九年级数学期末模拟卷（深圳专用，北师大版九上全部）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期末模拟考试

2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：∵茶口的直径与托盘的直径相同， ∴俯视图如选项B所示， 故选：B． 2．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（  ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】由题意，把=1代入方程有： 1+k-2=0， 解得：k=1， 故选：A． 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A． B．4 C． D．5 【答案】A 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 4．下列说法不正确的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； B. 四边相等的四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D. 对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设道路的宽米， 则． ． 故选：D． 6．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：分两种情况讨论： ①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； ②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限， 观察只有B选项符合， 故选B． 7．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　） A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y= 【答案】C 【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵∠BOA=90°， ∴∠BOC+∠AOD=90°， ∵∠AOD+∠OAD=90°， ∴∠BOC=∠OAD， 又∵∠BCO=∠ADO=90°， ∴△BCO∽△ODA， ∵=tan30°=， ∴， ∵×AD×DO=xy=3， ∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1， ∵经过点B的反比例函数图象在第二象限， 故反比例函数解析式为：y=﹣． 故选C． 8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD． ∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90° ∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°， ∴△BOM≌△CON（ASA），=S△BOM， ∴， ∵=S正方形ABCD，正方形的边长，， ∴=S正方形ABCD -=. 故选：D. 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．设m、n是方程x2+x－1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ． 【答案】1000 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根，该一元二次方程，二次项系数a=1，一次项系数b=1，常数项c=-1001， ∴根据根与系数的关系，可得到， 又∵，∴， ∴， 故答案为：1000． 10．已知＝，则 ． 【答案】-4.5 【详解】试题解析：∵， ∴5（2a+3b）=12（a+2b）， 整理得，2a=-9b， 所以，=． 11．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 13．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， 是三角形AOB的中位线， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解下列方程： （1）； （2）． 【详解】（1） 解：（1分） （2分） （4分） （2）． 解： （1分） （2分） （4分） 15．（5分）在如图的方格纸中，三角形ABC的顶点坐标分别为，    (1)以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出三角形ABC的一个位似图形，使它与三角形ABC的位似比为； (2)的上的一点M的坐标为，直接写出点M在上的对应点的坐标为_______． 【详解】（1）解：以原点O为位似中心，与的位似比为，作图如下，   （3分） ∵，， ∴， ∴即为所求图形； （2）解：由（1）可知，与的位似比为，在第四象限， ∵，， ∴， 故答案为：．）（2分） 16．（8分）某校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：．自动升高的水；．不会湿的纸；．漂浮的硬币；．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)求此次调查中接受调查的人数； (2)请补全条形统计图； (3)已知最希望演示项实验的名学生，有名来自九年级一班，1名来自九年级二班，名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同班级的概率． 【详解】（1）解：∵（人），（1分） ∴此次调查中接受调查的人数为人；（2分） （2）最希望演示项实验的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示． （4分） （3）将来自九年级一班的名学生记为甲，来自九年级二班的名学生记为乙，来自九年级三班的名学生记为丙，丁， 画树状图如下： （7分） 共有种等可能的结果，其中抽到的名学生来自不同班级的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共种， ∴抽到的名学生来自不同班级的概率为．（8分） 17．（8分）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【详解】解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，（1分）整理得， 解得或（不合题意，舍去）（2分） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；（3分） 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，（4分） 根据题意得：，（5分） 整理得：， 解得：，，（6分） 为了尽快减少库存，，（7分） 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元．（8分） 18．（9分）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形为菱形． (2)过点作于点，若，，求的长． 【详解】（1）证明：， ．（1分） 又， ， ．（2分） 又， 四边形为平行四边形．（3分） 又， 四边形为菱形．（4分） （2）如图，连接．    四边形为菱形， ．（5分） 又， ， ．（6分） ， ，． ， ， ，（7分） ．（8分） 菱形的面积， ．（9分） 19．（11分）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 【详解】（1）∵过， ∴， ∴，则，（1分） 又∵过， ∴， ∴反比例函数的表达式为．（2分） ∴，解得：或，（3分） ∴．（4分） （2） 令，则， ∴．（5分） 设直线的解析式为设，∴，即：， ∵直线与反比例函数图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴，（6分） 令，则， ∴， ∴．（7分） （3）由图可知在第一象限、不可能相等， 如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴，（8分） ∴，， ∴， ∴， ∴，（9分） 设（）， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴，整理得， 解得x1=-7+ x2=-7-（负数舍去），（10分） ∴点的横坐标的值为．（11分） 20．（12分）某学习小组在开展研究等腰直角三角形与一些特殊图形之间关系的活动时，发现它们之间存在角和边的多种关系． 【初步探索】（1）如图1，两个全等的等腰和，，按如图所示的位置摆放图中所有的点、线都在同一平面内，点与点重合，和分别交于点、； ①直接写出图中一对相似而不全等的三角形：______； ②直接写出线段、、存在的数量关系：______； 【迁移探索】（2）如图2，已知等腰中，，将其顶点与正方形的顶点重合，分别交，于点，，分别交，于点，； ①证明； ②猜想线段、、的数量关系，并证明你的猜想； 【运用探索】（3）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，，，求的长．用含的式子表示 【详解】解：①∵两个全等的等腰和，， ∴， 设，则，， ∴ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：．（1分） ②如图所示，将绕点逆时针旋转使得与重合，连接 ∴ ∴，，， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中，，即（2分） （2）如图所示，将绕点逆时针旋转得到 ∴ 同（1）可得 ∴（3分） 设， ∵， ∴， ∵，则 ∴ ∴（4分） 又∵ ∴；（5分） ②由（1）解得 ∴，即；（6分） （3）如图所示，分别延长至，使得，连接， ∵ ∴，（7分） 又∵四边形是矩形 则∠D=90° ∴四边形是正方形，（8分） 延长交于点，连接， ∵，， ∴（9分） ∴ ∴， 将绕点顺时针旋转得到，则， 同（1）可得 ∴（10分） 设，则，， 在中， 即 解得： ∴（11分） 在中， （12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A D D B C D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．1000 10．-4.5 11． 12． 13． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分） 【详解】（1） 解：（1分） （2分） （4分） （2）． 解： （1分） （2分） （4分） 15．（5分） 【详解】（1）解：以原点O为位似中心，与的位似比为，作图如下，   （3分） ∵，， ∴， ∴即为所求图形； （2）解：由（1）可知，与的位似比为，在第四象限， ∵，， ∴， 故答案为：．）（2分） 16．（8分） 【详解】（1）解：∵（人），（1分） ∴此次调查中接受调查的人数为人；（2分） （2）最希望演示项实验的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示． （4分） （3）将来自九年级一班的名学生记为甲，来自九年级二班的名学生记为乙，来自九年级三班的名学生记为丙，丁， 画树状图如下： （7分） 共有种等可能的结果，其中抽到的名学生来自不同班级的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共种， ∴抽到的名学生来自不同班级的概率为．（8分） 17．（8分） 【详解】解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，（1分）整理得， 解得或（不合题意，舍去）（2分） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；（3分） 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，（4分） 根据题意得：，（5分） 整理得：， 解得：，，（6分） 为了尽快减少库存，，（7分） 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元．（8分） 18．（9分） 【详解】（1）证明：， ．（1分） 又， ， ．（2分） 又， 四边形为平行四边形．（3分） 又， 四边形为菱形．（4分） （2）如图，连接．    四边形为菱形， ．（5分） 又， ， ．（6分） ， ，． ， ， ，（7分） ．（8分） 菱形的面积， ．（9分） 19．（11分） 【详解】（1）∵过， ∴， ∴，则，（1分） 又∵过， ∴， ∴反比例函数的表达式为．（2分） ∴，解得：或，（3分） ∴．（4分） （2） 令，则， ∴．（5分） 设直线的解析式为设，∴，即：， ∵直线与反比例函数图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴，（6分） 令，则， ∴， ∴．（7分） （3）由图可知在第一象限、不可能相等， 如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴，（8分） ∴，， ∴， ∴， ∴，（9分） 设（）， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴，整理得， 解得x1=-7+ x2=-7-（负数舍去），（10分） ∴点的横坐标的值为．（11分） 20．（12分） 【详解】解：①∵两个全等的等腰和，， ∴， 设，则，， ∴ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：．（1分） ②如图所示，将绕点逆时针旋转使得与重合，连接 ∴ ∴，，， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中，，即（2分） （2）如图所示，将绕点逆时针旋转得到 ∴ 同（1）可得 ∴（3分） 设， ∵， ∴， ∵，则 ∴ ∴（4分） 又∵ ∴；（5分） ②由（1）解得 ∴，即；（6分） （3）如图所示，分别延长至，使得，连接， ∵ ∴，（7分） 又∵四边形是矩形 则∠D=90° ∴四边形是正方形，（8分） 延长交于点，连接， ∵，， ∴（9分） ∴ ∴， 将绕点顺时针旋转得到，则， 同（1）可得 ∴（10分） 设，则，， 在中， 即 解得： ∴（11分） 在中， （12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（8分） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共 61 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（8 分） 17．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（11 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．第 14 届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘 的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（ ） A． B． C． D． 2．关于 x的一元二次方程 2 2 0x kx   的一个根为1，则 k 的值为（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上 第 1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm， 则蜡烛火焰的高度是（ ） cm． A． 10 3 B．4 C． 13 3 D．5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．下列说法不正确的是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 5．如图，在长为 32 米，宽为 20 米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草 坪，要使小路的面积为 100 平方米，设小路的宽为 x 米，则下面所列方程正确的是（ ） A．32 20 32 20 100x x    B．   32 20 100x x   C． 2(32 )(20 ) 100x x x    D． 232 20 100x x x   6．在同一直角坐标系中，函数 y= k x 和 y=kx﹣3 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点 A 在反比例函数 y= 6 x （x＞0）的图象上， 则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ） A．y=﹣ 6 x B．y=﹣ 4 x C．y=﹣ 2 x D．y= 2 x 8．如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，以点 O 为顶点的正方形 OEGF 的两边 OE，OF 分别交正方 形 ABCD 的两边 AB，BC 于点 M，N，记 AOM 的面积为 1S ， CON 的面积为 2S ，若正方形的边长 10AB  ， 1 16S  ，则 2S 的大小为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9．设 m、n 是方程 x2+x－1001＝0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 ． 10．已知 2 3 2 a b a b   ＝ 12 5 ，则 a b ． 11．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为 AB 的黄金分割点（ AP PB ）．如果 AB 的 长度为10cm，那么 AP 的长度为 cm． 12．如图，已知， AD是 ABC 的中线，E 是 AD的中点，则 :AF FC  ． 13．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC ， BD交于点O，点 E 为 AB 的中点，点 F 在OD上， 2DF FO ， 连接EF 交OA于点G ，若 2OG  ，连接CE ， 60AECS △ ，则线段CE 的长为 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）解下列方程： （1） 2 5 1 0x x   ； （2） ( 1) 3 3x x x   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 15．（5 分）在如图的方格纸中，三角形 ABC 的顶点坐标分别为 ( 3, 2), ( 1,3), ( 1,1)A B C   ， (1)以原点 O 为位似中心，在位似中心的异侧．．画出三角形 ABC 的一个位似图形 1 1 1A B C△ ，使它与三角形 ABC 的位似比为2 :1； (2) ABC 的上的一点 M 的坐标为 ( , )a b ，直接写出点 M 在 1 1 1A B C△ 上的对应点 1M 的坐标为_______． 16．（8 分）某校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A ．自动升高的 水； B ．不会湿的纸；C ．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望 演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)求此次调查中接受调查的人数； (2)请补全条形统计图； (3)已知最希望演示A 项实验的4 名学生，有1名来自九年级一班，1 名来自九年级二班，2名来自九年级三 班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到 的2名学生来自不同班级的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 17．（8 分）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财 神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材 1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材 2 经统计，该甜品店 5 月份“卡通财神双皮奶”销售量为 480 份，7 月份销售量为 750 份；而“缤纷 双皮奶”7 月份销售量为 600 份． 素材 3 为了尽快减少库存，决定 8 月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为 9 元．经试验，发现该款双皮奶每降价 1 元，月销售量就会增加 100 份． 问题解决 任务 1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5 月份到 7 月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务 2 为了使该店 8 月份“缤纷双皮奶”的总利润达到 6300 元，求该双皮奶应该降价多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 18．（9 分）如图，在四边形 ABCD中， AB CD∥ ， ABD CBD  ， AB AD ． (1)求证：四边形 ABCD为菱形． (2)过点A 作 AE BC 于点E ，若 4CE  ， 1 3 BE AB ，求BD的长． 19．（11 分）已知一次函数 1 1 2 2 y x  与反比例函数 2 k y x  的图象交于 (2, )A m 、B 两点，交 y 轴于点 C． (1)求反比例函数的表达式和点 B 的坐标； (2)过点 C 的直线交 x 轴于点 E，且与反比例函数图象只有一个交点，求 CE 的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点 P 是 y 轴负半轴上一点，点 Q 是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形 APBQ 是“维纳斯四边形”时，求 Q 点的横坐标 Qx 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 20．（12 分）某学习小组在开展研究等腰直角三角形与一些特殊图形之间关系的活动时，发现它们之间存在 角和边的多种关系． 【初步探索】（1）如图 1，两个全等的等腰 ABC 和 HGF△ ， 90BAC HGF   ，按如图所示的位置摆 放(图中所有的点、线都在同一平面内)，点A 与点H 重合，HG 和HF 分别交BC 于点M 、N ； ①直接写出图中一对相似而不全等的三角形：______； ②直接写出线段𝐵𝑀、MN 、CN 存在的数量关系：______； 【迁移探索】（2）如图 2，已知等腰 HGF△ 中， 90HGF  ，将其顶点H 与正方形 ABCD的顶点A 重合， AG分别交BC ，𝐵𝐷于点M ， P ， AF 分别交BC ，𝐶𝐷于点N ，Q； ①证明 AMN AQP ∽ ； ②猜想线段BP 、 PQ、CQ的数量关系，并证明你的猜想； 【运用探索】（3）如图 3，在矩形 ABCD中，点E ，F 分别在边BC ，DC 上， 45EAF  ， 2 4 4AD AB BE a   ， 求 AF 的长．(用含a的式子表示) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．第 14 届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘 的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 茶口的直径与托盘的直径相同， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ 俯视图如选项 B 所示， 故选：B． 2．关于 x的一元二次方程 2 2 0x kx   的一个根为1，则 k 的值为（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】由题意，把 x =1 代入方程有： 1+k-2=0， 解得：k=1， 故选：A． 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上 第 1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm， 则蜡烛火焰的高度是（ ） cm． A． 10 3 B．4 C． 13 3 D．5 【答案】A 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是 cmx ， 由相似三角形的性质得 10 18 6 x  ， 解得 10 3 x  ． 即蜡烛火焰的高度是 10 cm 3 ． 故选：A 4．下列说法不正确的是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； B. 四边相等的四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D. 对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，在长为 32 米，宽为 20 米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草 坪，要使小路的面积为 100 平方米，设小路的宽为 x 米，则下面所列方程正确的是（ ） A．32 20 32 20 100x x    B．   32 20 100x x   C． 2(32 )(20 ) 100x x x    D． 232 20 100x x x   【答案】D 【详解】解：设道路的宽 x米， 则 232 20 100x x x   ． 232 20 100x x x   ． 故选：D． 6．在同一直角坐标系中，函数 y= k x 和 y=kx﹣3 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分两种情况讨论： ①当 k＞0 时，y=kx﹣3 与 y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ②当 k＜0 时，y=kx﹣3 与 y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限， 观察只有 B 选项符合， 故选 B． 7．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点 A 在反比例函数 y= 6 x （x＞0）的图象上， 则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ） A．y=﹣ 6 x B．y=﹣ 4 x C．y=﹣ 2 x D．y= 2 x 【答案】C 【详解】过点 B 作 BC⊥ x 轴于点 C，过点 A 作 AD⊥ x 轴于点 D， ∵ ∠ BOA=90°， ∴ ∠ BOC+∠AOD=90°， ∵ ∠ AOD+∠OAD=90°， ∴ ∠ BOC=∠OAD， 又∵ ∠ BCO=∠ADO=90°， ∴ △ BCO∽ △ ODA， ∵ BO AO =tan30°= 3 3 ， ∴ 1 3 BCO AOD S S   ， ∵ 1 2 ×AD×DO= 1 2 xy=3， ∴ S△BCO= 1 2 ×BC×CO= 1 3 S△AOD=1， ∵ 经过点 B 的反比例函数图象在第二象限， 故反比例函数解析式为：y=﹣ 2 x ． 故选 C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 8．如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，以点 O 为顶点的正方形 OEGF 的两边 OE，OF 分别交正方 形 ABCD 的两边 AB，BC 于点 M，N，记 AOM 的面积为 1S ， CON 的面积为 2S ，若正方形的边长 10AB  ， 1 16S  ，则 2S 的大小为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】解：∵ 正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ∴ OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥ BD． ∵ ∠ MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90° ∴ ∠ BOM=∠CON，且 OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°， ∴ △ BOM≌ △ CON（ASA）， 2S =S△BOM， ∴ 1 2 1 BOM AOBS S S S S     ， ∵ AOBS = 1 4 S 正方形ABCD，正方形的边长 10AB  ， 1 16S  ， ∴ 2S = 1 4 S 正方形ABCD - 1S = 1 10 10 16 9 4     . 故选：D. 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 9．设 m、n 是方程 x2+x－1001＝0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 ． 【答案】1000 【详解】解：∵ m、n 是方程 2x +x-1001=0的两个实数根，该一元二次方程，二次项系数 a=1，一次项系数 b=1，常数项 c=-1001， ∴ 根据根与系数的关系，可得到 b m+n=- =-1 a ， 又∵ 2m +m-1001=0，∴ 2m +m=1001， ∴ 2 2m +2m+n=(m +m)+(m+n)=1001-1=1000， 故答案为：1000． 10．已知 2 3 2 a b a b   ＝ 12 5 ，则 a b ． 【答案】-4.5 【详解】试题解析：∵ 2 3 12 2 5 a b a b    ， ∴ 5（2a+3b）=12（a+2b）， 整理得，2a=-9b， 所以， a b = 9 =4.5 2 ． 11．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为 AB 的黄金分割点（ AP PB ）．如果 AB 的 长度为10cm，那么 AP 的长度为 cm． 【答案】  5 5 5 /  5 5 5  【详解】解：∵ P 为 AB 的黄金分割点， AP PB ， ∴ 5 1 2 AP AB   ， ∵ AB 的长度为10cm， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴ 5 1 10 2 AP   ， ∴  5 5 1 cmAP   ， 故答案为：  5 5 5 ． 12．如图，已知， AD是 ABC 的中线，E 是 AD的中点，则 :AF FC  ． 【答案】1: 2 【详解】解：过点D作DH BF∥ 交 AC 于 H ， 则 CD CH DB HF  ， AF AE FH ED  AD 是 ABC 的中线，E 是 AD的中点， BD DC  ， AE ED ， CH HF  ， AF FH : 1: 2AF FC  ． 故答案为：1: 2． 13．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC ， BD交于点O，点 E 为 AB 的中点，点 F 在OD上， 2DF FO ， 连接EF 交OA于点G ，若 2OG  ，连接CE ， 60AECS △ ，则线段CE 的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【答案】3 29 【详解】解：如图，过点E 作EM OA 于点M ， 90AME  ， 四边形 ABCD是菱形， BD OA  ，OD OB ，OA OC ， 90AOB  ∴ ， AME AOB  ， ME OB ∥ ， AM AE OM BE   ， 点E 为 AB 的中点， AE BE  ， AM OM  ， ME 是三角形 AOB 的中位线， 1 2 ME OB  ， 2DF FO ， 1 1 3 3 OF OD OB   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 1 23 1 3 2 OBOF ME OB    ， ME OB∥ ，即ME OF∥ ， EMG FOG ∽  ， 2 3 OG OF MG ME    ， 3 3 2 3 2 2 MG OG     ， 2 3 5OM OG MG      ， 2 10OA OM   ， 2 20AC OA   ， AE BE ， 2 2 60 120ABC AECS S      ， 1 120 2 AC OB   ， 120 2 120 2 12 20 OB AC       ， 1 6 2 ME OB   ， 10 5 15MC OC OM OA OM       ， 2 2 2 2 3 296 15 261CE ME MC       ， 故答案为：3 29 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）解下列方程： （1） 2 5 1 0x x   ； （2） ( 1) 3 3x x x   ． 【详解】（1） 2 5 1 0x x   解： 1, 5, 1a b c    （1 分） 2 24 ( 5) 4 1 1 21b ac         （2 分） 3 21 2 2 b x a       原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 1 2 3 21 3 21 x , x 2 2     （4 分） （2） ( 1) 3 3x x x   ． 解： ( 1) 3( 1)x x x   ( 1) 3( 1) 0x x x    （1 分） ( 3)( 1) 0x x   （2 分） 1 23, 1x x  （4 分） 15．（5 分）在如图的方格纸中，三角形 ABC 的顶点坐标分别为 ( 3, 2), ( 1,3), ( 1,1)A B C   ， (1)以原点 O 为位似中心，在位似中心的异侧．．画出三角形 ABC 的一个位似图形 1 1 1A B C△ ，使它与三角形 ABC 的位似比为2 :1； (2) ABC 的上的一点 M 的坐标为 ( , )a b ，直接写出点 M 在 1 1 1A B C△ 上的对应点 1M 的坐标为_______． 【详解】（1）解：以原点 O 为位似中心， 1 1 1A B C 与 ABC 的位似比为2 :1，作图如下， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 （3 分） ∵ 2 2 2 3 2 23 2 13, 1 3 10, 1 1 2OA OB OC         ， 2 2 2 2 2 2 1 1 16 4 52 2 13, 2 6 40 2 10, 2 2 2 2OA OB OC           ， ∴ 1 1 1 2 OA OB OC OA OB OC    ， ∴ 1 1 1A B C 即为所求图形； （2）解：由（1）可知， 1 1 1A B C 与 ABC 的位似比为2 :1， 1 1 1A B C 在第四象限， ∵ ( 3, 2), ( 1,3), ( 1,1)A B C   ，      1 1 16, 4 , 2, 6 , 2, 2A B C   ， ∴  1 2 , 2M a b  ， 故答案为：  2 , 2a b  ．）（2 分） 16．（8 分）某校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A ．自动升高的 水； B ．不会湿的纸；C ．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望 演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 (1)求此次调查中接受调查的人数； (2)请补全条形统计图； (3)已知最希望演示A 项实验的4 名学生，有1名来自九年级一班，1 名来自九年级二班，2名来自九年级三 班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到 的2名学生来自不同班级的概率． 【详解】（1）解：∵ 18 36% 50  （人），（1 分） ∴ 此次调查中接受调查的人数为50人；（2 分） （2）最希望演示C 项实验的人数为：50 4 8 18 20    （人）， 补全条形统计图如图所示． （4 分） （3）将来自九年级一班的1名学生记为甲，来自九年级二班的1名学生记为乙，来自九年级三班的2名学生 记为丙，丁， 画树状图如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （7 分） 共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同班级的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙， 甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共10种， ∴ 抽到的2名学生来自不同班级的概率为 10 5 12 6  ．（8 分） 17．（8 分）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财 神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材 1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材 2 经统计，该甜品店 5 月份“卡通财神双皮奶”销售量为 480 份，7 月份销售量为 750 份；而“缤纷 双皮奶”7 月份销售量为 600 份． 素材 3 为了尽快减少库存，决定 8 月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为 9 元．经试验，发现该款双皮奶每降价 1 元，月销售量就会增加 100 份． 问题解决 任务 1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5 月份到 7 月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务 2 为了使该店 8 月份“缤纷双皮奶”的总利润达到 6300 元，求该双皮奶应该降价多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 【详解】解：任务 1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5 月份到 7 月份销售量的月平均增长率是 x， 由题意得  2480 1 750x  ，（1 分）整理得  2 251 16 x  ， 解得 0.25 25%x   或 2.25x   （不合题意，舍去）（2 分） 答：该甜品店“满杯杨梅”5 月份到 7 月份销售量的月平均增长率是25%；（3 分） 任务 2，设双皮奶应该降价m 元，则每杯的利润为  19 9 m  元，月销售量为  600 100m 杯，（4 分） 根据题意得：   19 9 600 100 6300m m    ，（5 分） 整理得： 2 4 3 0m m   ， 解得： 1 1m  ， 2 3m  ，（6 分） 为了尽快减少库存， 3m  ，（7 分） 答：该店 8 月份“缤纷双皮奶”的总利润达到 6300 元，双皮奶应该降价3元．（8 分） 18．（9 分）如图，在四边形 ABCD中， AB CD∥ ， ABD CBD  ， AB AD ． (1)求证：四边形 ABCD为菱形． (2)过点A 作 AE BC 于点E ，若 4CE  ， 1 3 BE AB ，求BD的长． 【详解】（1）证明： AB AD ， ABD ADB   ．（1 分） 又 ABD CBD   ， ADB CBD  ， AD BC ∥ ．（2 分） 又 AB CD  ， 四边形 ABCD为平行四边形．（3 分） 又 AB AD ， 四边形 ABCD为菱形．（4 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 （2）如图，连接 AC ． 四边形 ABCD为菱形， AB BC  ．（5 分） 又 1 3 BBE A ， 1 3 BE BC  ， 2 3 CE BC  ．（6 分） 4CE  ， 2BE  ， 6AB BC  ． AE BC ， 90AEB AEC   ， 2 2 2 26 2 4 2AE AB BE      ，（7 分） 2 2 2 2(4 2) 4 4 3AC AE CE      ．（8 分） 菱形 ABCD的面积 1 2 AC BD BC AE    ， 2 2 6 4 2 4 6 4 3 BC AE BD AC        ．（9 分） 19．（11 分）已知一次函数 1 1 2 2 y x  与反比例函数 2 k y x  的图象交于 (2, )A m 、B 两点，交 y 轴于点 C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 (1)求反比例函数的表达式和点 B 的坐标； (2)过点 C 的直线交 x 轴于点 E，且与反比例函数图象只有一个交点，求 CE 的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点 P 是 y 轴负半轴上一点，点 Q 是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形 APBQ 是“维纳斯四边形”时，求 Q 点的横坐标 Qx 的值． 【详解】（1）∵ 1 1 2 2 y x  过 (2, )m ， ∴ 1 2 2 3 2 m     ， ∴ 3m  ，则 (2,3)A ，（1 分） 又∵ 2 k y x  过 (2,3) ， ∴ 2 3 6k    ， ∴ 反比例函数的表达式为 2 6 y x  ．（2 分） ∴ 1 2 2 6 y x y x        ，解得： 2 3 x y    或 6 1 x y      ，（3 分） ∴ ( 6, 1)B   ．（4 分） （2）令 0x  ，则 2y  ， ∴ (0,2)C ．（5 分） 设直线CE 的解析式为设 2CEy kx  ，∴ 2 6 y kx y x      ，即： 2 2 6 0kx x   ， ∵ 直线CE 与反比例函数图象只有一个交点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∴ 4 24 0k    ， ∴ 1 6 k   ， ∴ 1 2 6CE y x   ，（6 分） 令 0y  ，则 12x  ， ∴ (12, 0)E ， ∴ 2 212 2 2 37CE    ．（7 分） （3）由图可知在第一象限QB 、QA不可能相等， 如图，当 90APB  ，PB PA 时，点 B 作BN y 轴于N ，AM y 轴于M ，AB 与 PQ的交点为D，PD QD ， 设 P 点的坐标为 (0, )n ， ∵ 90APM BPN APM PAM       ， ∴ BPN PAM  ， ∵ 90AMP PNB    ，PA BP ， ∴  AASAPM PBN ≌ ，（8 分） ∴ PN AM ，BN PM ， ∴ 3 6n  ， ∴ 3n   ， ∴  0, 3P  ，（9 分） 设 6 ,Q x x       （ 0x  ）， ∴ 1 3 3 , 2 2 D x x      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 ∵ 点D在一次函数 1 1 2 2 y x  图象上， ∴ 3 3 1 1 2 2 2 2 x x     ，整理得 2 14 12 0x x   ， 解得 x1=-7+√61 x2=-7-√61（负数舍去），（10 分） ∴ Q点的横坐标 Qx 的值为 7 61  ．（11 分） 20．（12 分）某学习小组在开展研究等腰直角三角形与一些特殊图形之间关系的活动时，发现它们之间存在 角和边的多种关系． 【初步探索】（1）如图 1，两个全等的等腰 ABC 和 HGF△ ， 90BAC HGF   ，按如图所示的位置摆 放(图中所有的点、线都在同一平面内)，点A 与点H 重合，HG 和HF 分别交BC 于点M 、N ； ①直接写出图中一对相似而不全等的三角形：______； ②直接写出线段𝐵𝑀、MN 、CN 存在的数量关系：______； 【迁移探索】（2）如图 2，已知等腰 HGF△ 中， 90HGF  ，将其顶点H 与正方形 ABCD的顶点A 重合， AG分别交BC ，𝐵𝐷于点M ， P ， AF 分别交BC ，𝐶𝐷于点N ，Q； ①证明 AMN AQP ∽ ； ②猜想线段BP 、 PQ、CQ的数量关系，并证明你的猜想； 【运用探索】（3）如图 3，在矩形 ABCD中，点E ，F 分别在边BC ，DC 上， 45EAF  ， 2 4 4AD AB BE a   ， 求 AF 的长．(用含a的式子表示) 【详解】解： ∵① 两个全等的等腰 ABC 和 HGF△ ， 90BAC HGF   ， ∴ 45MAN B ACB    ， 设 BAM   ，则 45CAN    ， 45BAN BAM MAN       ， ∴ 45AMN BAN B      ∴ AMN BAN  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 又∵ 45B MAN    ∴ AMN BAN ∽ 故答案为： AMN BAN ∽ ．（1 分） ②如图所示，将 ABM 绕点A 逆时针旋转90使得 B 与C 重合，连接DN ∴ ABM ACD ≌ ∴ 45ACD B ACB     ，CD BM ， AD AM ， 90MAD   ∴ 90NCD  ， ∵ 45MAN   ∴ 90 45 45DAN      ∴ MAN DAN   又∵ AN AN ∴ AMN ADN ≌ ∴ DN MN 在Rt NDC 中， 2 2 2DN DC NC  ，即 2 2 2MN BM NC  （2 分） （2）如图所示，将 ABP 绕点A 逆时针旋转90得到 ACE△ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ∴ E APB   同（1）可得 APQ AEQ ≌ ∴ APQ E APB     （3 分） 设 BAP   ， ∵ 90APB  ， ∴ APQ  90APB     ， ∵ 45PAQ  ，则 90 45 45QAC        ∴ 45 45 90ANM QAC ACB             ∴ ANM APQ   （4 分） 又∵ MAN QAP   ∴ AMN AQP ∽ ；（5 分） ②由（1）解得 APQ AEQ ≌ ∴ PQ EQ CE CQ BP CQ     ，即BP CQ PQ  ；（6 分） （3）如图所示，分别延长 ,AB DC 至 ,Q S ，使得 2BQ CS AB a   ，连接QS ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 ∵ 2 4 4AD AB BE a   ∴ AQ QS SD DA   ，（7 分） 又∵ 四边形 ABCD是矩形 则∠D=90° ∴ 四边形 AQSD 是正方形，（8 分） 延长 AE 交QS 于点 R ，连接FR ， ∵ BE a ， AB BQ ， BE QR∥ ∴ ABE AQR ∽ （9 分） ∴ BE AB QR AQ  ∴ 2 2QR BE a  ， 将 ADF△ 绕点A 顺时针旋转90得到 AQP△ ，则 ADF AQP ≌ ， 同（1）可得 AFR APR ≌ ∴ PR RF （10 分） 设DF x ，则 2FR PR PQ RS x a     ， 4FS a x  ， 在Rt FRS 中， 2 2 2RF FS RS  即      2 2 22 4 2a a x x a    解得： 4 3 a x  ∴ 4 3 a DF  （11 分） 在Rt ADF 中，   2 22 2 4 4 104 3 3 AF AD DF a a a          4 10 3 a AF  （12 分） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（  ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A． B．4 C． D．5 4．下列说法不正确的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 5．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　） A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y= 8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．设m、n是方程x2+x－1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ． 10．已知＝，则 ． 11．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ． 12．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 13．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解下列方程： （1）； （2）． 15．（5分）在如图的方格纸中，三角形ABC的顶点坐标分别为，    (1)以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出三角形ABC的一个位似图形，使它与三角形ABC的位似比为； (2)的上的一点M的坐标为，直接写出点M在上的对应点的坐标为_______． 16．（8分）某校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：．自动升高的水；．不会湿的纸；．漂浮的硬币；．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)求此次调查中接受调查的人数； (2)请补全条形统计图； (3)已知最希望演示项实验的名学生，有名来自九年级一班，1名来自九年级二班，名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同班级的概率． 17．（8分）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 18．（9分）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形为菱形． (2)过点作于点，若，，求的长． 19．（11分）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 20．（12分）某学习小组在开展研究等腰直角三角形与一些特殊图形之间关系的活动时，发现它们之间存在角和边的多种关系． 【初步探索】（1）如图1，两个全等的等腰和，，按如图所示的位置摆放图中所有的点、线都在同一平面内，点与点重合，和分别交于点、； ①直接写出图中一对相似而不全等的三角形：______； ②直接写出线段、、存在的数量关系：______； 【迁移探索】（2）如图2，已知等腰中，，将其顶点与正方形的顶点重合，分别交，于点，，分别交，于点，； ①证明； ②猜想线段、、的数量关系，并证明你的猜想； 【运用探索】（3）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，，，求的长．用含的式子表示 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（  ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A． B．4 C． D．5 4．下列说法不正确的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 5．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　） A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y= 8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．设m、n是方程x2+x－1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ． 10．已知＝，则 ． 11．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ． 12．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 13．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解下列方程： （1）； （2）． 15．（5分）在如图的方格纸中，三角形ABC的顶点坐标分别为，    (1)以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出三角形ABC的一个位似图形，使它与三角形ABC的位似比为； (2)的上的一点M的坐标为，直接写出点M在上的对应点的坐标为_______． 16．（8分）某校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：．自动升高的水；．不会湿的纸；．漂浮的硬币；．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)求此次调查中接受调查的人数； (2)请补全条形统计图； (3)已知最希望演示项实验的名学生，有名来自九年级一班，1名来自九年级二班，名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同班级的概率． 17．（8分）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 18．（9分）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形为菱形． (2)过点作于点，若，，求的长． 19．（11分）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 20．（12分）某学习小组在开展研究等腰直角三角形与一些特殊图形之间关系的活动时，发现它们之间存在角和边的多种关系． 【初步探索】（1）如图1，两个全等的等腰和，，按如图所示的位置摆放图中所有的点、线都在同一平面内，点与点重合，和分别交于点、； ①直接写出图中一对相似而不全等的三角形：______； ②直接写出线段、、存在的数量关系：______； 【迁移探索】（2）如图2，已知等腰中，，将其顶点与正方形的顶点重合，分别交，于点，，分别交，于点，； ①证明； ②猜想线段、、的数量关系，并证明你的猜想； 【运用探索】（3）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，，，求的长．用含的式子表示 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．第 14 届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘 的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（ ） A． B． C． D． 2．关于 x的一元二次方程 2 2 0x kx   的一个根为1，则 k 的值为（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界 上第 1 个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度 是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm． A． 10 3 B．4 C． 13 3 D．5 4．下列说法不正确的是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 5．如图，在长为 32 米，宽为 20 米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草 坪，要使小路的面积为 100 平方米，设小路的宽为 x 米，则下面所列方程正确的是（ ） A．32 20 32 20 100x x    B．   32 20 100x x   C． 2(32 )(20 ) 100x x x    D． 232 20 100x x x   6．在同一直角坐标系中，函数 y= k x 和 y=kx﹣3 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点 A 在反比例函数 y= 6 x （x＞0）的图象上， 则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ） A．y=﹣ 6 x B．y=﹣ 4 x C．y=﹣ 2 x D．y= 2 x 8．如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，以点 O 为顶点的正方形 OEGF 的两边 OE，OF 分别交正方 形 ABCD 的两边 AB，BC 于点 M，N，记 AOM 的面积为 1S ， CON 的面积为 2S ，若正方形的边长 10AB  ， 1 16S  ，则 2S 的大小为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9．设 m、n 是方程 x2+x－1001＝0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 ． 10．已知 2 3 2 a b a b   ＝ 12 5 ，则 a b ． 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 11．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为 AB 的黄金分割点（ AP PB ）．如果 AB 的 长度为10cm，那么 AP 的长度为 cm． 12．如图，已知， AD是 ABC 的中线，E 是 AD的中点，则 :AF FC  ． 13．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC ，BD交于点O，点E 为 AB 的中点，点F 在OD上， 2DF FO ， 连接EF 交OA于点G ，若 2OG  ，连接CE ， 60AECS △ ，则线段CE 的长为 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）解下列方程： （1） 2 5 1 0x x   ； （2） ( 1) 3 3x x x   ． 15．（5 分）在如图的方格纸中，三角形 ABC 的顶点坐标分别为 ( 3, 2), ( 1,3), ( 1,1)A B C   ， (1)以原点 O 为位似中心，在位似中心的异侧．．画出三角形 ABC 的一个位似图形 1 1 1A B C△ ，使它与三角形 ABC 的位似比为2 :1； (2) ABC 的上的一点 M 的坐标为 ( , )a b ，直接写出点 M 在 1 1 1A B C△ 上的对应点 1M 的坐标为_______． 16．（8 分）某校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A ．自动升高的 水；B ．不会湿的纸；C ．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望 演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)求此次调查中接受调查的人数； (2)请补全条形统计图； (3)已知最希望演示A 项实验的4 名学生，有1名来自九年级一班，1 名来自九年级二班，2名来自九年级三 班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽 到的2名学生来自不同班级的概率． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 17．（8 分）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财 神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材 1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材 2 经统计，该甜品店 5 月份“卡通财神双皮奶”销售量为 480 份，7 月份销售量为 750 份；而“缤纷 双皮奶”7 月份销售量为 600 份． 素材 3 为了尽快减少库存，决定 8 月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为 9 元．经试验，发现该款双皮奶每降价 1 元，月销售量就会增加 100 份． 问题解决 任务 1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5 月份到 7 月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务 2 为了使该店 8 月份“缤纷双皮奶”的总利润达到 6300 元，求该双皮奶应该降价多少元？ 18．（9 分）如图，在四边形 ABCD中， AB CD∥ ， ABD CBD  ， AB AD ． (1)求证：四边形 ABCD为菱形． (2)过点A 作 AE BC 于点E ，若 4CE  ， 1 3 BE AB ，求BD的长． 19．（11 分）已知一次函数 1 1 2 2 y x  与反比例函数 2 k y x  的图象交于 (2, )A m 、B 两点，交 y 轴于点 C． (1)求反比例函数的表达式和点 B 的坐标； (2)过点 C 的直线交 x 轴于点 E，且与反比例函数图象只有一个交点，求 CE 的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点 P 是 y 轴负半轴上一点，点 Q 是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形 APBQ 是“维纳斯四边形”时，求 Q 点的横坐标 Qx 的值． 20．（12 分）某学习小组在开展研究等腰直角三角形与一些特殊图形之间关系的活动时，发现它们之间存 在角和边的多种关系． 【初步探索】（1）如图 1，两个全等的等腰 ABC 和 HGF△ ， 90BAC HGF   ，按如图所示的位置 摆放(图中所有的点、线都在同一平面内)，点A 与点H 重合，HG 和HF 分别交BC 于点M 、 N ； ①直接写出图中一对相似而不全等的三角形：______； ②直接写出线段𝐵𝑀、MN 、CN 存在的数量关系：______； 【迁移探索】（2）如图 2，已知等腰 HGF△ 中， 90HGF  ，将其顶点H 与正方形 ABCD的顶点A 重合， AG分别交BC ，𝐵𝐷于点M ， P ， AF 分别交BC ，𝐶𝐷于点N ，Q； ①证明 AMN AQP ∽ ； ②猜想线段BP 、 PQ、CQ的数量关系，并证明你的猜想； 【运用探索】（3）如图 3，在矩形 ABCD中，点E ，F 分别在边BC ，DC 上， 45EAF  ， 2 4 4AD AB BE a   ， 求 AF 的长．(用含a的式子表示)