圆的证明与计算滚动集训（课件PPT）-【中考2号】2024年中考数学练测（四川专用）

圆的证明与计算滚动集训 2024四川数学 1．(2023·德阳) 如图，已知AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D，且CD＝OA，AE∥OC. (1)求证：AC是∠EAD的平分线； 证明：∵AE∥OC，∴∠EAC＝∠OCA. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∴∠EAC＝∠OAC. ∴AC是∠EAD的平分线． 与圆的基本性质有关的证明与计算 类型 1 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)求∠ACD的度数； 解：连接CB.设∠OAC＝α. 由(1)知，∠EAC＝∠OAC＝∠OCA＝α. ∴∠EAO＝∠EAC＋∠OAC＝2α， ∠COB＝∠OAC＋∠OCA＝2α. ∵CD＝OA＝OC， ∴∠COB＝∠D＝2α. 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 ∵∠BCD＋∠BCE＝∠EAO＋∠BCE＝180°， ∴∠BCD＝∠EAO＝2α. ∴∠OBC＝∠BCD＋∠D＝4α. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝4α. ∴∠OBC＋∠OCB＋∠COB＝4α＋4α＋2α＝10α＝180°.∴α＝18°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB＝90°. ∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋2α＝90°＋36°＝126°. 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 解：设⊙O的半径为r，BD＝a，则CD＝r. ∵∠EAC＝∠OAC，∴EC＝BC. 又∵∠D＝∠BCD＝2α＝36°， ∴EC＝BC＝BD＝a. ∵AE∥OC，∴△DOC∽△DAE. 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 2．(2023·衡阳) 如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G. (1)求证：AF＝DF； 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠B＝90°. ∵∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠B. 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 设AE＝x，则DE＝2x. 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 (1)求证：AD＝BD； 证明：∵CD平分∠ACM， ∴∠ACD＝∠MCD. ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠MCD＝∠BAD. 又∵∠ACD＝∠ABD，∴∠BAD＝∠ABD. ∴AD＝BD. 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)若AC＝10，AF＝3，DF∶FE＝3∶2，求DE的长． 解：∵BD＝AD，BC＝AF， ∵BC＝AF，∴∠BDC＝∠ADF. ∴∠CDA＝∠BDF＝∠EAF. ∵∠DCA＝∠DBA，∠EFA＝∠DBA， ∴∠DCA＝∠EFA.∴△AEF∽△DAC. 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 4．(2023·内江) 如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M. 与切线有关的证明与计算 类型 2 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 (1)求证：直线DE是⊙O的切线； 证明：连接OD. ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. ∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE是⊙O的切线． 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由； 解：△ABM是等边三角形． 理由：∵DE⊥AC，∠F＝30°， ∴∠EAF＝60°.∴∠EAD＝∠DAF＝30°. ∴∠CBD＝∠CAD＝30°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ABC＝90°－∠EAF＝30°. ∴∠ABM＝∠ABC＋∠CBD＝60°＝∠MAB. ∴△ABM是等边三角形． 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 (3)在(2)的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长． 解：∵△ABM是等边三角形，∠ADB＝90°， ∴∠M＝60°，MD＝BD.∴∠MDE＝30°. ∵ME＝1，∴MD＝2ME＝2. ∴AB＝MB＝2MD＝4. ∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝30°， 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 (1)求证：CD是⊙O的切线； 证明：连接OE. ∴∠FAE＝∠EAB. ∵OA＝OE， ∴∠AEO＝∠EAB. ∴∠FAE＝∠AEO.∴AF∥OE. ∵CD⊥AF，∴OE⊥CD. ∵OE是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)求证：EM＝EN； 证明：∵AB是⊙O的半径， ∴∠AEB＝90°.∴∠EAB＋∠ABE＝90°. ∵OE⊥CD，∴∠CEB＋∠OEB＝90°. ∵OB＝OE，∴∠ABE＝∠OEB. ∴∠CEB＝∠EAC. ∵CM平分∠ACD，∴∠ECM＝∠ACM. ∴∠CEB＋∠ECM＝∠EAC＋∠ACM. ∴∠ENM＝∠EMN. ∴EM＝EN. 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 解：由(2)知，EM＝EN，∠EMN＝∠ENM＝∠BNC. 又∵∠ECM＝∠BCN，∴△EMC∽△BNC. ∴EM＝2BN，CE＝2BC. 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 ∵∠BEC＝∠EAC，∠BCE＝∠ECA， ∴△BEC∽△EAC. ∴BE＝9(负值已舍去). ∵EN＝EM＝2BN， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AE2＋BE2＝AB2， 返回首页 圆的证明与计算滚动集训 首页 1 2 3 4 5 总目录 本讲内容结束 (3)求的值． ∴＝，即＝.∴a＝r. ∴＝＝＝. 证明：∵D是弧AC的中点，∴＝. ∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径， ∴＝.∴＝. ∴∠ADH＝∠CAD.∴AF＝DF. (2)若AF＝，sin ∠ABD＝，求⊙O的半径． ∴sin ∠ADE＝.∴tan ∠ADE＝. ∵DF＝AF＝，∴EF＝2x－. ∵AE2＋EF2＝AF2，∴x＝2. ∴AD＝＝2.∴AB＝＝10. ∴⊙O的半径为5. 3.如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角平分线，F为上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于点E. ∴＝，＝.∴＝.∴CD＝DF. ∴＝，即＝.∴EF·DF＝30. ∵DF∶FE＝3∶2，∴设DF＝3x，则FE＝2x. ∴6x2＝30，解得x＝(负值已舍去). ∴DE＝DF＋FE＝5x＝5. ∴AC＝AB＝2. ∵∠CAD＝30°，cos ∠CAD＝＝， ∴AP＝. 5．(2023·宜宾) 如图，以AB为直径的⊙O上有两点E，F，＝，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过点C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N. ∵＝， (3)如果N是CM的中点，且AB＝9，求EN的长． ∴＝＝. ∵N是CM的中点，∴＝＝＝2. ∴＝＝＝.∴AE＝2BE. ∴(2BE)2＋BE2＝(9)2. ∴EN＝BE＝6. $$