精品解析：内蒙古赤峰二中2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

高一第二次数学月考试题 一、单选题（每题5分） 1. 设集合，，若，则（ ） A 2 B. 1 C. D. -2 2. 命题“，”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域为，若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 10. 对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. ， C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，偶函数 B. 存在实数，使得奇函数 C 当时，取得最小值 D. 当时，方程可能有三个实数根 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数，若，则_________． 13. 已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则________ 14. 已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是__________ 四、简答题 15. 已知函数为上的偶函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）若实数满足不等式，求的取值范围. 16. 已知函数为定义在区间上的奇函数，且． （1）求函数的解析式： （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 17. 荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长为. （1）已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示），设窗户的面积为平方米，求与的函数解析式及的取值范围； （2）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为平方米，则当为多少时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ 18 已知函数，函数 （1）若函数关于对称，且，求a，b的值； （2）当时，记，若当时，，求的最大值. （3）当时，若函数的值域和函数的值域相同，求b的取值范围； 19. 设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）证明函数的图象是关于点的中心对称图形 （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数的图象是弱中心对称图形，且是其弱对称中心，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一第二次数学月考试题 一、单选题（每题5分） 1. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】由得.易知且不符合题意，则，解之即可求解. 【详解】由，得. 若，则，不符合题意； 又，所以，解得. 故选：A 2. 命题“，”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，直接写出该命题的否定命题即可． 【详解】根据存在量词命题的否定， 命题“，”的否定为：，. 故选：D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A正确； 对于选项B：例如则，故B错误； 对于选项C：例如，满足，但，故C错误； 对于选项D：若，则， 可得，即，故D正确； 故选：D. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可. 【详解】的定义域为， ，解得：， 的定义域为. 故选：B. 5. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可确定，进而计算可得结果. 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得， 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，符合题意， 所以. 故选：A. 6. 设函数，则下列函数中为奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项. 【详解】对于A，, 不满足，故不是奇函数，故A错误； 对于B，，定义域为, 满足，是奇函数，故B正确； 对于C，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故D错误. 故选：B 7. 若函数是上增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数的单调性，二次函数的单调性和对称轴知识求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故选：D. 8. 若函数的定义域为，若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造，根据题意得在上单调递减，再由题意转化为解即可. 【详解】对任意不相等的实数，恒有, 则任意不相等的实数，恒有，即， 令，不妨设，可得 则可得，即， 所以是上单调递减函数， 不等式， 即，所以，解之可得， 所以不等式的解集为. 故选：C 二、多选题（每题6分） 9. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由均值不等式“1”的代换可判断A，直接利用均值不等式可判断B，由消元法将转换为，由二次函数的性质可判断C，先将平方，再结合均值不等式可判断D. 【详解】由于，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以有最小值，故A正确； ，解得，当且仅当， 即，时取等号，所以的最大值是，故B正确； 由，， 而，解得，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C错误； ，，时取等号， 所以有最大值，故D正确. 故选：ABD. 10. 对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. ， C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例排除AC，分类讨论与或两种情况，利用新函数的定义与二次函数的性质判断B，利用函数单调性的定义分析的单调性即可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以，， 即，而， 所以的图象不可能关于直线对称，故A错误； 对于B，因为为不大于的最大整数，所以， 当时，，则； 当或时，， 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以当或时，，故； 综上，，，故B正确； 对于C，因为， 所以，， 即，所以在上不可能单调递增，故C错误； 对于D，取，且， 当时，； 当时，； 综上，， 又由二次函数的性质可知在上单调递减，则， 所以，即， 所以在上单调递减，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，为偶函数 B. 存在实数，使得为奇函数 C. 当时，取得最小值 D. 当时，方程可能有三个实数根 【答案】AC 【解析】 【分析】考虑a是否等于零，即可研究奇偶性判断A和B；将函数写成分段函数，结合 二次函数的性质即可求其最小值、研究根的情况，判断C和D，即可解答． 【详解】函数定义域为． 当时，， ， 则为偶函数，故A正确； 当时，，， 函数不可能为奇函数， 当时，， 则，函数不可能为奇函数， 则不存在实数，使得为奇函数，故B错误； 因为， 所以 当时，时，函数单调递增，所以最小值为， 时，函数单调递减，所以， 所以函数的最小值为，故C正确； 若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有个根， 若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有个根， 所以方程不可能有三个实数根，故D错误． 故选：AC． 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】构造奇函数，利用奇偶性求解即可. 【详解】令，则为奇函数， 因为，所以，， 所以， 故答案： 13. 已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】直接根据已知条件证明，即可得到答案. 【详解】由题意可得， 由，即. 故答案为：. 14. 已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】通过直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可. 【详解】由，可得， 即， 由，可得在上恒成立， 即，解得， 又集合A是非空集合，所以在上有解， 则，解得或， 综合可得：． 故答案为： 四、简答题 15. 已知函数为上的偶函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性和题设条件求出的值，再由奇偶性求出时的函数解析式； （2）根据（1）求得的函数解析式，判断函数在上的单调性和对称性，得到与等价的不等式组解之即得. 【小问1详解】 因为函数为上的偶函数，且当时，， 因，即，解得， 所以当时，. 当时，则，，则. 故有. 【小问2详解】 由（1）已得： 可得在上单调递减，在上单调递增. 又，所以 由① 得：；由② 得：；由③ 得：. 故的取值范围是. 16. 已知函数为定义在区间上的奇函数，且． （1）求函数的解析式： （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在是增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用，，求得，的值，即可得函数解析式； （2）利用定义法判断出在区间上的单调性； （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得的取值范围． 【小问1详解】 依题意函数是定义在上的奇函数，所以， ，解得， 所以，经检验，该函数为奇函数； 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 任取，，使得， 则， 因为，所以，，所以， 即，所以， 所以在上单调递增； 【小问3详解】 若对任意的，存在，使得成立，则 由（2）得在上递增，所以， 存在，成立，即 若，则在上为增函数，， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数，，， 综上可知：．即实数的取值范围是． 17. 荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长为. （1）已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示），设窗户的面积为平方米，求与的函数解析式及的取值范围； （2）规定：公共室内场所窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为平方米，则当为多少时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ 【答案】（1） （2）当或时窗户面积最小，窗户面积最小值是平方米 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形知识求出矩形的高，即可得到答案； （2）根据所有题目条件解出窗户面积的取值范围，然后解出相应的. 【小问1详解】 显然有，根据相似三角形知识，屋顶顶端到窗户顶部的距离为. 所以矩形的高为，这就得到. 【小问2详解】 设地板面积为，则，，从而，解得. 而方程的解为或，所以当或时窗户面积最小，窗户面积最小值是平方米. 18. 已知函数，函数 （1）若函数关于对称，且，求a，b的值； （2）当时，记，若当时，，求的最大值. （3）当时，若函数的值域和函数的值域相同，求b的取值范围； 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数对称性及给定的函数值列式求出值. （2）把代入，求出函数，探讨函数的单调性及对应函数值集合，求出对应的自变量值即可得解. （3）把代入，求出函数的对称轴，按探讨函数的取值集合即可列式求解. 【小问1详解】 由函数的图象关于对称，且， 得，所以，. 【小问2详解】 依题意，， 当时，，在上单调递增，函数值集合为； 当时，，由对勾函数性质知，在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值的集合为， 由，得，解得； 由，则或，解得或， 所以． 【小问3详解】 当时，函数定义域为R，其图象对称轴，， 当时，（ⅰ）时，，当且仅当时取取等号， （ⅱ）时，，当且仅当时取等号， 于是， 由函数的值域和函数相同，得，则， 当时，，在和上单调递增， 此时的值域是R，此时符合的值域和的值域相同． 当时，值域为，则的值域和的值域相同， 所以实数b的取值范围为． 19. 设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）证明函数的图象是关于点的中心对称图形 （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数的图象是弱中心对称图形，且是其弱对称中心，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）不是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据定义即可证明； （2）根据定义列出方程，并证明无解； （3）先根据题目条件证明，再对每个构造相应的，即可得到答案. 【小问1详解】 对任意的，都有. 所以函数的图象是关于点的中心对称图形． 【小问2详解】 函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，，使得，则. 从而，即，解得，与矛盾 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形. 【小问3详解】 ①一方面，若存在，，使得，根据对称性，不妨设. 假设，则，从而由可知，故，矛盾，所以. 故，那么，从而由可知. 所以. ②另一方面，若，此时令，则. 此即，且. 从而，这就意味着，故. 而，故，从而. 这就说明存在，，使得. 综合①②两个方面可知，实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对弱对称中心图形的定义的理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$