错误；C．a3·a4＝a3+4＝a7，则C计算错误；D．a2与a不是同类项，无法合并，则D计算错误．故选A． 整式的运算(重点) 命题点 2 A 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6 A 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解答] 解：原式＝4－a2－2a2－6a＋3a2 ＝4－6a. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 进行整式的运算时，要注意合理运用运算法则，还要注意结果的符号．整式的运算顺序是先乘除再加减．整式加减的实质就是合并同类项．注意灵活运用乘法公式进行运算． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(　　) A．(a＋3)2＝a2＋6a＋9 B．a2－4a＋4＝a(a－4)＋4 C．5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y) D．a2－2a－8＝(a－2)(a＋4) [解析] A．(a＋3)2＝a2＋6a＋9是运用完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误；B．a2－4a＋4＝(a－2)2，故选项B错误；C．5ax2－5ay2＝5a(x2－y2)＝5a(x＋y)(x－y)，故选项C正确；D．a2－2a－8＝(a＋2)(a－4)，故选项D错误．故选C． 因式分解及其应用(重点) 命题点 3 C 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 下列各式属于因式分解的是(　　) A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x C 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 利用因式分解法进行运算与化简时，先把要求的代数式进行因式分解，再根据已知条件运算与化简． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·宜宾) 下列计算正确的是(　　) A．4a－2a＝2 B．2ab＋3ba＝5ab C．a＋a2＝a3 D．5x2y－3xy2＝2xy B 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 2．(2023·内江) 下列运算正确的是(　　) A．3a＋4b＝7ab B．(ab3)3＝ab6 C．(a＋2)2＝a2＋4 D．a12÷a6＝a6 D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 3．(2023·巴中) 若x满足x2＋3x－5＝0，则代数式2x2＋6x－3的值为 (　　) A．5 B．7 C．10 D．－13 B 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 4．(2023·乐山) 若m，n满足3m－n－4＝0，则8m÷2n＝________． 16 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 5．(2023·内江) 分解因式：x3－xy2＝________________． x(x＋y)(x－y) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 6．(2023·成都) 因式分解：m2－3m＝_____________． m(m－3) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 7．(2023·眉山) 分解因式：x3－4x2＋4x＝____________． x(x－2)2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 8．跨学科融合(2023·遂宁) 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合 物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养 护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷(当碳原 子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……)等，甲 烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，…， 其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为________． C12H26 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 解：原式＝a2－4－a2－4a－4＝－4a－8. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 10．(2023·丽水) 如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am－bn＝2，an＋bm＝4. (1)若a＝3，b＝4，则图1中阴影部分的面积是__________； (2)若图1中阴影部分的面积为3，图2 中四边形ABCD的面积为5，则图2中 阴影部分的面积是________． 25 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P3～4素养综合练测2 分式型：已知x＋＝2(或x－＝2)，则x2＋＝⑧________， ＝⑨_______ 2．(华师八上P49复习题T9改编) 先化简，再求值：(a＋2b)(a－2b)＋(a－2b)2－a(2a＋3b)，其中a＝，b＝－2 024. 解：原式＝a2－4b2＋a2－4ab＋4b2－2a2－3ab＝－7ab.当a＝，b＝－2 024时，原式＝－7××(－2 024)＝2 024. . 解：原式＝＝ ＝. ☞变式 化简x3·的结果是(　　) 先化简，再求值： (2－a)(2＋a)－2a(a＋3)＋3a2，其中a＝－. 当a＝－时，原式＝4－6×＝6. 9．(2023·南充) 先化简，再求值：(a－2)(a＋2)－(a＋2)2，其中a＝－. 当a＝－时，原式＝－4×－8＝－2. $$