专题练测10 坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形)（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学练测（四川专用）

专题练测10　 坐标系下的存在性问题(2) ——直角三角形(矩形)、 等腰直角三角形(正方形) 2024四川数学 目 录 1 A组 基础过关 2 B组 能力训练 1 A组 基础过关 一、选择题 1．在平面直角坐标系中由A(0，3)，B(5，0)，C三点组成的三角形是直 角三角形，则点C的坐标不可能是(　　) A．(0，0) B．(5，3) C．(2，6) D．(3，8) C 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 2．(2023·创编) 如图，点O(0，0)，A(2，2)，若存在格点P，使为 △APO等腰直角三角形，则点P的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 C 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 3．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，－5)， 若平面内存在一点C，使△ABC是等腰直角三角形，则下列C点坐标不 符合题意的是(　　) A．(－8，－3) B．(－5，－8) C．(2，3) D．(5，－3) D 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 5 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 (2，4) 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 6．点A，B，D在平面直角坐标系中的坐标如图所示，若存在点C使得四边形ABCD为正方形，试确定点C到x轴、y轴的距离分别为_________. 2，3 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 解得x1＝－1，x2＝4. ∴A(－1，0). 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 (2)若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在． ∵D是线段AC的中点，A(－1，0)，C(0，2)， 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 ∵∠BED＝90°，B(4，0)，∴BE2＋DE2＝BD2， 化简，得t2－t－2＝0.解得t1＝－1，t2＝2. ∴点E的坐标为(0，－1)或(0，2). 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 (1)求点A的坐标； 解：设点A的坐标为(a，2a－3). ∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，∴OB＝a，OC＝2a－3. ∵点A在第一象限，∴点A的坐标为(2，1). 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 (2)如果点E位于第四象限，且在直线y＝2x－3上，点D在y轴上，坐标平面内是否存在点F，使得四边形ADEF是正方形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：存在．如备用图，分别过点A，E作AH⊥y轴于 点H，EG⊥y轴于点G， ∵∠HAD＋∠ADH＝90°，∠EDG＋∠ADH＝90°， ∴∠HAD＝∠EDG. 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 ∴△HAD≌GDE(AAS). ∴AH＝DG＝2，DH＝GE. 根据点E在第四象限且在直线y＝2x－3上， 设E(m，2m－3)， 则GE＝DH＝m，OG＝3－2m. 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 2 B组 能力训练 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 10．在平面直角坐标系中，x轴的一条垂线MN分别交x轴于点M，交直 线y＝2x＋3于点N，当点N位于第二象限，且y轴上存在一点P，使 △MNP为等腰直角三角形时，△MNP的直角顶点坐标为____________ __________________． (－1，0)， 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 11．如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根，AB＜BC，且BC＝2OB. (1)求点A的坐标； 解：x2－14x＋48＝0，(x－6)(x－8)＝0， 解得x1＝6，x2＝8.∵AB＜BC，BC＝2OB， ∴AB＝6，BC＝8，OB＝4.∴A(6，4). 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 (2)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在，点N坐标为(7，－3)或(－2，10)或(－8，2). [如图1，过点N作NE⊥AB交AB的延长线于点E. ∵四边形ACMN是正方形， ∴AN＝AC，∠CAN＝90°. ∴∠EAN＋∠CAB＝90°. 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 ∵∠EAN＋∠ANE＝90°， ∴∠ANE＝∠CAB. ∵∠E＝∠ABC＝90°， ∴△NEA≌△ABC(AAS). ∴EN＝AB＝6，AE＝BC＝8. ∴BE＝8－6＝2. ∵OB＝4，∴N(－2，10)； 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 如图2，过点N作GH⊥x轴于点Q，延长BA交GH于点G，过点C作CH⊥GH于点H，则∠H＝90°. ∵AB⊥BC，∴∠G＝90°.∴∠G＝∠H＝90°. ∴∠HCN＋∠CNH＝90°. ∵四边形AMCN是正方形， ∴AN＝CN，∠ANG＋∠CNH＝90°. ∴∠ANG＝∠HCN. ∴△AGN≌△NHC(AAS). 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 ∴AG＝NH，GN＝CH. 设AG＝x，则NH＝x，GN＝CH＝6＋x. ∵GH＝BC，∴6＋x＋x＝8. ∴x＝1.∴N(7，－3)； 如图3，同图1可知M(－2，10).∴N(－8，2). 综上所述，点N的坐标为(7，－3)或(－2，10)或(－8，2).] 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 12．(2021·达州) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A和C(1，0)，交y轴于点B(0，3)，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F. 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 (1)求抛物线的解析式； ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 当B，E′，D三点在同一条直线上时，BE′＋DE′最小为BD. 在Rt△BOD中， 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 (3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 返回首页 专题练测10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 12 总目录 本讲内容结束 二、填空题 4．如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边向右侧作等腰直角三角形△ABC，∠BAC＝90°，则线段AB的长为__________． 5．已知直线y＝x与双曲线y＝(k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4.过原点O的另一条直线l交双曲线y＝(k＞0)于P，Q两点(点P在第一象限)，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形为矩形，则点P的坐标为__________． 三、解答题 7．如图，抛物线y＝－x2＋bx－c经过点B(4，0)和点C(0，2)，与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC. 解：将点B(4，0)和C(0，2)代入抛物线y＝－x2＋bc＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2. 在y＝－x2＋x＋2中， 令y＝0，得－x2＋x＋2＝0. ∴D.设E(0，t). 即[(4－0)2＋(0－t)2]＋ ＝＋(0－1)2. 8．如图，已知点A位于第一象限，且在直线y＝2x－3上，过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，BC＝. ∵BC＝，∠BOC＝90°， ∴5＝a2＋(2a－3)2.解得a＝2或a＝. ∴点A的坐标为(2，1)或. 在△HAD与△EDG中， ∴OG＋OH＝DH＋DG＝3－2m＋1＝2＋m.∴m＝.∴点E的坐标为. 9．已知一次函数y＝－x＋1与反比例函数y＝－的图象交于点A，B，在x轴上存在点P(n，0)，使△ABP为直角三角形，则点P的坐标是 ________________________________________________． (3，0)或(－3，0)或或 (－1，1)或 解：把C(1，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 (2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接AE′，BE′，求BE′＋AE′的最小值； 解：在OE上取一点D，使得OD＝OE， 连接DE′，BD. ∵OD＝OE＝OE′，抛物线对称轴为直线x＝－＝－1， ∴E(－1，0)，OE′＝OE＝1，OD＝. ∵C(1，0)，∴A(－3，0)，OA＝3. ∴＝＝. 又∵∠DOE′＝∠E′OA， ∴△DOE′∽△E′OA.∴DE′＝AE′. ∴BE′＋AE′＝BE′＋DE′. BD＝＝＝. ∴BE′＋AE′的最小值为. 解：存在．点N的横坐标为或或－1或2. [设N(n，－n2－2n＋3)，M(x，y).∵A(－3，0)，B(0，3)，∴AB2＝18，AN2＝(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2，BN2＝n2＋(n2＋2n)2.∵点A，B，M，N构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形．①若AB是斜边，则AB2＝AN2＋BN2，即18＝(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2＋n2＋(n2＋2n)2.解得n＝0(舍去)或n＝－3(舍去)或n＝或n＝；②若AN是斜边，则AN2＝AB2＋BN2，即(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2＝18＋n2＋(n2＋2n)2.解得n＝0(舍去)或n＝－1；③若BN是斜边，则BN2＝AB2＋AN2，即n2＋(n2＋2n)2＝18＋(n＋3)2＋(n2＋2n－3)2.解得n＝－3(舍去)或n＝2.综上所述，点N的横坐标为或或－1或2.] $$