专题练测18 数学语言——模型观念一(代数最值)（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学练测（四川专用）

专题练测18　 数学语言——模型观念一(代数最值) 2024四川数学 目 录 1 A组 基础过关 2 B组 能力训练 1 A组 基础过关 一、选择题 1．(2023·创编) 在求解代数式2a2－12a＋22的最值(最大值或最小值)时， 老师给出以下解法：解：原式＝2(a2－6a)＋22＝2(a2－6a＋9)－18＋22 ＝2(a－3)2＋4，∵无论a取何值，2(a－3)2≥0，∴代数式2(a－3)2＋4≥4， 即当a＝3时，代数式2a2－12a＋22有最小值为4.仿照上述思路，则代数 式－3a2＋6a－8的最值为(　　) A．最大值－5 B．最小值－8 C．最大值－11 D．最小值－5 A 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 A．最小值－6 B．最小值－3 C．最大值－6 D．最大值－3 B 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 二、填空题 3．已知一次函数y＝kx＋b的自变量的取值范围是－3≤x≤6，相应函数 值的取值范围是－5≤y≤2，则一次函数的表达式为________________ ________________． 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 4．已知二次函数y＝－x2＋4x＋1，则当0≤x≤3时，函数值y的取值范围 是__________． 1≤y≤5 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 三、解答题 6．阅读材料：对于任意实数y，求y2＋4y＋8的最小值． 解：设z＝y2＋4y＋8， 则z＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4. ∵1＞0，∴z有最小值4， 即y2＋4y＋8的最小值为4. 解决问题： (1)若a为任意实数，则代数式a2－2a－1的最小值为__________； －2 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 (2)若x为任意实数，求4－x2＋2x的最值； 解：4－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋5＝－(x－1)2＋5. ∵－1＜0，∴4－x2＋2x的最大值为5. (3)拓展：不论x，y为何实数，代数式x2＋y2＋2y－4x＋6的值________. (填序号) A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数 解：[x2＋y2＋2y－4x＋6＝x2－4x＋4＋y2＋2y＋1＋1＝(x－2)2＋(y＋1)2＋1≥1.] A 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 (1)证明此定理； 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 2 B组 能力训练 8．设x，y为实数，则代数式2x2＋4xy＋5y2－4x＋2y－5的最小值为__________． －10 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 9．对于二次函数y＝x2－4x＋4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的 取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为____________． 1≤a≤2 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 11．(1)问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直 角边的长分别是__________，__________时，直角三角形的面积最大； 解：[设直角三角形一直角边长为x，则另一直角边长是10－x，其面积是S. 5 5 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 (2)问题解决：如图1，在Rt△EFG的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上，EF＝30 cm，FG＝40 cm，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图1，过点D作DH∥FG. ∴∠G＝∠CHD. 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠DCB＝∠ABG. 于是△CDH≌△BAG，要求矩形ABCD的面积最大，就可以转化为求平行四边形AGHD的面积最大，设平行四边形AGHD的边AG＝x cm，平行四边形AGHD的面积为y cm2，请你按这个思路继续完成这问题； 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 (3)问题拓展：如图2，矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝30 cm，点E是AD边上的动点(点E与A，D两点不重合)，连接BE，CE，F是BC边上的动点，过F作FG∥CE交BE于点G，求△EFG面积的最大值． 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 解：设BF＝x，△EFG的面积为y. ∵FG∥CE，∴△BFG∽△BCE. ∴当x＝15时，y最大＝75.即△EFG面积的最大值是75. 返回首页 专题练测18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 本讲内容结束 2．已知反比例函数y＝(k≠0)，当－2≤x≤－1时，y的最大值是6，则当x≥2时，有(　　) y＝x－或y＝ －x－ 5．(2023·创编) 对于a，b两个非负数，有a＋b≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)，数学中称之为均值不等式，根据这一不等式可推理得出，当x＞0时，有x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)，进一步通过推理得到当x＞0时，x＋≥_______________________________(其中n为一正实数)． 2(当且仅当x＝时取“＝”) 7. 设实数a＞0，b＞0，则有≥，当且仅当a＝b时等号成立，我们称它为基本不等式(均值定理)． 解：∵a＞0，b＞0， ∴(－)2≥0.∴a－2＋b≥0. ∴a＋b≥2.∴≥. (2)利用此定理，当x＞0时，求x＋的最小值过程如下：“令a＝x，b＝，则x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，即x＋的最小值为2.”仿照此过程，求函数y＝(x≥－1)的最小值． 解：y＝＝＝＝ (x＋1)＋＋1. 令a＝x＋1，b＝. ∵x＞－1，∴a＞0，b＞0. ∴(x＋1)＋＋1≥2＋1＝4＋1＝5，当且仅当x＋1＝时，(x＋1)＋＋1取得最小值． ∴函数y＝(x≥－1)的最小值是5. 10．(2021·内江) 已知非负实数a，b，c满足＝＝，设S＝a＋2b＋3c的最大值为m，最小值为n，则的值为_________. ∴S＝x(10－x)＝－(x－5)2＋. ∴当x＝5时，S最大＝.] 解：∵AD∥EG，∴△ADF∽△GEF.∴＝. ∴＝.∴DF＝30－x. ∴y＝AG·DF＝x·＝－(x－20)2＋300.∴当x＝20时，y最大＝300. ∴＝.∴＝. ∴S△BFG＝x2. ∴y＝×20·x－x2＝－(x－15)2＋75. $$