高二数学期末模拟卷（湘教版2019选择性必修第一册：数列、平面解析几何初步、圆锥曲线与方程、计数原理)-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二上学期期末模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：湘教版2019选修第一册（数列、平面解析几何初步、圆锥曲线与方程、计数原理）。 4．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为，所以所求的直线斜率为， 故直线方程为，即. 故选：A. 2．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 3．已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，则直线AB的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（   ） A．4天 B．3天 C．2天 D．1天 【答案】C 【解析】设这女子每天分别织布尺， 则数列是等比数列，公比． 则，解得． 数列的通项公式为， ， 当时，则， 当时，则， 故超过1尺的天数共有2天. 故选：C． 5．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【答案】D 【解析】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴，，故C正确，D错误； 又∵，， 所以，， ，， ，， ，，故A、B正确. 故选：D. 7．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 8．如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则， 可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：D.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（    ） A．男生必须排在一起的坐法有576种 B．女生互不相邻的坐法有1440种 C．男女生相间的坐法有72种 D．男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 【答案】ABD 【解析】对于A：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素全排列， 再排4个男生的内部顺序，共有种结果，故A正确； 对于B：由题意，可以先将男生全排列，再用插空法排女生， 共有种结果，故B正确； 对于C：男女生相间，则必定为男、女、男、女、男、女、男的顺序，故共有种排法，故C错误； 对于D：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有种， 再排他们内部的顺序，有种结果， 根据分步计数原理，共有种结果，故D正确． 故选：ABD. 10．设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD. 11．下列说法正确的是（   ） A．不经过原点的直线都可以表示为 B．若直线与两坐标轴交点分别为A、B，且的中点为，则直线l的方程为 C．过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或 D．直线的截距式方程为 【答案】BCD 【解析】对于A，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A选项错； 对于B，AB的中点为，则有，则直线l的方程为，故B选项对； 对于C，直线过点且过原点时，直线为，直线过点且不过原点时，直线为，故C选项对； 对于D，方程可化为，为直线的截距式方程，故D选项对． 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【答案】167 【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 13．圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【解析】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 14．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点，点满足，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 . 【答案】 【解析】设，因为， 化简得到圆，是以为圆心，为半径的圆． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 【解析】（1）由，可得，...................................（2分） 令，所以直线过定点....................................（6分） （2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为，...................................（8分） 设直线与轴，轴正半轴交点为，，令， 得；令，得，...................................（10分） 所以面积，................（12分） 当且仅当，即时，面积最小值为4....................................（14分） 16．（15分）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【解析】（1）圆心到直线的距离为 ．...................................（2分） ∴P点到直线的距离的最大值为，...................................（4分） 最小值为．...................................（6分） （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点，...............（7分） ∴，解得，...................................（8分） 则，即的最大值为，...................................（9分） 最小值为．...................................（10分） 解法二：设，.........................（7分） 则，其中，...................................（8分） ∴得，即的最大值为，...................................（9分） 最小值为．...................................（10分） （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k，...................................（11分） 设，即，直线与圆有交点，.........................（12分） 设，解得．...................................（13分） 则，...................................（14分） 即的最大值为，最小值为．...................................（15分） 17．（15分）在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解. 条件①：；条件②：. 问题：已知，若__________. (1)求实数的值； (2)求的值. 【解析】（1）因为，...................................（2分） 若选条件①：令，可得，解得；...................................（4分） 若选条件②：令，可得，...................................（4分） 令，可得，...................................（6分） 则，解得..........................（8分） （2）由（1）可知：，且，..............（9分） 令，可得，...................................（10分） 则，...................................（12分） 所以.....................（15分） 18．（17分）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 【解析】（1）由得，...................................（2分） 则，，...................................（4分） 所以数列是首项为，公比为的等比数列....................................（6分） （2）由(1)得，，..............（8分） 所以 ，..............（10分） 设，，..........................（12分） 数列是单调递增数列， 当时，，...................................（13分） 当时，，...................................（14分） 所以满足条件的最大整数为2022....................................（15分） 19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为、，求的最大值． 【解析】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为，...................................（2分） 由题意可得，解得，...................................（4分） 所以，椭圆的标准方程为....................................（5分） （2）解：①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立可得，...................................（7分） ，可得，...................................（8分） 由韦达定理可得，，则，...................................（9分） 所以， ，解得，...................................（10分） 即直线的方程为，故直线过定点. ②由韦达定理可得，，...................................（11分） 所以，...................................（12分） ，...................................（13分） ，则，...................................（14分） 因为函数在上单调递增， 故，...................................（15分） 所以，，当且仅当时，等号成立，...................................（16分） 因此，的最大值为....................................（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 5 6 D D D B D 二、选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD BD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.167 13.25 14.42 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【解析】(1)由m+1x+1-2my-3=0，,可得mx-2y+(x+y-3)=0,…(2分) 令{-2y=0。r=2 x+y-3=0○=1：所以直线I过定点M(2.(6分) (2)由(1)知，直线（恒过定点M(2,1),由题意可设直线4的方程为 y-1=kX-2k<0）,…(8分) 设直线与x轴，y轴正半轴交点为A,B,令x=0, 得另1-2：令0，得，=2-是（10分) 所以408面积s=-22-引4+(34用44,12分) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 当且仅当4张=不博大=时，408面积最小值为414分》 16.(15分) 【解析】(1)圆心C(-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为 d=13×(-2)+4×0+1216 (2分) V32+4 P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1= 6 Γ5’ (4分) 最小值为d-r= 1 1 (6分) (2)解法一：设t=x-2y,则直线x-2y-1=0与圆(x+2)+y2=1有公共点，…(7分) :.2-1≤1，解得-5-251≤5-2， +22 (8分) 则1n=5-2,1n=-2-5,即x-2y的最大值为5-2，…(9分) 最小值为-2-√5.(10分) 解法二：设x=-2+cos0,y=sin0,(7分) 则x-2y=-2+co30-2sin0=-2-5sin(0-p）,其中anp=2,… (8分) .得-2-5≤x-2y≤-2+V5,即x-2y的最大值为V5-2,… (9分) 最小值为-2-√5， （10分) 《3)宁子表示腿上的点P(x)与点化列连钱的斜率为水， (11分) 设-2=k,即红-y-青+2=0，直线：-y-k+2=0与圆（x+2+y2=1有交点，…(12分) x-1 设d=-张+2s1,解得3-55k≤3+5 +1 4 4 ，44.(13分) 则k=3+ 3-5 …(14分) 4 2,kn= 4 即号的最大值为45，最个值为3一5 x-1 (15分) 4 17.(15分) 【解析】(1)因为2x+m+(3x+1)=a+ax+ax2+…+aor”, （2分) 若选条件①：令x=0,可得a。=m+1=2,解得m=1…(4分) 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 若选条件②：令x=0,可得a=m+1,…(4分) 令x=1,可得a0+a1+a,+a3+…+a10=(m+34”,(6分） 则a1+,+a3+…+a。=(m+34°-m+1=4°-2，解得m=l.…(8分) (2)由(1)可知：(2x+2(3x+1)=a,+ar+4r2+…+4gr"，且a=2,…(9分) 令-有可得a-号+号…(-学++号器=0，《0分 则-号+学-4(-号++-0-2=-2，（12分 所以号+…4-器=[+号号+…+号 310 =2 (15分) 18.(17分) 【解】0由-将-女号 at2a,2a,2' .(2分) ，(4分) 所以数列日一是首项为1山公比为的等北数列一。 6分) 20女1-厂，1付”.8分) 所以古+ 9…小gjgw 设6=n*2-八，6-6=n1+2--2+=1>0 (12分) 数列(b}是单调递增数列， 当n=2022时，b24=2024- <2024，…(13分) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024 当n=2023时，b05=2025- >2024,…（14分） 所以满足条件的最大整数为2022 …(15分) 19.(17分) 【解析】(1)解：当点P为椭圆C短轴顶点时，△PAB的面积取最大值， 1 且最大值为48b三×2ab=ab=2,(2分》 2 a=2 由题意可得 {ab=2 解得b=1, 4.（4分） c2=a2-b2 c=V3 所以，椭圆C的标准方程为+少广=1 (5分) (2)解：①设点P(xy1Q(xy2) 若直线PQ的斜率为零，则点P、Q关于y轴对称，则k=-k,不合乎题意 设直线PQ的方程为x=少+n,由于直线PQ不过椭圆C的左、右顶点，则n≠±2， 联立 2+4=4可得(+4到y+2yv+m2-4=-0，…(7分) x ty n △=412n2-42+4(n2-4=16(t2+4-n）>0,可得n2<12+4,(8分) 自达定鬼可得+男梁 、则%42+g (9分) 4-m2 所以，点-，5-2.%+m-2y_+n-24.2 片+为2)+n-2另 +2为%++2片+2为4y+为+n+2勇 2-n.(2+ny+h)-2my_2-n_5 2+n2-+⅓+2092+n弓，解得n= 2 (10分) 即直线P0的方程为x=-子故直线P0过定点M(分0 ②由书达定理可得X+乃中香，以= 4+1 （11分) 所以，S-S,=)4M-BM-为=2V+为广-4 …(12分) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 平丽 4 1，…(13分) V42+15 72≥0，则V42+1525, .(14分) 因为函数fx)=x+!在5，+o上单调递增， 故42+15+1≥5+是-16 (15分) V4r2+15 V15l5… 所以，S-Ss、4=5 二16154，当且仅当1=0时，等号成立，.(16分) 15 因此，S-S,的最大值为 （17分) 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选修第一册（数列、平面解析几何初步、圆锥曲线与方程、计数原理）。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（） A． B． C． D． 2．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（   ） A．4天 B．3天 C．2天 D．1天 5．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（） A． B． C． D． 8．如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（    ） A．男生必须排在一起的坐法有576种 B．女生互不相邻的坐法有1440种 C．男女生相间的坐法有72种 D．男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 10．设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 11．下列说法正确的是（   ） A．不经过原点的直线都可以表示为 B．若直线与两坐标轴交点分别为A、B，且的中点为，则直线l的方程为 C．过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或 D．直线的截距式方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 13．圆与圆的公共弦长为 . 14．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点，点满足，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 16．（15分）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 17．（15分）在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解. 条件①：；条件②：. 问题：已知，若__________. (1)求实数的值； (2)求的值. 18．（17分）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为、，求的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：湘教版2019选修第一册（数列、平面解析几何初步、圆锥曲线与方程、计数原理）。 4．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（   ） A．4天 B．3天 C．2天 D．1天 5．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（    ） A．男生必须排在一起的坐法有576种 B．女生互不相邻的坐法有1440种 C．男女生相间的坐法有72种 D．男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 10．设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 11．下列说法正确的是（   ） A．不经过原点的直线都可以表示为 B．若直线与两坐标轴交点分别为A、B，且的中点为，则直线l的方程为 C．过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或 D．直线的截距式方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 13．圆与圆的公共弦长为 . 14．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点，点满足，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 16．（15分）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 17．（15分）在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解. 条件①：；条件②：. 问题：已知，若__________. (1)求实数的值； (2)求的值. 18．（17分）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为、，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选修第一册（数列、平面解析几何初步、圆锥曲线与方程、计数原理）。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知直线 1 : 1 0l x y   ， 2 : 2 1 0l x y   ，则过 1l 和 2l 的交点且与直线3 4 0x y  垂直的直线方程为（） A．4 3 1 0x y   B．3 4 1 0x y   C．4 3 1 0x y   D．3 4 1 0x y   2．已知实数 x，y 满足    2 22 3 3x y    ，则 2y x 的最小值为（ ） A． 6 1 B． 2 7  C．3 2 D． 15 1  3．已知点 (2, 1), (3, )A B m ，若 [ 2, 3 1]m   ，则直线 AB 的倾斜角的取值范围为（ ） A． π 3π , 3 4      B． π 3π 0, , π 3 4           C． π 2π 0, , π 4 3           D． π π 3π , , π 3 2 4          4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日 织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女 子每天分别织布多少？”.由此推算，在这 5 天中，织布超过 1 尺的天数共有（ ） A．4 天 B．3 天 C．2 天 D．1 天 5．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗 经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将 9 本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分 别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又 被称为“大自然的几何学”．按照如图 1 所示的分形规律，可得如图 2 所示的一个树形图．若记图 2 中第 n行黑圈的个数为 na ，白圈的个数为 nb ，则下列结论错误．．的是（ ） A． 4 8a  B． 5 13b  C． 1 2n n na a b   D． 1 2n n nb a b   7．设 O 为坐标原点， 1 2,F F 为椭圆 2 2 : 1 9 6 x y C   的两个焦点，点 P 在 C 上， 1 2 3 cos 5 F PF  ，则 | |OP （） A． 13 5 B． 30 2 C． 14 5 D． 35 2 8．如图，已知 1 2,F F 是双曲线 2 2 : 2 2 1 x y C a b   的左､右焦点， ,P Q为双曲线C上两点，满足 1 2F P F Q∥ ，且 2 2 13F Q F P FP  ，则双曲线C的离心率为（ ） A． 10 5 B． 5 2 C． 15 3 D． 10 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．现有 4 名男生和 3 名女生并坐一排，下列说法正确的是（ ） A．男生必须排在一起的坐法有 576 种 B．女生互不相邻的坐法有 1440 种 C．男女生相间的坐法有 72 种 D．男生相邻、女生也相邻的坐法有 288 种 10．设拋物线 2: 4C y x 的焦点为 F，M 为C上一动点， (3,1)E 为定点，则下列结论正确的是（ ） A．准线 l的方程是 2x   B． | | | |ME MF 的最小值为 4 C． | | | |ME MF 的最大值为 5 D．以线段 MF 为直径的圆与 y 轴相切 11．下列说法正确的是（ ） A．不经过原点的直线都可以表示为 1 x y a b   B．若直线与两坐标轴交点分别为 A、B，且 AB的中点为  4,1 ，则直线 l 的方程为 1 8 2 x y   试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … C．过点  1,1 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为 y x 或 2x y  D．直线3 2 4x y  的截距式方程为 1 4 2 3    x y 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．2024 年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购 物不少于 800 元的顾客按购物顺序从 1 开始依次编号，编号能被 3 除余 1，也能被 4 除余 1 的顾客可以 获得春联 1 对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有 2000 人，则恰好获得 1 对春联的人数 为 . 13．圆 2 2 4x y  与圆 2 2 4 4 4 0x y x y     的公共弦长为 . 14．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前 262 年—公元前 190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉 的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 ( 0k k  且 1)k  的点的轨迹是 圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点 ( 2, 0), (2, 0)A B ，点 P满足 | |PA  2 | |PB ，则点 P的轨迹所 对应的阿波罗尼斯圆的半径为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知直线 l的方程为：    1 1 2 3 0m x m y     . (1)求证：不论m为何值，直线 l必过定点M ； (2)过（1）中的点M 引直线 1l 交坐标轴正半轴于A ， B两点，求 AOB 面积的最小值. 16．（15 分）已知点  ,P x y 是圆 2 2( 2) 1x y   上任意一点． (1)求 P点到直线3 4 12 0x y   的距离的最大值和最小值； (2)求 2x y 的最大值和最小值； (3)求 2 1 y x   的最大值和最小值. 17．（15 分）在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解. 条件①： 0 2a  ；条件②： 10 1 2 3 10 4 2a a a a      . 问题：已知    9 2 100 1 2 102 1 (3 1)x m x a a x a x a x m         R ，若__________. (1)求实数m的值； (2)求 1 101 22 10( 1)3 3 3 3 k k k a aa a        的值. 18．（17 分）已知数列 na 的首项 1 1 2 a  ，且满足 1 2 1 n n n a a a   . (1)证明：数列 1 1 na       为等比数列； (2)若 1 2 3 1 1 1 1 2024 na a a a      ，求满足条件的最大整数 n. 19．（17 分）已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的离心率为 3 2 ，左、右顶点分别为A 、 B，点 P、Q为椭 圆上异于A 、 B的两点， PAB 面积的最大值为2 ． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线 AP、BQ的斜率分别为 1k 、 2k ，且 1 23 5k k ． ①求证：直线 PQ经过定点． ②设 PQB△ 和 PQA△ 的面积分别为 1S 、 2S ，求 1 2S S 的最大值．