九年级数学期末模拟卷（北京版，测试范围：九年级上册全部）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期末模拟考试

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册全部。 5．难度系数：0.8。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在中，，，，则的正弦值为(　　) A． B． C． D． 2．若⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是(　　) A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 3．关于二次函数 ，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象的对称轴在y轴的右侧 D．此函数配方成顶点式为 4．如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 6．若反比例函数的图象经过点，下列说法错误的是（    ） A．k的值为8 B．y随x的增大而增大 C．点在该函数图象上 D．图象在一、三象限内 7．已知：不在同一直线上的三点，，，求作：，使它经过点，，，作法：如图． （1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，与直线交于点； （3）以为圆心，长度为半径作，则即为所求． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论正确的是（        ） A．连接，则点是的内心 B．若与直线，分别交于点，，则 C．连接，则点在线段的垂直平分线上 D．连接，，则接，不是的半径 8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ） A．20米 B．米 C．米 D．米 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留） 10．将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ． 11．如图，，如果，，，那么的长是 ． 12．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 13．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 14．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ． 15．若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 16．已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是 ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）计算： ﹣3+（3.14﹣π）0﹣（5﹣3）+2sin30°． 18．（5分）如图，在中，，，．求的长和的值． 19．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 20．（5分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 21．（6分）如图，线段表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为，要让冬季太阳光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度为x米，遮阳蓬的落空高度为y米，请你根据设计方案计算x与y的值约为多少．（） 22．（6分）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图，在四边形中，． 求证：点，，，在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下： 步骤一  利用直尺与圆规，作出过，，三点的，并保留作图痕迹． 步骤二  用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． （i）如图2，假设点在内． 延长交于点，连接， ∴（ ① ）．（填推理依据） ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在内． （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴ ② ． ∵是的外角， ∴ ③ ． ∴ ④ ． ∴ ⑤ ． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． ∴点，，，在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： (1)根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； (2)填写推理依据：①________________； (3)填空：②________，③________，④________，⑤________． 23．（6分）如图，在中，，平分交于点，点在上，． (1)求证：是的外接圆的切线； (2)若，，求的长． 24．（6分）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 25．（6分）如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 26．（6分）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 27．（7分）（1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：; （2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积； （3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长． 28．（6分）将平面直角坐标系中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，，称与中的最大值为点和点的“联络量”，记作，．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”． 如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数． (1)①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有 ； ②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为　　　 　 ； (2)已知二次函数上的任一点均满足将点，，，，，分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出的取值范围 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册全部。 5．难度系数：0.8。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在中，，，，则的正弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，，， 故选：C． 2．若⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是(　　) A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵OA=3cm＜4cm， ∴点A在⊙O内． 故选A． 3．关于二次函数 ，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象的对称轴在y轴的右侧 D．此函数配方成顶点式为 【答案】D 【详解】解：， 当时，，图象与y轴的交点坐标为，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线，，图象开口向上， 当时，y随x的增大而减小，故选项B错误； 图象的对称轴在y轴的左侧，故选项C错误， ，故选项D正确， 故选：D． 4．如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是外角， ∴． 故选：B 5．如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A, 可得，此项不符合题意； B.，可得，此项不符合题意； C.，即可得，此项不符合题意； D.和不能判断，此项符合题意． 故选：D． 6．若反比例函数的图象经过点，下列说法错误的是（    ） A．k的值为8 B．y随x的增大而增大 C．点在该函数图象上 D．图象在一、三象限内 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，即，故A说法正确，不符合题意； ∵， ∴该函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，故B说法错误，符合题意；D说法正确，不符合题意； 当时，， ∴点在该函数图象上，故C说法正确，不符合题意； 故选B． 7．已知：不在同一直线上的三点，，，求作：，使它经过点，，，作法：如图． （1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，与直线交于点； （3）以为圆心，长度为半径作，则即为所求． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论正确的是（        ） A．连接，则点是的内心 B．若与直线，分别交于点，，则 C．连接，则点在线段的垂直平分线上 D．连接，，则接，不是的半径 【答案】C 【详解】解：如图，连接，， 、由作图方法可知点是三条线段垂直平分线的交点， ∴点是外心，不一定是内心，故说法错误，不符合题意； 、∵，， ∴，， ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，故说法错误，不符合题意； 、∵，（线段垂直平分线的性质）， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上，故说法正确，符合题意； 、由题意可得，是的半径，故说法错误，不符合题意； 故选：C． 8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）    A．20米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】∵点G是BC中点，EG∥AB，    ∴EG是△ABC的中位线．∴AB=2EG=30米． 在Rt△ABC中，∠CAB=30°， ∴BC=ABtan∠BAC=30×=10米． 如图，过点D作DF⊥AF于点F． 在Rt△AFD中，AF=BC=10米， 则FD=AF•tanβ=10×=10米． 综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米．故选A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：该扇形的弧长为， 故答案为：． 10．将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：依题意， 因为抛物线先向右平移4个单位， 所以 因为向下平移5个单位， 所以， 故答案为： 11．如图，，如果，，，那么的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 【答案】 【详解】解：如图： ， ，即相似比为, ，, 故答案为：． 13．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 【答案】 【详解】解：连接，    ∵，分别与相切于两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，． 故答案为： 15．若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且， 点、不在同一象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ， 解得． 故答案为：． 16．已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：当时，， 当时，，故①正确； 当时，，故点火后火箭没有落于地面，故②错误； 当时，，解得， 小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为，故③正确； 由，当时，小火箭飞行过程中与地面的最大距离为，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）计算： ﹣3+（3.14﹣π）0﹣（5﹣3）+2sin30°． 【详解】解：原式=5﹣3+1﹣5+3+1 =2． …………………………………………………………………………4分 18．（5分）如图，在中，，，．求的长和的值． 【详解】解：在中，，， ∴， …………………………………………………………………3分 ∴， ∴． ………………………………………………………………5分 19．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ， 解得：， ∴解析式为：； …………………………………………………………………3分 （2）解：， ∴对称轴为直线，顶点为． …………………………………………………………………5分 20．（5分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 【详解】（1）证明：于点，， ， ， ； …………………………………………………………………2分 （2）解：， ， ，，， ， ． …………………………………………………………………5分 21．（6分）如图，线段表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为，要让冬季太阳光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度为x米，遮阳蓬的落空高度为y米，请你根据设计方案计算x与y的值约为多少．（） 【详解】解： 由图1可知，， ……………………………………………………2分 由图2可知， ，…………………………………………………………………2分 解得：， 答：遮阳蓬的长度约为米，遮阳蓬的落空高度约为米．………………………………6分 22．（6分）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图，在四边形中，． 求证：点，，，在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下： 步骤一  利用直尺与圆规，作出过，，三点的，并保留作图痕迹． 步骤二  用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． （i）如图2，假设点在内． 延长交于点，连接， ∴（ ① ）．（填推理依据） ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在内． （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴ ② ． ∵是的外角， ∴ ③ ． ∴ ④ ． ∴ ⑤ ． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． ∴点，，，在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： (1)根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； (2)填写推理依据：①________________； (3)填空：②________，③________，④________，⑤________． 【详解】（1）分别作和的垂直平分线，交点即为圆心，以点为圆心，以线段的长度为半径作圆． …………………………………………………………………1分 （2）的依据为：圆内接四边形对角互补． 故答案为：圆内接四边形对角互补．…………………………………………………………………2分 （3）参照（i）的证明过程，可知： （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 故答案为：；；； …………………………………………………………………6分 23．（6分）如图，在中，，平分交于点，点在上，． (1)求证：是的外接圆的切线； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图， ， ， 为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心． 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是的外接圆的切线． …………………………………………………………………3分 （2）解：设的外接圆的半径为 在中， ， 即， 解得． ， ， 即， ． …………………………………………………………………6分 24．（6分）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； ………………………………………3分 （2）如图，过作轴于，过作轴于， 设，则， 解得（舍去）或 经检验，是原分式方程的解， ． …………………………………………………………………6分 25．（6分）如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【详解】（1）解：证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径． 是的切线． …………………………………………………………………3分 （2）解：过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设，则， ， 在中，， 即， 解得：， （舍去）， ， 即的半径为； …………………………………………………………………6分 26．（6分）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 【详解】（1）解：根据题意，令，易得， 令，，可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为，此时， 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； …………………………………………………………………4分 （2）解：函数，令， ， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． ………………………………………6分 27．（7分）（1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：; （2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积； （3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ； …………………………………………………………………2分 （2）解：如图，过C作于点D． ， ， 又， ， ，， ， ； …………………………………………………………………4分 （3）解：如图，在线段上取一点F，使，并连结． 平分， ∴， ， 又， ， ， ， ，， ， ，即 ． …………………………………………………………………7分 28．（6分）将平面直角坐标系中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，，称与中的最大值为点和点的“联络量”，记作，．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”． 如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数．    (1)①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有 ； ②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为　　　 　 ； (2)已知二次函数上的任一点均满足将点，，，，，分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出的取值范围 ． 【详解】（1）①，，，，， ，， ，， ，， ，， 与点的“联络量”是2的有点，点； 故答案为：点，点； …………………………………………………………………2分 ②，， 当点在点的右边时，， 当点在点的左边时，， 如图1，过和作轴和轴的平行线得动点所在区域为：矩形，    动点所在区域的面积； 故答案为：45； …………………………………………………………………4分 （2）如图2，由平移可知：可以看用由向左或向右平移所得，    当时，， ， 当抛物线在点的右侧时，， ， 当抛物线在点的左侧时，， ， 综上，的取值是或． ………………………………………………………………6分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D B D B C A 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16．①③④ 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分） 【详解】解：原式=5﹣3+1﹣5+3+1 =2． …………………………………………………………………………4分 18．（5分） 【详解】解：在中，，， ∴， …………………………………………………………………3分 ∴， ∴． ………………………………………………………………5分 19．（5分） 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ， 解得：， ∴解析式为：； …………………………………………………………………3分 （2）解：， ∴对称轴为直线，顶点为． …………………………………………………………………5分 20．（5分） 【详解】（1）证明：于点，， ， ， ； …………………………………………………………………2分 （2）解：， ， ，，， ， ． …………………………………………………………………5分 21．（6分） 【详解】解： 由图1可知，， ……………………………………………………2分 由图2可知， ，…………………………………………………………………2分 解得：， 答：遮阳蓬的长度约为米，遮阳蓬的落空高度约为米．………………………………6分 22．（6分） 【详解】（1）分别作和的垂直平分线，交点即为圆心，以点为圆心，以线段的长度为半径作圆． …………………………………………………………………1分 （2）的依据为：圆内接四边形对角互补． 故答案为：圆内接四边形对角互补．…………………………………………………………………2分 （3）参照（i）的证明过程，可知： （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 故答案为：；；； …………………………………………………………………6分 23．（6分） 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图， ， ， 为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心． 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是的外接圆的切线． …………………………………………………………………3分 （2）解：设的外接圆的半径为 在中， ， 即， 解得． ， ， 即， ． …………………………………………………………………6分 24．（6分） 【详解】（1）解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； ………………………………………3分 （2）如图，过作轴于，过作轴于， 设，则， 解得（舍去）或 经检验，是原分式方程的解， ． …………………………………………………………………6分 25．（6分） 【详解】（1）解：证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径． 是的切线． …………………………………………………………………3分 （2）解：过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设，则， ， 在中，， 即， 解得：， （舍去）， ， 即的半径为； …………………………………………………………………6分 26．（6分） 【详解】（1）解：根据题意，令，易得， 令，，可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为，此时， 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； …………………………………………………………………4分 （2）解：函数，令， ， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． ………………………………………6分 27．（7分） 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ； …………………………………………………………………2分 （2）解：如图，过C作于点D． ， ， 又， ， ，， ， ； …………………………………………………………………4分 （3）解：如图，在线段上取一点F，使，并连结． 平分， ∴， ， 又， ， ， ， ，， ， ，即 ． …………………………………………………………………7分 28．（6分） 【详解】（1）①，，，，， ，， ，， ，， ，， 与点的“联络量”是2的有点，点； 故答案为：点，点； …………………………………………………………………2分 ②，， 当点在点的右边时，， 当点在点的左边时，， 如图1，过和作轴和轴的平行线得动点所在区域为：矩形，    动点所在区域的面积； 故答案为：45； …………………………………………………………………4分 （2）如图2，由平移可知：可以看用由向左或向右平移所得，    当时，， ， 当抛物线在点的右侧时，， ， 当抛物线在点的左侧时，， ， 综上，的取值是或． ………………………………………………………………6分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（5 分） 20．（5 分） 21．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7[A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9．______________ 10．______________11．______________ 12．______________13．______________14．______________ 15．______________16．______________ 三、解答题：本题共 12 小题，共 68分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（4 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（6 分） 23．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6 分） 25．（6 分） 26．（6 分） 27．（7 分） 28．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册全部。 5．难度系数：0.8。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在中，，，，则的正弦值为(　　) A． B． C． D． 2．若⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是(　　) A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 3．关于二次函数 ，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象的对称轴在y轴的右侧 D．此函数配方成顶点式为 4．如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 6．若反比例函数的图象经过点，下列说法错误的是（    ） A．k的值为8 B．y随x的增大而增大 C．点在该函数图象上 D．图象在一、三象限内 7．已知：不在同一直线上的三点，，，求作：，使它经过点，，，作法：如图． （1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，与直线交于点； （3）以为圆心，长度为半径作，则即为所求． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论正确的是（        ） A．连接，则点是的内心 B．若与直线，分别交于点，，则 C．连接，则点在线段的垂直平分线上 D．连接，，则接，不是的半径 8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ） A．20米 B．米 C．米 D．米 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留） 10．将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ． 11．如图，，如果，，，那么的长是 ． 12．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 13．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 14．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ． 15．若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 16．已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是 ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）计算： ﹣3+（3.14﹣π）0﹣（5﹣3）+2sin30°． 18．（5分）如图，在中，，，．求的长和的值． 19．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 20．（5分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 21．（6分）如图，线段表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为，要让冬季太阳光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度为x米，遮阳蓬的落空高度为y米，请你根据设计方案计算x与y的值约为多少．（） 22．（6分）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图，在四边形中，． 求证：点，，，在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下： 步骤一  利用直尺与圆规，作出过，，三点的，并保留作图痕迹． 步骤二  用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． （i）如图2，假设点在内． 延长交于点，连接， ∴（ ① ）．（填推理依据） ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在内． （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴ ② ． ∵是的外角， ∴ ③ ． ∴ ④ ． ∴ ⑤ ． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． ∴点，，，在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： (1)根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； (2)填写推理依据：①________________； (3)填空：②________，③________，④________，⑤________． 23．（6分）如图，在中，，平分交于点，点在上，． (1)求证：是的外接圆的切线； (2)若，，求的长． 24．（6分）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 25．（6分）如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 26．（6分）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 27．（7分）（1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：; （2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积； （3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长． 28．（6分）将平面直角坐标系中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，，称与中的最大值为点和点的“联络量”，记作，．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”． 如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数． (1)①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有 ； ②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为　　　 　 ； (2)已知二次函数上的任一点均满足将点，，，，，分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出的取值范围 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年九年级数学期末模拟卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [ A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9． ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． ____ __________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题：本题共 12 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 ．（ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 5 分） 19 ．（ 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 5 分） （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 6 分） 23 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24．（6分） 25．（6分） 26 ．（ 6 分） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27 ．（ 7 分） 28 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$