高二数学期末模拟卷03（新高考专用：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+圆锥曲线的方程+数列)-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二上学期期末模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．若直线 l过两点  0,0 和  3, 1 ，则直线 l的倾斜角为（ ） A． 5π 6 B． 2π 3 C． π 3 D． π 6 2．已知点    1,1 5,3A B， ，则以线段 AB为直径的圆的方程为（ ） A．    2 2 2 3 5x y    B．    2 2 2 3 1x y    C．    2 2 3 2 5x y    D．    2 2 3 2 1x y    3．已知点 (1, 2)在抛物线 2:C y ax 上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． 1 2 x   B． 1 2 y   C． 1 8 x   D． 1 8 y   4．平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，O为 1 1AC 与 1 1B D 的交点，设 1, ,AB a AD b AA c         ，用 , ,a b c    表示BO  ， 则（ ） A． 1 2 BO a b c      B． 1 2 BO a b c       C． 1 2 BO a b c         D． 1 1 2 2 BO a b c        5．设等比数列 na 的前 n项和为 nS ， 2 5 9 2 a a  ， 3 6 9 4 a a  ，则 5S （ ） A． 63 4 B．63 C． 31 2 D．31 6．已知圆 1C ：  2 23 81x y   和 2C ：  2 23 1x y   ，若动圆 P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆 心的轨迹为M，则M的方程为（ ） A． 2 2 1 16 7 x y   B． 2 2 1 25 9 x y   C． 2 2 1 25 16 x y   D． 2 2 1 16 9 x y   7．已知等差数列 na 和 nb 的前n项和分别为 nS 、 nT ，若 3 4 2 n n S n T n    ，则 6 2 10 2a b b （ ） A． 111 13 B． 37 13 C． 111 26 D． 37 26 8．如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1, 1AC AB AC AB CC    ，E是线段 AB的中点，在 1ABC 内有 一动点 P（包括边界），则 PA PE 的最小值是（ ） A． 33 2 B． 2 33 3 C． 33 6 D． 33 3 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选 对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．对于直线 : ( 2) 2 1 0l m x y m     与圆 2 2: 6 4 4 0C x y x y     ，下列说法正确的是（ ） A． l过定点 (2,3) B．C的半径为 9 C． l与C可能相切 D． l被C截得的弦长最小值为 2 7 10．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处 寻觅.已知点  2,0A ，直线 : 3l x   ，动点 P到点A 的距离比到直线 l的距离小 1.若某直线上存在这样的 点 P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A．点 P的轨迹曲线是线段 B． 2y x  是“最远距离直线” C．过点A 的直线与点 P的轨迹交于M 、N 两点，则以MN 为直径的圆与 y 轴相交 D．过点A 的直线与点 P的轨迹交于M 、N 两点，则 2MA NA 的最小值为3 2 2 11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从 第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 列”．记斐波那契数列为 na ，其前 n项和为 nS ，则（ ） A． 9 34a  B． 7 32S  C． 1 2 4 6 2024 2025a a a a a a      D． 2 2 2 21 2 3 2023 2023 2024a a a a a a     第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．设 x、 y 、 zR ，  1,1,1a   ，  1, ,b y z  ，  , 4,2c x   ，且a c   ， //b c   ，则 a b    . 13．记 nT 为正项数列 na 的前 n项积， 1 n n n a T a   ，则 2024 T  . 14．已知离心率为 1e 的椭圆 2 2 1 1 12 2 1 1 : 1( 0) x y C a b a b     和离心率为 2e 的双曲线 2 2 2 22 2 2 2 : 1( 0, x y C a a b    2 0)b  有公共的焦点，其中 1F 为左焦点， P是 1C 与 2C 在第一象限的公共点．线段 1PF 的垂直平分线经过坐标原 点，则 2 2 1 22e e 的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）直线 l经过两直线 1 : 3 4 2 0l x y   和 2 : 2 2 0l x y   的交点． (1)若直线 l与直线3 1 0x y   垂直，求直线 l的方程； (2)若直线 l与圆 2 2( 3) ( 1) 25x y    相切，求直线 l的方程． 16．（15 分）设数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 8a  ， 1 4 8n nS S   ． (1)求 na 的通项公式； (2)若 2 2 1 1 log logn n n b a a    ，求数列  nb 的前 n项和． 17．（15 分）椭圆 C：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     过点 P（ 3 ，1）且离心率为 6 3 ，F为椭圆的右焦点，过 F的 直线交椭圆 C于 M，N两点，定点 ( 4,0)A  ． (1)求椭圆 C的方程； (2)若 AMN 面积为 3 3 ，求直线MN 的方程． 18．（17 分）如图，在四棱锥 A BCDE 中， 2 4AB AC CD BE    ， //BE CD，CD CB ， AB AC ， 平面 ABC 平面BCDE，O为BC中点． (1) AO 平面BCDE； (2)求平面 ABC与平面 ADE夹角的余弦值； (3)线段 AC 上是否存在一点Q，使OQ∥平面 ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求 AQ AC 的 值． 19．（17 分）已知双曲线C： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的右焦点为  4,0F ，右顶点为A ，直线 l： 1x  与 x轴交于点M ，且a AM AF ． (1)求C的方程； (2)点 B为 l上不同于点M 的动点，直线 BF 交 y 轴于点 R，过 B作C的两条切线，分别交 y 轴于 P，Q两 点，交 x轴于S ，T 两点． ①证明： R是 PQ的中点； ②证明： SM SF TM TF  ． 2024-2025学年高二数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+圆锥曲线的方程+数列。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线过两点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为， 故，由于，故. 故选：A. 2．已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为AB为直径， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 故选：C 3．已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点在抛物线上，得到， 所以抛物线的标准方程为，得到抛物线的准线方程为， 故选：D. 4．平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 易知. 故选：D 5．设等比数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．63 C． D．31 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， ，， ， 解：， ， 解得：， 则， 故选：C． 6．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆：和：的圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为, 由题意，，, 两式相加可得, 故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C 7．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 8．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以， 设A关于平面的对称点为，则，， 设平面的法向量，则，， 令，则，所以， 所以A与到平面的距离即①， 又，所以②，所以由①②得， 所以由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 【答案】AD 【详解】对于，可变形为， 由得所以直线过定点，故正确； 对于，圆，化为标准方程为，所以圆的半径为，故错误； 对于，因为，所以点在圆内部，所以直线与不可能相切，故错误； 对于，设直线所过定点为，则当直线时，直线被截得的弦长最小. 因为圆心，所以，所以直线的斜率，解得， 此时直线. 因为圆心到直线的距离，所以弦长，故正确. 故选：. 10．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 【答案】BC 【详解】因为点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1， 所以动点到点的距离等于到直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 所以抛物线方程为， 对于A，点的轨迹是抛物线，所以A错误， 对于B，由，得，解得， 所以直线与抛物线相交于点， 所以是“最远距离直线”，所以B正确， 对于C，设过点的直线为，， 由，得， 所以， 所以， 所以， 所以以为直径的圆的半径为， 因为圆心到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相交，所以C正确， 对于D，， 所以D错误， 故选：BC 11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】依题意可得，A正确； 由，B错误； ，C正确； ，累加得，D正确． 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设、、，，，，且，，则 . 【答案】 【详解】因为、、，，，，且，， 则，解得，则， 由可得，解得，，则， 所以，因此. 故答案为：. 13．记为正项数列的前项积，，则 . 【答案】2025 【详解】数列的各项均为正，当时，，解得， 由，得当时，， 即，因此， 数列是以为首项，公差为的等差数列，， 所以. 故答案为：2025 14．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程． 【详解】（1）联立两直线和， 解得，即交点坐标为，（1分） 直线的斜率为，所以直线的斜率为，（3分） 所以直线的方程为，即.（5分） （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；（7分） 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即，（8分） 根据题意得：圆心到直线的距离，（10分） 解得，（11分） 所以直线的方程为：.（12分） 综上：直线的方程为或.（13分） 16．（15分）设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）由，得，（1分） 两式相减得，即．（3分） 因为，所以，得，满足．（5分） 所以是首项为8，公比为4的等比数列，，．（7分） （2）因为， 所以．（10分） 所以.（14分） 故数列的前n项和为，.（15分） 17．（15分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点． (1)求椭圆C的方程； (2)若面积为3，求直线的方程． 【详解】（1）由已知可得，（3分） 解得，（5分） 所以，椭圆的标准方程为.（6分） （2）当直线与轴重合时，不符合题意，（7分） 设直线的方程为，联立， 可得，（8分） ， 设，由韦达定理可得，，（10分） 则，（12分） 则，（13分） 解得，（14分） 所以直线的方程为.（15分） 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【详解】（1）因为，为中点，则，（1分） 且平面平面，平面平面，平面，（2分） 所以平面.（3分） （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，（4分） 则，（5分） 可得， 设平面的法向量，则，（7分） 令，则，可得（8分） 由题意可知：平面的法向量，（9分） 则，（10分） 所以平面与平面夹角的余弦值为.（11分） （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，（12分） 则， 若平面，则，（13分） 可得，解得，（15分） 即，可知，（16分） 所以存在点，使平面，此时.（17分） 19．（17分）已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 【详解】（1）如图所示， 由右焦点为得，（1分） 因为，所以，（2分） 若，则，即，无解；（3分） 若，则，即，所以，（4分） 故的方程为．（5分） （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线斜率存在且不为，（6分） 设为，与联立消去整理得 ， 由，（7分） 整理得，（8分） 设两条切线，的斜率分别为，，则．（9分） ①因为，， 直线的方程为，（10分） 则，（11分） 所以， 故是的中点．（12分） ②由题意，，，，（13分） 所以，，（15分） 由，得，（16分） 所以，得证．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末考试卷 参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D D C C B C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2025 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）联立两直线和， 解得，即交点坐标为，（1分） 直线的斜率为，所以直线的斜率为，（3分） 所以直线的方程为，即.（5分） （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；（7分） 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即，（8分） 根据题意得：圆心到直线的距离，（10分） 解得，（11分） 所以直线的方程为：.（12分） 综上：直线的方程为或.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由，得，（1分） 两式相减得，即．（3分） 因为，所以，得，满足．（5分） 所以是首项为8，公比为4的等比数列，，．（7分） （2）因为， 所以．（10分） 所以.（14分） 故数列的前n项和为，.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由已知可得，（3分） 解得，（5分） 所以，椭圆的标准方程为.（6分） （2）当直线与轴重合时，不符合题意，（7分） 设直线的方程为，联立， 可得，（8分） ， 设，由韦达定理可得，，（10分） 则，（12分） 则，（13分） 解得，（14分） 所以直线的方程为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为，为中点，则，（1分） 且平面平面，平面平面，平面，（2分） 所以平面.（3分） （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，（4分） 则，（5分） 可得， 设平面的法向量，则，（7分） 令，则，可得（8分） 由题意可知：平面的法向量，（9分） 则，（10分） 所以平面与平面夹角的余弦值为.（11分） （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，（12分） 则， 若平面，则，（13分） 可得，解得，（15分） 即，可知，（16分） 所以存在点，使平面，此时.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）如图所示， 由右焦点为得，（1分） 因为，所以，（2分） 若，则，即，无解；（3分） 若，则，即，所以，（4分） 故的方程为．（5分） （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线斜率存在且不为，（6分） 设为，与联立消去整理得 ， 由，（7分） 整理得，（8分） 设两条切线，的斜率分别为，，则．（9分） ①因为，， 直线的方程为，（10分） 则，（11分） 所以， 故是的中点．（12分） ②由题意，，，，（13分） 所以，，（15分） 由，得，（16分） 所以，得证．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线过两点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．63 C． D．31 6．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 10．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设、、，，，，且，，则 . 13．记为正项数列的前项积，，则 . 14．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程． 16．（15分）设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 17．（15分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点． (1)求椭圆C的方程； (2)若面积为3，求直线的方程． 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 19．（17分）已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+圆锥曲线的方程+数列。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线过两点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．63 C． D．31 6．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 10．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设、、，，，，且，，则 . 13．记为正项数列的前项积，，则 . 14．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程． 16．（15分）设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 17．（15分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点． (1)求椭圆C的方程； (2)若面积为3，求直线的方程． 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 19．（17分）已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$