第08讲 等差数列及其前n项和（十大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第08讲 等差数列及其前n项和 一、等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 二、等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 重难点01等差数列的基本量运算 【解题必备】（1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 例1．（多选）记等差数列的前项和为，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设等差数列的公差为， 又等差数列的前项和为，，， ∴，解得，，故A正确； ，故B错误； ，∴，故C正确； ，，∴，故D正确． 故选：ACD． 例2．等差数列的前n项和为，若，，公差. (1)求的通项公式； (2)若，求n的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，则， 解得， 所以； （2）若，即， 解得或（舍去）. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知等差数列是递增数列，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由等差数列是递增数列，则该等差数列的公差， 由，则，，由，则，故A正确； 对于B，由A可知，则，故B正确； 对于C，由，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 练习2．在等差数列中，已知，则 . 【答案】16 【详解】设公差为，则，解得， 所以. 故答案为：16 练习3．记为等差数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 练习4．设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为，则有， 解得， 故； （2）由题可知. 重难点02等差数列的判定与证明 【解题必备】对于数列，若⇔是等差数列 例3．“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A, 例4．在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】的两边同时除以，得2， ∴数列{}是首项为4，公差为2的等差数列 【跟踪练习】 练习1．已知数列中，，，则 . 【答案】 【详解】因为，且， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以有，， 则. 故答案为：. 练习2．（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 练习3．在数列中，，，若，则 ． 【答案】 【详解】由可得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 令，解得， 故答案为： 练习4．已知数列满足，. (1)求､､； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析，. 【详解】（1）由得， 代入，n依次取值2，3，4，得 ，，. （2）证明：由变形，得， 即，所以是等差数列. 由，所以，变形得， 所以. 重难点03等差数列的性质 【解题必备】等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 例5．已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等差数列的性质知， 所以，解得， 所以， 故选：A 例6．已知等差数列满足，且，则 ． 【答案】2 【详解】因为数列为等差数列，且， 可得，解得， 所以． 故答案为：2 【跟踪练习】 练习1．已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】由等差数列为单调递增数列，可得公差， 因为与的等差中项为8，可得，可得，即， 又因为，可得， 即，解得或（舍去）. 故选：C. 练习2．在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】依题意，令这个等差数列为，，， 则，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 练习3．在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A．6 B．13 C．7 D．42 【答案】C 【详解】因为，为方程的两根，所以， 又数列是等差数列，所以， 故选：C. 练习4．已知和均为等差数列，若，则的值是 . 【答案】6 【详解】因为和均为等差数列，所以； 所以，即， 即可得. 故答案为：6 重难点04等差数列前n项和的性质 【解题必备】等差数列前项和的常用性质： （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 例7．已知等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】由等差数列的性质，可得成等差数列， 所以， 因为，可得，解得， 所以构成首项为，公差为的等差数列， 则，故． 故答案为：. 例8．在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 【答案】 【详解】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列． 因为，所以的公差为，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 若对，，即， 若，则，即为单调递增数列， 又因为，所以， 所以，即， 所以“对，”是“”的充要条件. 故选：C 练习2．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列和均为等差数列， 所以. 故选：D. 练习3．已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】40 【详解】由于为等差数列，故，，成等差数列， 即成等差数列， 故，解得. 故答案为：40 练习4．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 【答案】(1) (2)证明见解析，首项为，公差为 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 依题意得：，解得：， 故. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以数列是以为公差的等差数列，又， 故数列的首项为，公差为. 重难点05等差数列前n项和的最值 【解题必备】求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 例9．（多选）已知等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A． B． C．当时，取最小值 D．当时，n的最大值为10 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为， 依题意， 所以异号，而，所以，，A选项正确. 则， 所以，B选项正确. 由于，则，所以等差数列的前项为负数， 从第项起为正数，所以当时，最小，所以C选项错误. ， 所以当时，n的最大值为10，所以D选项正确. 故选：ABD 例10．已知是公差为正数的等差数列，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求的前n项和的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 且函数开口向上，对称轴为， 所以当时，有最小值， 所以. 【跟踪练习】 练习1．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15 【答案】A 【详解】由，， 所以，数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：A 练习2．（多选）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（   ） A． B．的最小值为 C． D．使的的最小值为11 【答案】ABD 【详解】对于AC，由题意可得，解得，故A正确，C错误； 对于B，， 所以，当时，取到最小值，故B正确； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为11，故D正确. 故选：ABD 练习3．在等差数列中，，公差，，前n项和为，若取得最大值，则 . 【答案】7或8 【详解】在等差数列{an}中，，公差， 因为，所以，则， 所以， 当或8时，取得最大值. 故答案为：7或8 练习4．已知等差数列中，，. (1)求公差d的值； (2)求数列的前n项和的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设公差为， ，故， ∵，∴. （2）法一：， 由于，所以当时，取最小值，. 法二：， 令，得， ∴， ∴的最小值为. 重难点06等差数列的实际应用及数学文化 例11．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【详解】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B 例12．专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（    ） A．25台 B．24台 C．23台 D．22台 【答案】B 【详解】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1，这台抽水机完成的任务依次为，（） 依题意，，是公差为的等差数列， ， 要完成所有任务，则， ， 记，在上是减函数， ，， 所以时，， 所以最小值需要24台抽水机， 故选：B． 【跟踪练习】 练习1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．书中记载，有男、子、伯、侯、公从低到高五个级别的诸侯各1人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，则“侯”分得橘子数大于20且小于23的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知这5个人得到的橘子构成等差数列， 设“伯”分得t个橘子，则，解得， 因为，m为正整数，所以m的取值集合为， 由，得，即或， 所以“侯”分得橘子数大于20且小于23的概率为概率为， 故选：C 练习2．朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉．他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子．每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛俯视示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每三角锥垛层的果子数分别为1，3，6，10，15，21，……共有44层．问全垛共有多少个果子?则该三角锥垛从顶层向下数前40层的果子总数为（    ）（参考公式：）    A．12341 B．11480 C．10280 D．8436 【答案】B 【详解】因为三角锥垛层的果子数分别为1，3，6，10，15，21，……构成数列， 观察得数列的通项公式为， 设其前项和为，则 ， 所以. 故选：B 练习3．某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .    【答案】134 【详解】设第一层有根，共有层，则， ，显然和中一个奇数一个偶数， 则或或，即或或， 显然每增加一层高度增加厘米， 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米，超过米， 所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为根. 故答案为：134 练习4．湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值． 【答案】12万元． 【详解】由题意可知各年的维护费用（单位：万元）构成以12为首项，6为公差的等差数列， 设购买该台机器年后的盈利为万元， 则． 令，则，解得． 设购买该台机器年后的年平均利润为万元， 则， 当且仅当时取“=”， 因此，购买该台机器8年后的年平均利润最大，最大年平均利润是12万元． 重难点07等差数列奇偶项问题 【解题必备】设数列是等差数列,且公差为, （1）若项数为偶数，设共有项， （2）若项数为奇数,设共有项,则(中间项);②. 例13．已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 例14．已知数列满足，，则的前40项和为 . 【答案】 【详解】因为，，又，所以， 即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列； 同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列． 所以前40项和为． 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 练习2．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【答案】 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 练习3．已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式． 【答案】 【详解】∵等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77， ∴，① ∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有项，公差等于， +×=33，② ∵， ∴，③ 由①②③，解得， 故． 数列的通项公式为． 练习4．已知数列满足，，数列满足. (1)求，的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由已知得：， . （2）证明：因为，， 所以， 而，所以是以为首项，为公差的等差数列. （3）， 因为，，，由（2）得， 所以. 重难点08含绝对值的等差数列求和问题 【解题必备】若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 例15．已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 【答案】A 【详解】当时， ， 解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意； 当时， ， 即， 若整数恰有2个，则首先，解得， 设该方程有两实数根，则，若，显然不合题意，则，则， 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意， 故可取到的值有或或. 故选：A. 例16．已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以是首项为，公差为-1的等差数列. （2）由（1）得，则， 所以， 又符合上式，所以， 设表示数列的前项和， 由，解得，则 ①当时，； ②当时，， 故. 【跟踪练习】 练习1．已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 【答案】D 【详解】对于A，由，得，， 可知数列是首项为8，公差为的等差数列， 则，则， 所以，所以数列为等差数列，公差为，故A错误； 对于B，， 而，所以数列为等差数列，公差为9，故B错误； 对于CD，当时，；当时，；当时，； 所以 ，故C错误，D正确. 故选：D 练习2．已知数列的通项公式为，那么满足的正整数 . 【答案】或 【详解】因为， 所以（）， 所以当且时，的前项和为， 当且时，的前项和为； 满足， 即， 因为对于任意恒成立， 所以， ①当且，即且时， ， 所以， 解得：或； ②当且，即：且时， ， ∴， 解得：，舍去． 综上所述，或． 故答案为：2或5. 练习3．已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 【答案】(1) (2)68 【详解】（1）设等差数列的公差为， 若选择①②，由①，②， 则等差数列首项，公差， ； 若选择①③，由①，③，则，公差， 所以等差数列首项，公差， ； 若选择②③，由②，③，得， 所以等差数列首项，公差， ； （2）令，得，则前2项为负数，从第3项起为正数， . 练习4．设等差数列的前项和为，，，且有最小值. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为等差数列，故， 又因，所以或， 当时，的公差为，， 此时有最大值，无最小值不符合题意舍去， 当时，的公差为，， 此时，有最小值满足题意， ， 综上，. （2）当时，，此时， 当时，此时 ， 故 重难点09等差数列的单调性 例17．设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件， 故选：A 例18．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的前项和， 类比表达式，有. 当为递增等差数列时，有； 反之，当时，例如，可得； ，则， 此时数列从第二项开始才为递增的等差数列； 所以“为递增的等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 练习2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是(    ). A．， B． C． D．当时，最大 【答案】BC 【详解】因为，，所以和异号，且，又因为，所以，，所以，故A错误，B正确； ，故C正确； 因为，，所以当时，最大，故D错误. 故选：BC. 练习3．（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为， 所以，， 故，故A、B正确； ，，所以单调递增， 则， 所以，则，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 练习4．已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【答案】 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 重难点10等差数列中的范围与恒成立问题 例19．设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意，，则， 由数列为等差数列，得，且是的一次式 而对任意正整数，不恒成立，因此对恒成立， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由为等差数列，探求得是解决问题的关键. 例20．已知各项均为正数的数列，其前项和为．数列为等差数列且满足，，数列满足，求解下列问题： (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）因为且， 当时，，解得或（舍去）， 当时， 两式相减可得， 即， 又，所以，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以； （2）因为数列为等差数列，设公差为，由，， 所以， 所以， 若对任意，不等式恒成立， 则，即对任意恒成立， 因为在上单调递减，当时，即， 所以，即实数的取值范围为． 【跟踪练习】 练习1．等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，则的公差为， 所以， 则，即恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 而，即， 所以. 故答案为： 练习2．已知数列满足，，设． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为①； 故，且②， 由②①得， 所以数列的偶数列是以为首项，公差的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）， 所以即， 所以存在使得成立，即存在使得， 所以，令， 任取，则， 因为，所以， 所以即， 故在上单调递增，同理可得在上单调递减， 又， 所以， 所以实数的取值范围为. 练习3．已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当，， 当， 则（常数）。 则是首项为，公差为1的等差数列. 由题意知，，故， 故. 故答案为：. 练习4．已知数列中，，且对任意正整数都有．若数列满足：， (1)求数列和数列的通项公式； (2)设，若为递增数列，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）根据已知，，则，且， 则数列为首项为2，公差为2的等差数列，故． 由，得， 两式相减有： ，， 当时，也符合上式，； （2）由（1）知，又为递增数列， 所以 整理得 当为偶数时，，而，所以． 当为奇数时，，所以 综上所述，的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第08讲 等差数列及其前n项和 一、等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 二、等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 重难点01等差数列的基本量运算 【解题必备】（1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 例1．（多选）记等差数列的前项和为，，，则（　　） A． B． C． D． 例2．等差数列的前n项和为，若，，公差. (1)求的通项公式； (2)若，求n的值. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知等差数列是递增数列，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 练习2．在等差数列中，已知，则 . 练习3．记为等差数列的前n项和，若，，则 ． 练习4．设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 重难点02等差数列的判定与证明 【解题必备】对于数列，若⇔是等差数列 例3．“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4．在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列； 【跟踪练习】 练习1．已知数列中，，，则 . 练习2．（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 练习3．在数列中，，，若，则 ． 练习4．已知数列满足，. (1)求､､； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 重难点03等差数列的性质 【解题必备】等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 例5．已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 例6．已知等差数列满足，且，则 ． 【跟踪练习】 练习1．已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 练习2．在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 练习3．在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A．6 B．13 C．7 D．42 练习4．已知和均为等差数列，若，则的值是 . 重难点04等差数列前n项和的性质 【解题必备】等差数列前项和的常用性质： （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 例7．已知等差数列的前项和为，若，则 ． 例8．在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 【跟踪练习】 练习1．设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 练习3．已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 练习4．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 重难点05等差数列前n项和的最值 【解题必备】求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 例9．（多选）已知等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A． B． C．当时，取最小值 D．当时，n的最大值为10 例10．已知是公差为正数的等差数列，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求的前n项和的最小值. 【跟踪练习】 练习1．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15 练习2．（多选）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（   ） A． B．的最小值为 C． D．使的的最小值为11 练习3．在等差数列中，，公差，，前n项和为，若取得最大值，则 . 练习4．已知等差数列中，，. (1)求公差d的值； (2)求数列的前n项和的最小值． 重难点06等差数列的实际应用及数学文化 例11．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 例12．专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（    ） A．25台 B．24台 C．23台 D．22台 【跟踪练习】 练习1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．书中记载，有男、子、伯、侯、公从低到高五个级别的诸侯各1人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，则“侯”分得橘子数大于20且小于23的概率为（    ） A． B． C． D． 练习2．朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉．他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子．每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛俯视示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每三角锥垛层的果子数分别为1，3，6，10，15，21，……共有44层．问全垛共有多少个果子?则该三角锥垛从顶层向下数前40层的果子总数为（    ）（参考公式：）    A．12341 B．11480 C．10280 D．8436 练习3．某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .    练习4．湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值． 重难点07等差数列奇偶项问题 【解题必备】设数列是等差数列,且公差为, （1）若项数为偶数，设共有项， （2）若项数为奇数,设共有项,则(中间项);②. 例13．已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 例14．已知数列满足，，则的前40项和为 . 【跟踪练习】 练习1．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 练习3．已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式． 练习4．已知数列满足，，数列满足. (1)求，的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的前项和. 重难点08含绝对值的等差数列求和问题 【解题必备】若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 例15．已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 例16．已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【跟踪练习】 练习1．已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 练习2．已知数列的通项公式为，那么满足的正整数 . 练习3．已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 练习4．设等差数列的前项和为，，，且有最小值. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设数列的前项和为，求. 重难点09等差数列的单调性 例17．设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例18．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【跟踪练习】 练习1．已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是(    ). A．， B． C． D．当时，最大 练习3．（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 练习4．已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 重难点10等差数列中的范围与恒成立问题 例19．设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是 . 例20．已知各项均为正数的数列，其前项和为．数列为等差数列且满足，，数列满足，求解下列问题： (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【跟踪练习】 练习1．等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为 . 练习2．已知数列满足，，设． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，若存在使得成立，求实数的取值范围． 练习3．已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 练习4．已知数列中，，且对任意正整数都有．若数列满足：， (1)求数列和数列的通项公式； (2)设，若为递增数列，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$