第1章 图形的相似 单元监测-2024-2025学年青岛版数学九年级上册

第1章相似三角形 数 学 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A D C A C B B B B 12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】  17.【答案】解：如图，过点作，交于点，交于点， 四边形，四边形为矩形． ，，． ，． ，∽． 即， 解得． ． 答：水塔的高度为．  18.【答案】解：如图，即为所求，其中点的对应点的坐标为． 如图所示，即为所求，点的对应点的坐标为；  19.【答案】 （1）证明：，， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ． 20.【答案】解：；． 当时， 若∽，则， ， ，，，， ， 解得：， 当， 若， 则有∽， 所以， 即， 解得：不符合题意，舍去； 当时，∽．  21.【答案】解：已知，，，点、、、、在一条直线上， ， 米，米，米，米，米， 由题意可知：， ∽， ， 设， ， ， ，， ∽， ，且， ， ， 大雁塔的高度米．  22.【答案】解：设米． ，， ∽， ，， ， ，∽， ， ， 解得， 经检验是分式方程的解， 答：大雁塔的高度为米．  23.【答案】解：，， 直角边长，，， 设图中正方形边长为，图中正方形边长为， 如图所示，四边形是正方形， ，，，， ，即， ，，，即， ，， 解得， 图中正方形的边长为； 如图所示， 同理可证明， ，即， 解得， 图中正方形的边长为， ， 图的正方形边长大于图的正方形边长， 图中的正方形面积较大． 数学答案 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章相似三角形 数 学 问 卷 数学问卷共6页。选择题30分，非选择题90分，满分120分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.观察下列每组图形，是相似形的是(    ) A. B. C. D. 2.已知∽，，若，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，、分别是和的中点，，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则▱的周长为(    ) A. B. C. D. （3） （4） （5） （6） 5.如图，∽，，其中，的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在方格纸中，和的顶点均在格点上，要使∽，则点所在的格点应为(    ) A. B. C. D. 7.如图，矩形相框的外框矩形的长为，宽为，上下边框的宽度都为，左右边框的宽度都为，则符合下列条件的，的值能使内框矩形和外框矩形相似的为(    ) A. B. C. ， D. ， 8.如图，已知和为位似图形，点为位似中心，且和的周长之比是，则下列结论：；；∽；其中错误的有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 （8） （9） （10） 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的相似比为的，则位似中心的坐标和的值分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 10.九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则古井水面以上深度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，已知和的面积相等，点在边上，交于点，，，则的长为          ． （11） （12） （13） （14） 12.如图，在矩形中，若，，，则的长为          ． 13.如图，四边形中，，对角线交于点，已知，则           ． 14.数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为米的标杆影长为米，此时旗杆影长为米，则旗杆的高度为          米． 15.物理上的小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法，如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔在屏幕竖直放置上成像设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为           ． 16.如图，将正方形的边，绕着点逆时针旋转一定角度，得到线段，，连结交于点，连结，，若∽，则          ． （15） （15） 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为已知教学楼的高为，，小张的眼睛到地面的距离为求水塔的高度． 18.本小题分 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： 以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标； 以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为：并写出点的对应点的坐标． 19.本小题分 如图，在中，点、分别在、上，且． 求证：； 连接、，求证：． 20.本小题分 如图，，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，设运动时间为秒点到达点后，点也停止运动 ______， ______含的代数式表示； 当为何值时，与相似？ 21.本小题分 在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度平面镜大小厚度忽略不计 22.本小题分 大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度平面镜大小忽略不计． 23.本小题分 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，面积为，甲、乙两位木匠分别按图、把它加工成一个正方形桌面．请说明哪个正方形面积较大加工损耗不计． 数 学 问 卷 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$数 学 问 卷 1 / 6 第 1 章相似三角形 数 学 问 卷 数学问卷共 6页。选择题 30分，非选择题 90 分，满分 120 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.观察下列每组图形，是相似形的是( ) A. B. C. D. 2.已知△ ���∽△ ���，���� = 1 2，若�� = 2，则�� =( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 3.如图，在△ ���中，�、�分别是��和��的中点，�四边形���� = 15，则�△��� =( ) A. 30 B. 25 C. 22.5 D. 20 4.如图，点�是▱����的边��上的一点，且���� = 1 2，连接��并延长交��的延长线于点�，若�� = 3，�� = 4，则 ▱ ����的周长为( ) A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 （3） （4） （5） （6） 5.如图，△ ���∽△ ���，�△���: �四边形���� = 1: 2，其中�� = 2，��的长为( ) A. 6 B. 2 2 C. 3 2 D. 6 6.如图，在方格纸中，△ ���和△ ���的顶点均在格点上，要使△ ���∽△ ���，则点�所在的格点应为( ) A. �1 B. �2 C. �3 D. �4 7.如图，矩形相框的外框矩形的长为 12��，宽为 8��，上下边框的宽度都为� ��，左右边框的宽度都为� ��， 则符合下列条件的�，�的值能使内框矩形和外框矩形相似的为( ) A. � = � B. 3� = 2� C. � = 1，� = 2 D. � = 3，� = 2 数 学 问 卷 2 / 6 8.如图，已知△ ���和△���为位似图形，点�为位似中心，且△ ���和△ ���的周长之比是 4: 3，则下列结论：①��/ /��；② ���� = 4 3；③△ ���∽△���；④ �△��� �△��� = 2 33 .其中错误的有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 （8） （9） （10） 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点�(0,0)，�(6,0)，�(0,8)，以某点为位似中心，作出与△ ���的相似比为� 的△ ���，则位似中心的坐标和�的值分别为( ) A. (0,0)，2 B. (2,2)，12 C. (2,2)，2 D. (1,1)， 1 2 10.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口�处立一垂直于井口的木杆��， 从木杆的顶端�观测井水水岸�，视线��与井口的直径��交于点�，若测得�� = 1 米，�� = 1.6 米，�� = 0.4 米， 则古井水面以上深度��为( ) A. 4 米 B. 3 米 C. 3.2 米 D. 3.4 米 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11.如图，已知△ ���和△ ���的面积相等，点�在��边上，��//��交��于点�，�� = 12，�� = 9，则��的长为 ． （11） （12） （13） （14） 12.如图，在矩形����中，若�� = 3，�� = 5，���� = 1 4，则��的长为 ． 13.如图，四边形����中，��/ ​ /��，对角线��, ��交于点�，已知 �▵��� �▵��� = 12，则 �△��� �△��� = ． 14.数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为 2 米的标杆影长为 1.2 米，此时 旗杆影长为 7.2 米，则旗杆的高度为 米． 数 学 问 卷 3 / 6 15.物理上的小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法，如图，燃烧的蜡烛(竖直放 置)��经小孔�在屏幕(竖直放置)上成像�′�′.设�� = 36��，�′�′ = 24��.小孔�到��的距离为 30��，则小 孔�到�′�′的距离为 ��． 16.如图，将正方形����的边��，��绕着点�逆时针旋转一定角度，得到线段��′，�′�′，连结��′交��于点 �，连结��′，��′，若△ ���′∽△ ���′，则∠���′ = ． （15） （15） 三、解答题：本题共 7 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 6 分) 如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度��.当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点�处时， 刚好看到教学楼顶端�与水塔顶端�在一条直线上，此时他与教学楼的距离��为 55.2 �.已知教学楼��的高为 20 �， �� = 30 �，小张的眼睛到地面的距离��为 1.6 �.求水塔的高度��． 数 学 问 卷 4 / 6 18.(本小题 8 分) 如图所示的平面直角坐标系中，△ ���的三个顶点坐标分别为�( − 3,2)，�( − 1,3)，�( − 1,1)，请按如下要求画图： (1)以坐标原点�为旋转中心，将△ ���顺时针旋转 90°，得到△ �1�1�1，请画出△ �1�1�1，并写出点�的对应点�1 的坐标； (2)以坐标原点�为位似中心，在�轴下方，画出△ ���的位似图形△ �2�2�2，使它与△ ���的位似比为 2：1.并写出 点�的对应点�2的坐标． 19.(本小题 10 分) 如图，在▵���中，点�、�分别在��、��上，且∠��� +∠��� = 180∘． (1)求证：▵��� ∽ ▵���； (2)连接��、��，求证：▵��� ∽ ▵���． 20.(本小题 10 分) 如图，�� = 16��，�� = 12��，动点�从点�出发，以每秒 2��的速度沿��边向点�运动，同时动点�从点�出发， 以每秒 1��的速度沿��边向点�运动，设运动时间为�秒. (点�到达点�后，点�也停止运动) (1)�� = ______��，�� = ______��(含�的代数式表示)； (2)当�为何值时，△ ���与△ ���相似？ 数 学 问 卷 5 / 6 21.(本小题 12 分) 在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度.测量方案如下：如图，首先，小 辉站在�处，位于点�正前方 3 米点�处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端�的像，此时测得小辉 的眼睛到地面的距离��为 1.6 米；然后，小刚在�处竖立了一根高 2.4 米的标杆��，发现地面上的点�、标杆顶点� 和塔顶�在一条直线上，此时测得��为 6 米，��为 28 米，已知�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，点�、�、�、�、 �在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度��. (平面镜大小厚度忽略不计) 22.(本小题 12 分) 大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹， 是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在 �处，位于点�正前方 3 米点�处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端�的像，此时测得小明的 眼睛到地面的距离��为 1.5 米；然后，小刚在�处竖立了一根高 2 米的标杆��，发现地面上的点�、标杆顶点�和 塔顶�在一条直线上，此时测得��为 6 米，��为 58 米，已知�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，点�、�、�、�、� 在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度��(平面镜大小忽略不计)． 数 学 问 卷 6 / 6 23.(本小题 14 分) 一块直角三角形木板，它的一条直角边��长 3�，面积为 6�2，甲、乙两位木匠分别按图①、②把它加工成一个正 方形桌面．请说明哪个正方形面积较大(加工损耗不计)． 第1章相似三角形 数 学 答 案 10 12.【答案】113.【答案】/0.2514.【答案】1215.【答案】2016.【答案】75* 17. 【答案】解:如图,过点作1 ,交于点,交于点, _____-- -四边形 ,四边形 为矩形. -30. =55.2 . =1.6. , -85.2(). _ 1 =18.4( ). // .△ .. _△ ) 即552194 85.2 解得 =28.4 . . -28.4+1.6-30(). 答:水塔的高度 为30. 18.【答案】解:(1)如图,△111即为所求,其中点的对应点1的坐标为(3.1) (2)如图所示,△222即为所求,点的对应点2的坐标为(2.一6); 数学答案 1/ 4 19.【答案】 =180*,< (1)证明:: +& +z =180*. . =乙 “乙 =< , . , (2)证明:: ! . 一 , ! 又 . 20.【答案】解:(1)2;(16-). (2)当0 <6时, 若△ △ ,则//. .一=一. =16 =12 , =2 , =(16-) 6- 解得: ②当<=,$$ 若乙 =乙. 则有△ △ . 所以一=-, 即1-# 解得:三6.4(不符合题意,舍去); .当= △ , 数学答案 2/4 21.【答案】解:已知 ,点 在一条直线上. =乙 . = =90°, =2.4米, : =1.6米, =6米, =3米, =28米, 由题意可知:之 =乙 .△ △ .= 设 . “乙 = .△ ^△ . -15 -=-,且 +2 8+6-15 = + + -+34. 8 8 1534 . =54.4, .大雁塔的高度 =54.4米. 22.【答案】解:设 =米. “乙 =乙 =90$ .△ △ . 3 . -2; / 0 ,△ △ . .__= 解得 =64, 经检验 三64是分式方程的解 答:大雁塔的高度 为64米. 数学答案 3/4 23.【答案】解:△ 6 2 =90”, =6. ·直角边 长3, =4, =+2=5 设图中正方形边长为 ,图②中正方形边长为 如图(所示,:四边形 是正方形, // . _ =90{,. . , -=-,即3=” =0.6. “乙 $= =$9 0^,$ $=$$,$$ =1.25,. + = 1.25 +0.6 =3.$ 解得 ; 如图②所示. 同理可证明 .一=-。 即3- :图②中正方形的边长为2. 12- ,。 .图②的正方形边长大于图的正方形边长. :图②中的正方形面积较大 G A 图① 图② 数学答案 4/4