八年级数学期末模拟卷（广东省卷专用，人教版八上全部）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期末模拟考试

2024-2025学年八年级数学上学期期末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八上全部。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故答案为：D． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，5，9 D．4，5，6 【答案】D 【详解】根据三角形三边关系：可用较小的两边之和大于第三边，求解即可． A．，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； B． ，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； C． ，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； D． ，能摆成三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 3．已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【详解】解：根据n边形的内角和公式，得 ， 解得． ∴这个多边形的边数是8． 故选：B． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 5．根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，的分子和分母同时乘上，该分式的值不变， 即 故选：C 6．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过C作直线轴，过B作于E，过A作于D， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴． 故选：D． 7．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为， ∴汽车的速度为， 根据题意得：． 故选：B． 8．如图，，．添加下列的一个选项后．不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、∵， ∴， 在和中， ， ∴，此选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴，此选项不符合题意； 、∵， ∴， 添加，此选项不能证明，此选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，此选项不符合题意； 故选：． 9．如图，，是的角平分线，，交于点O，，，以下错误的是（   ） A． B． C． D．若的周长为m，，则 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， ∵，是的角平分线， ∴， ∴；故A正确； B、如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故B正确； C、由②可知，， ∴，故C正确； D、连接，过点作，垂足分别为：， ∵，是的角平分线， ∴， ∴；故D错误； 故选：D． 10．如图，已知和均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上；与交于点O，与交于点N，与交于点M，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵和均是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ，，，故①正确； ， ， 在和中， ， ∴， ∴， 过点C分别作，垂足分别为F、G， ∵， ∴，即， ∴， ∴平分， ，故④正确； ，， 为等边三角形， ， ， ∴，故③正确； 在上截取，连接， 在与中，， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ， ，故⑤正确． ， 不妨设，则，显然不可能，故②错误； 故选：D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12．某种流感病毒直径大约是0.000012厘米，该数据用科学记数法可表示为 厘米． 【答案】 【详解】解：0.000012厘米厘米， 故答案为： 13．如图，已知直线，的顶点在直线上，，，若，则的度数是 ．    【答案】/70度 【详解】解：如图，    在中，，， 则， ， ， 是的外角， ， ∵， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示 连接，过点作于点， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， 点到的距离是． 故答案为： ． 15．如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， °． 【答案】 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：， ， ， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1 【详解】原式=2+1+3-3......4分 =3．.....7分 17．（7分）如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转后得到． 求的度数； 【详解】解：∵是等腰直角三角形，, ∴，.....2分 ∵将 绕点 顺时针旋转后得到， ∴与重合，，.....4分 ∴，.....5分 ∴，.....6分 ∴ 的度数为． .....7分 18．（7分）如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 【详解】证明：∵， ∴点在线段的垂直平分线上，.....2分 ∵为的中点， ∴，.....4分 ∴点在线段的垂直平分线上，.....5分 ∴垂直平分，.....6分 ∴．.....7分 19．（9分）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在y轴上存在一点P，使得周长最小，请直接写出周长的最小值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； .....3分 （2）解：；.....6分 （3）解：如图，作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则此时周长最小，周长的最小值为：．.....9分 20．（9分）某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． (1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)学校要一次性购买足球和篮球共200个，但要求总费用不超过15500元，学校最多可购买多少个篮球？ 【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为：元，由题意，得：.....1分 ，.....2分 解得：；.....3分 经检验，是原方程的解，.....4分 ∴， 答：足球的单价为元，篮球的单价为元；.....5分 （2）设购买篮球个，则购买足球个，由题意，得： ，.....5分 解得：，.....7分 ∵为整数， ∴的最大值为116；.....8分 答：学校最多可购买116个篮球．.....9分 21．（9分）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为，.....1分 因此有．.....3分 （2）解：∵，， ∴，.....5分 ∴或．.....6分 （3）解：阴影部分的面积为：.....7分 ∵， ∴.....8分 ＝10． ∴阴影部分的面积为10．.....9分 22．（13分）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； 【概念应用】 （3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 【详解】解：（1）∵， ∴，.....1分 ∵平分， ∴，.....2分 ∵， ∴，.....3分 ∴与互为“类似三角形”．.....4分 故答案为：是． （2）证明：∵，， ∴，.....5分 ∵平分， ∴，.....6分 ∴，.....7分 ∴是等腰三角形，，.....8分 ∴为的完美分割线．.....9分 （3）（Ⅰ）当是等腰三角形时， ①如图1， 当时，则， ∴， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图2， 当时，则， 此时， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形时， ①如图3， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；，， ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图4， 当，时， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴，； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：或或或．.....13分 23．（14分）如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接，.....1分 在和中， ， ∴，.....2分 ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，.....3分 ∴， ∵， ∴，.....4分 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立．.....5分 证明：如图中，延长至，使，连接，.....6分 ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴，.....7分 ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴，.....8分 ∴， ∵， ∴.....9分 （3）解：结论不成立，结论：．.....10分 证明：如图中，在上截取，使，连接，.....11分 ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴，.....12分 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，.....13分 ∴， ∵， ∴．.....14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B B C D B C D D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14．3 15．70 三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分） 【详解】原式=2+1+3-3......4分 =3．.....7分 17．（7分） 【详解】解：∵是等腰直角三角形，, ∴，.....2分 ∵将 绕点 顺时针旋转后得到， ∴与重合，，.....4分 ∴，.....5分 ∴，.....6分 ∴ 的度数为． .....7分 18．（7分） 【详解】证明：∵， ∴点在线段的垂直平分线上，.....2分 ∵为的中点， ∴，.....4分 ∴点在线段的垂直平分线上，.....5分 ∴垂直平分，.....6分 ∴．.....7分 19．（9分） 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； .....3分 （2）解：；.....6分 （3）解：如图，作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则此时周长最小，周长的最小值为：．.....9分 20．（9分） 【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为：元，由题意，得：.....1分 ，.....2分 解得：；.....3分 经检验，是原方程的解，.....4分 ∴， 答：足球的单价为元，篮球的单价为元；.....5分 （2）设购买篮球个，则购买足球个，由题意，得： ，.....5分 解得：，.....7分 ∵为整数， ∴的最大值为116；.....8分 答：学校最多可购买116个篮球．.....9分 21．（9分） 【详解】（1）解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为，.....1分 因此有．.....3分 （2）解：∵，， ∴，.....5分 ∴或．.....6分 （3）解：阴影部分的面积为：.....7分 ∵， ∴.....8分 ＝10． ∴阴影部分的面积为10．.....9分 22．（13分） 【详解】解：（1）∵， ∴，.....1分 ∵平分， ∴，.....2分 ∵， ∴，.....3分 ∴与互为“类似三角形”．.....4分 故答案为：是． （2）证明：∵，， ∴，.....5分 ∵平分， ∴，.....6分 ∴，.....7分 ∴是等腰三角形，，.....8分 ∴为的完美分割线．.....9分 （3）（Ⅰ）当是等腰三角形时， ①如图1， 当时，则， ∴， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图2， 当时，则， 此时， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形时， ①如图3， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；，， ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图4， 当，时， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴，； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：或或或．.....13分 23．（14分） 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接，.....1分 在和中， ， ∴，.....2分 ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，.....3分 ∴， ∵， ∴，.....4分 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立．.....5分 证明：如图中，延长至，使，连接，.....6分 ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴，.....7分 ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴，.....8分 ∴， ∵， ∴.....9分 （3）解：结论不成立，结论：．.....10分 证明：如图中，在上截取，使，连接，.....11分 ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴，.....12分 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，.....13分 ∴， ∵， ∴．.....14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八上全部。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，5，9 D．4，5，6 3．已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点坐标为（　　） A． B． C． D． 7．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，．添加下列的一个选项后．不能证明的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，，是的角平分线，，交于点O，，，以下错误的是（   ） A． B． C． D．若的周长为m，，则 10．如图，已知和均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上；与交于点O，与交于点N，与交于点M，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 2、 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式： ． 12．某种流感病毒直径大约是0.000012厘米，该数据用科学记数法可表示为 厘米． 13．如图，已知直线，的顶点在直线上，，，若，则的度数是 ．    14．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 15．如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， °． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1 17．（7分）如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转后得到． 求的度数； 18．（7分）如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 19．（9分）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在y轴上存在一点P，使得周长最小，请直接写出周长的最小值． 20．（9分）某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． (1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)学校要一次性购买足球和篮球共200个，但要求总费用不超过15500元，学校最多可购买多少个篮球？ 21．（9分）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 22．（13分）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； 【概念应用】 （3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 23．（14分）如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） 20．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八上全部。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．下列图形是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，5，9 D．4，5，6 3．已知一个多边形的内角和为1080，则这个多边形为（ ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 4．下列计算正确的是（ ） A．2 3 5a b ab  B．    2 2a b a b a b    C． 22 3 6a b ab D．  23 5a a 5．根据分式的基本性质，分式 a a b   可变形为（ ） A． a a b  B． a a b C． a a b   D． a a b   6．如图，在平面直角坐标系中， ABC 为等腰直角三角形， 90ACB AC BC   ， ．点  0, 1B  ，点  1,1C ．则 点A 坐标为（ ） A．  1,3 B．  1.5,3 C．  1.5, 2 D．  1,2 7．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一 部分师生骑自行车先走，过了20min 后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑 车速度的 3 倍，设骑车的速度为 km / hx ，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． 10 1 10 3 3x x   B． 10 10 1 3 3x x   C． 10 10 20 3x x   D． 10 10 20 3x x   8．如图， AE DF∥ ， AE DF ．添加下列的一个选项后．不能证明 ACE DBF ≌ 的是（ ） A． E F   B．EC BF C． EC BF D． AB CD 9．如图，AE，BD是 ABC 的角平分线，AE，BD交于点 O，OF AB ， 60C  ，以下错误的是（ ） A． 120AOB   B． AD BE AB  C． AOB AOD BOES S S △ △ △ D．若 ABC 的周长为 m，OF n ，则 ABCS mn 10．如图，已知 ABC 和 CDE 均是等边三角形，点 B、C、D在同一条直线上；BE 与 AD交于点 O，AD 与CE交于点 N，AC与 BE 交于点M，连接OC、MN，则下列结论：① AD BE ；②ME BM ；③MN BD∥ ； ④ BOC DOC  ；⑤OB AO OC  ，其中正确的结论个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分。 11．分解因式： 2 4amn am  ． 12．某种流感病毒直径大约是 0.000012 厘米，该数据用科学记数法可表示为 厘米． 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．如图，已知直线a b∥ ，Rt ABC△ 的顶点A 在直线a上， 90C  ， 55BAC  ，若 2 35  ，则 1 的度数是 ． 14．如图，在 ABC 中， 90B  ， 6AB BC  ，将 ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到 ADE ，则点D 到BC的距离是 ． 15．如图，在四边形 ABCD中， 90B D    ， 55C  ，M，N分别是边BC，CD上的动点，当 AMN 的周长最小时， MAN  °． 三、解答题：本大题共 8小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7 分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0+ 3 27 +（﹣ 1 3 ） ﹣1 17．（7 分）如图，在等腰直角三角形 ABC中， , 90BA BC ABC   ，点 D 在 AC上，将 ABD 绕 点 B 顺时针旋转90°后得到 CBE ． 求 DCE 的度数； 18．（7 分）如图， AC AD ，线段 AB经过线段CD的中点 E，求证：BC BD ． 19．（9 分）如图，平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点的坐标分别为  3,4A  ，  4,1B  ，  1,2C  ． (1)在图中作出 ABC 关于 x轴的对称图形 1 1 1A BC△ ； (2)求 ABC 的面积； (3)在 y轴上存在一点 P，使得 PAC 周长最小，请直接写出 PAC 周长的最小值． 20．（9 分）某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个足球的价格都相同，每个篮球 的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的 2 倍少 30 元，用 1200 元购买足球的数量是用 900 元购买 篮球数量的 2 倍． (1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)学校要一次性购买足球和篮球共 200 个，但要求总费用不超过 15500 元，学校最多可购买多少个篮球？ 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 21．（9 分）图 1 是一个长为2a、宽为 2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图 2 的形状拼成一个正方形． (1)观察图 2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式  2a b ,  2a b ，ab之间的等量关系为________； (2)运用得到的公式，计算：若 m、n为实数，且 5 4mn m n  ， ，求m n 的值． (3)如图 3 所示，两正方形 ABCD和正方形DEFG边长分别为 a、b，且 5 5a b ab  ， ，求图中阴影部分 的面积． 22．（13 分）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角 形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个 三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似 三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】 （1）如图 1，在 ABC 中， 36A AB AC   ， ，CD平分 ACB ，则 CBD△ 与 ABC （填“是”或“不是”） 互为“类似三角形”． （2）如图 2，在 ABC 中，CD平分 ACB ， 36A  ， 48B  ．求证：CD为 ABC 的完美分割线； 【概念应用】 （3）在 ABC 中， 54A  ，CD是 ABC 的完美分割线，直接写出 ACB 的度数． 23．（14 分）如图1：在四边形 ABCD中，AB AD ， 120BAD  ， 90B ADC    ，E F， 分别是BC， CD上的点，且 60EAF  ，探究图中线段 BE ，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG BE ，连接 AG，先证明 ABE ADG△ ≌△ ，再 证明 AEF AGF ≌ ，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图2，若在四边形 ABCD中， AB AD ， 180B ADF   ，E F， 分别是BC、CD上的点，且 1 2 EAF BAD   ，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形 ABCD中， AB AD ， 180B ADC   ，E F， 分别是边BC、CD延长线上的点，且 1 2 EAF BAD   ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系， 并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期期末测试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八上全部。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．下列图形是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故答案为：D． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，5，9 D．4，5，6 【答案】D 【详解】根据三角形三边关系：可用较小的两边之和大于第三边，求解即可． A．4 6 10  ，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 B． 2 5 8  ，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； C． 3 5 9  ，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； D． 4 5 6  ，能摆成三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 3．已知一个多边形的内角和为1080，则这个多边形为（ ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【详解】解：根据 n边形的内角和公式，得 ( 2) 180 1080n   ， 解得 8n  ． ∴ 这个多边形的边数是 8． 故选：B． 4．下列计算正确的是（ ） A．2 3 5a b ab  B．    2 2a b a b a b    C． 22 3 6a b ab D．  23 5a a 【答案】B 【详解】解：A．2a与3b不能合并，原式计算错误，故 A 不符合题意； B．    2 2a b a b a b    ，原式计算正确，故 B 符合题意； C． 2 22 3 6a b a b  ，原式计算错误，故 C 不符合题意； D．  23 6a a ，原式计算错误，故 D 不符合题意； 故选：B． 5．根据分式的基本性质，分式 a a b   可变形为（ ） A． a a b  B． a a b C． a a b   D． a a b   【答案】C 【详解】解：依题意， a a b   的分子和分母同时乘上 1 ，该分式的值不变， 即        a a b a a a b a b 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选：C 6．如图，在平面直角坐标系中， ABC 为等腰直角三角形， 90ACB AC BC   ， ．点  0, 1B  ，点  1,1C ．则 点A 坐标为（ ） A．  1,3 B．  1.5,3 C．  1.5, 2 D．  1,2 【答案】D 【详解】解：过 C作直线 l y 轴，过 B作 BE l 于 E，过 A作 AD l 于 D， ∴ 90ADC ACB BEC     ， ∴ 90DAC ACD ACD BCE     ， ∴ CAD BCE  ， 在 ACD 与 CBE△ 中， CAD BCE ADC CEB AC BC        ， ∴  AASACD CBE ≌ ， ∴ ,AD CE CD BE  ， ∵ 点  0, 1B  ，点  1,1C ， ∴ 1, 1 1 2BE CD AD CE      ， ∴  1,2A  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 故选：D． 7．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一 部分师生骑自行车先走，过了20min 后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车 速度的 3 倍，设骑车的速度为 km / hx ，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． 10 1 10 3 3x x   B． 10 10 1 3 3x x   C． 10 10 20 3x x   D． 10 10 20 3x x   【答案】B 【详解】解：∵ 汽车的速度是骑车师生速度的 3 倍，且骑车师生的速度为 km / hx ， ∴ 汽车的速度为3 km / hx ， 根据题意得： 10 10 1 3 3x x   ． 故选：B． 8．如图， AE DF∥ ， AE DF ．添加下列的一个选项后．不能证明 ACE DBF ≌ 的是（ ） A． E F   B．EC BF C． EC BF D． AB CD 【答案】C 【详解】解：A 、∵ AE DF∥ ， ∴ A D  ， 在 ACE△ 和 DBF 中， A D AE DF E F        ， ∴  ASAACE DBF ≌ ，此选项不符合题意； B 、∵ AE DF∥ ， ∴ A D  ， ∵ EC BF ， ∴ ACE DBF   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 在 ACE△ 和 DBF 中， ACE DBF A D AE DF        ， ∴  AASACE DBF ≌ ，此选项不符合题意； C 、∵ AE DF∥ ， ∴ A D  ， 添加EC BF ，此选项不能证明 ACE DBF ≌ ，此选项符合题意； D 、∵ AE DF∥ ， ∴ A D  ， ∵ AB CD ， ∴ AB BC CD BC   ， ∴ AC DB ， 在 ACE△ 和 DBF 中， AE DF A D AC DB       ， ∴  SASACE DBF ≌ ，此选项不符合题意； 故选：C ． 9．如图，AE，BD是 ABC 的角平分线，AE，BD交于点 O，OF AB ， 60C  ，以下错误的是（ ） A． 120AOB   B． AD BE AB  C． AOB AOD BOES S S △ △ △ D．若 ABC 的周长为 m，OF n ，则 ABCS mn 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【答案】D 【详解】解：A、∵ 60C  ， ∴ 180 120ABC CAB C     ， ∵ AE，BD是 ABC 的角平分线， ∴  1 60 2 OAB OBA ABC CAB      ， ∴  180 120AOB OAB OBA      ；故 A 正确； B、如图，在 AB上截取 AM AD ， ∵ AE是 ABC 的角平分线， ∴ DAO MOA  ， ∵ AO AO ， ∴  SASAOD AOM ≌ ， ∴ AOM AOD   ， ∵ 120AOB  ， ∴ 180 60AOD BOE AOB     ， ∴ 60AOM AOD   ， ∴ 60BOM AOB AOM     ， ∴ BOM EOB  ， ∵ BD是 ABC 的角平分线， ∴ MBO EBO  ， ∵ OB OB ， ∴  ASABOE BOM ≌ ， ∴ BE BM ， ∴ AB AM BM AD BE    ；故 B 正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 C、由②可知，  SASAOD AOM ≌ ，  ASABOE BOM ≌ ∴ AOB AOM BOM AOD BOES S S S S   △ △ △ △ ，故 C 正确； D、连接OC，过点O作 ,OG AC OH BC  ，垂足分别为： ,G H ， ∵ AE，BD是 ABC 的角平分线， ∴ OG OF OH n   ， ∴  1 1 2 2ABC AOC BOC AOB S S S S AB BC AC OF mn           ；故 D 错误； 故选：D． 10．如图，已知 ABC 和 CDE 均是等边三角形，点 B、C、D在同一条直线上；BE 与 AD交于点 O，AD与 CE交于点 N，AC与 BE 交于点M，连接OC、MN，则下列结论：① AD BE ；②ME BM ；③MN BD∥ ； ④ BOC DOC  ；⑤OB AO OC  ，其中正确的结论个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【详解】解：∵ ABC 和 CDE 均是等边三角形， AC BC  ，CD CE ， ACB DCE   ， ACB ACE DCE ACE    ， 即 ACD BCE  ， 在 ACD 和 BCE 中， AC BC ACD BCE CD CE       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴  SASACD BCE ≌ ， AD BE  ， ADC BEC  ， CAD CBE  ，故①正确； 180 2 60 60ACN        ， 60ACN BCM    ， 在 ACN△ 和 BCM 中， ACN BCM AC BC CAD CBE        ， ∴  ASAACN BCM ≌ ， ∴ CM CN ， 过点 C分别作 ,CF BE CG AD  ，垂足分别为 F、G， ∵ ≌ACD BCE  ， ∴ ACD BCES S  ，即 1 1 2 2 AD CG BE CF   ， ∴ CF CG ， ∴ OC平分 BOD ， BOC DOC   ，故④正确； 60ACN   ，CM CN ， CMN 为等边三角形， 60CMN  ， 60ACB CMN    ， ∴ MN BD∥ ，故③正确； 在BO上截取BH AO ，连接CH ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 在 BCH 与 AOC△ 中， BC AC CBH CAD BH AO      ， ∴  SASBCH AOC ≌ ， CH CO  ， 60HOC   ， HOC 是等边三角形， OH OC  ， OB BH OH  ， OB OA OC   ，故⑤正确． 60BCM ECM    ， 不妨设BM EM ，则BC EC ，显然不可能，故②错误； 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分。 11．分解因式： 2 4amn am  ． 【答案】  2 4am n  【详解】解：  2 24 4amn am am n   ， 故答案为：  2 4am n  ． 12．某种流感病毒直径大约是 0.000012 厘米，该数据用科学记数法可表示为 厘米． 【答案】 51.2 10 【详解】解：0.000012 厘米 51.2 10  厘米， 故答案为： 51.2 10 13．如图，已知直线a b∥ ，Rt ABC△ 的顶点A 在直线a上， 90C  ， 55BAC  ，若 2 35  ，则 1 的度数是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【答案】70 /70 度 【详解】解：如图， 在Rt ABC△ 中， 90C  ， 55BAC  ， 则 90 90 55 35B BAC          ， 2 35   ， 35BDE  ， AED 是 BED 的外角， 70AED B BDE      ， ∵ a b∥ ， 1 70AED    ， 故答案为：70． 14．如图，在 ABC 中， 90B  ， 6AB BC  ，将 ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到 ADE ，则点D到 BC的距离是 ． 【答案】3 【详解】解：如下图所示 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 连接𝐵𝐷，过点D作DF BC 于点F ， AD AB ， 60BAD  ， ABD 是等边三角形， 60ABD  ， 6AB BD AD   ， 90ABC   ， 90 60 30DBF ABC ABD       ， 在Rt BDF 中， 1 1 6 3 2 2 DF BD    ， 点D到BC的距离是 3DF  ． 故答案为： 3． 15．如图，在四边形 ABCD中， 90B D    ， 55C  ，M，N分别是边BC，CD上的动点，当 AMN 的 周长最小时， MAN  °． 【答案】70 【详解】解：如图，作点 A关于CD CB、 的对称点 E、F，连接EF 分别交CD CB、 于点 H、G，连接 AH AG、 、 EM FN、 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 由对称性知： ，FM AM EH AH  ， ，NE NA GF GA  ， AM MN NA FM MN NE EF       ， ∴ 当点M与点 H重合，点 N与点 G重合时， AMN 的周长最小； ∵ GA GF EH AH ， ， ∴ GAF GFA HEA HAE    ， ， ∴ 2 2AGH GFA AHG HEA     ， ∵ 55C  ， ∴ 360 90 90 55 125DAB       ， ∴ 180 55GFA HEA DAB     ， ∵ 2 2 2 55 110AGH AHG GAF HEA          ， ∴ 180 ( ) 180 110 70GAH AGH AHG         ， 即 70MAN  ， 故答案为：70 ． 三、解答题：本大题共 8小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7 分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0+ 3 27 +（﹣ 1 3 ） ﹣1 【详解】原式=2+1+3-3......4 分 =3．.....7 分 17．（7 分）如图，在等腰直角三角形 ABC中， , 90BA BC ABC   ，点 D 在 AC上，将 ABD 绕点 B 顺时针旋转90°后得到 CBE ． 求 DCE 的度数； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 【详解】解：∵ ABC 是等腰直角三角形， , 90AB BC ABC    , ∴ 45A BCA   ，.....2 分 ∵ 将 ABD 绕点 B 顺时针旋转90°后得到 CBE ， ∴ 𝐴𝐵与𝐶𝐵重合， ABD CBE ≌ ，.....4 分 ∴ 45A BCE   ，.....5 分 ∴ 45 45 90DCE BCD BCE       ，.....6 分 ∴ DCE 的度数为90°． .....7 分 18．（7 分）如图， AC AD ，线段 AB经过线段CD的中点 E，求证：BC BD ． 【详解】证明：∵ AC AD ， ∴ 点A 在线段CD的垂直平分线上，.....2 分 ∵ E为CD的中点， ∴ CE DE ，.....4 分 ∴ 点E在线段CD的垂直平分线上，.....5 分 ∴ AB垂直平分CD，.....6 分 ∴ BC BD ．.....7 分 19．（9 分）如图，平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点的坐标分别为  3,4A  ，  4,1B  ，  1,2C  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 (1)在图中作出 ABC 关于 x轴的对称图形 1 1 1A BC△ ； (2)求 ABC 的面积； (3)在 y轴上存在一点 P，使得 PAC 周长最小，请直接写出 PAC 周长的最小值． 【详解】（1）解：如图所示， 1 1 1A BC△ 即为所求； .....3 分 （2）解： 1 1 1 3 3 3 3 1 3 1 3 2 2 9 2 4 2 2 2 2 2ABC S                 ；.....6 分 （3）解：如图，作点 C关于 y轴的对称点C，连接 AC交 y轴于点 P，则此时 PAC 周长最小， PAC 周 长的最小值为： 2 2 2 22 2 2 4 2 2 2 5AC PC AP AC PC AP AC AC              ．.....9 分 20．（9 分）某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个足球的价格都相同，每个篮球 的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的 2 倍少 30 元，用 1200 元购买足球的数量是用 900 元购买 篮球数量的 2 倍． (1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)学校要一次性购买足球和篮球共 200 个，但要求总费用不超过 15500 元，学校最多可购买多少个篮球？ 【详解】（1）解：设足球的单价为 x元，则篮球的单价为： 2 30x  元，由题意，得：.....1 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 1200 900 2 2 30x x    ，.....2 分 解得： 60x  ；.....3 分 经检验 60x  ，是原方程的解，.....4 分 ∴ 2 30 90x   ， 答：足球的单价为60元，篮球的单价为90元；.....5 分 （2）设购买篮球a个，则购买足球  200 a 个，由题意，得：  90 60 200 15500a a   ，.....5 分 解得： 350 3 a  ，.....7 分 ∵ a为整数， ∴ a的最大值为 116；.....8 分 答：学校最多可购买 116 个篮球．.....9 分 21．（9 分）图 1 是一个长为2a、宽为 2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图 2 的 形状拼成一个正方形． (1)观察图 2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式 2a b ,  2a b ，ab之间的等量关系为________； (2)运用得到的公式，计算：若 m、n为实数，且 5 4mn m n  ， ，求m n 的值． (3)如图 3 所示，两正方形 ABCD和正方形DEFG边长分别为 a、b，且 5 5a b ab  ， ，求图中阴影部分的 面积． 【详解】（1）解：图 2 中，整体是边长为a b 的正方形,面积为  2a b ，阴影部分的正方形的边长为a b ， 因此面积为  2a b ，四个长为 a，宽为 b的长方形的面积为 4ab，.....1 分 因此有    2 2 4a b a b ab    ．.....3 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 （2）解：∵ 5 4mn m n  ， ，， ∴     22 2 4 4 54 36mm n nn m     ，.....5 分 ∴ 6m n  或 6m n   ．.....6 分 （3）解：阴影部分的面积为：   2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 2 1 a a b b a b ab     .....7 分 ∵ 5 5a b ab  ， ， ∴ 2 2 1 1 1 2 2 2 a ab b  .....8 分  2 21 2 a ab b    21 2 a b ab     2 5 1 5 2     ＝10． ∴ 阴影部分的面积为 10．.....9 分 22．（13 分）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个 三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似 三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】 （1）如图 1，在 ABC 中， 36A AB AC   ， ，CD平分 ACB ，则 CBD△ 与 ABC （填“是”或“不是”） 互为“类似三角形”． （2）如图 2，在 ABC 中，CD平分 ACB ， 36A  ， 48B  ．求证：CD为 ABC 的完美分割线； 【概念应用】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 （3）在 ABC 中， 54A  ，CD是 ABC 的完美分割线，直接写出 ACB 的度数． 【详解】解：（1）∵ 36A AB AC   ， ， ∴ 72ABC ACB   ，.....1 分 ∵ CD平分 ACB ， ∴ 36BCD  ，.....2 分 ∵ 72ABC  ， ∴ 72BDC  ，.....3 分 ∴ CBD△ 与 ABC 互为“类似三角形”．.....4 分 故答案为：是． （2）证明：∵ 36A  ， 48B  ， ∴ 180 36 48 96ACB      ，.....5 分 ∵ CD平分 ACB ， ∴ 1 1 96 48 2 2 ACD BCD ACB         ，.....6 分 ∴ BCD B   ，.....7 分 ∴ BCD△ 是等腰三角形， 36 48 96ACD A B B ADC ACB             ， ， ，.....8 分 ∴ CD为 ABC 的完美分割线．.....9 分 （3）（Ⅰ）当 ACD 是等腰三角形时， ①如图 1， 当 AD CD 时，则 54ACD A   ， ∴ 108BDC A ACD    ， ∵ 54BCD A   ， ∴ 108ACB ACD BCD    ； ∴ ACB BDC  ， B B  ， ∵ 180 , 180ACB A B BDC DCB B         ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 ∴ A BCD   ， ∴ 此种情况符合题意； ②如图 2， 当 AC AD 时，则 180 54 63 2 ACD ADC        ， 此时 54BCD A   ， 54 63 117BDC A ACD        ∴ 54 63 117ACB     ； ∴ ACB BDC  ， B B  ， ∵ 180 , 180ACB A B BDC DCB B         ， ∴ A BCD   ， ∴ 此种情况符合题意； ③当 AC CD 时，这种情况不存在； （Ⅱ）当 BCD△ 是等腰三角形时， ①如图 3， 当CD DB 时， B BCD ACD   ， ∴ 54BDC ACD A ACD      ， ∵ 180BDC B BCD    ， ∴ 54 180ACD ACD ACD     ， ∴ 42ACD  ， ∴ 2 42 84ACB ACD BCD       ； 54 96BDC ACD A ACD        ， 180 84ADC BDC    ， ∴ ACB ADC   ， A A  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ∵ 180 , 180ACB A B ADC DCA A         ， ∴ B ACD  ， ∴ 此种情况符合题意； ②如图 4， 当BC BD ， B ACD  时， ∴ 54BCD BDC ACD A ACD         ， 由 2 180B BDC    ，得  2 54 180ACD ACD      ， ∴ 24ACD  ， ∴ 24 54 78BCD BDC ACD A          ， ∴ 24 24 54 102ACB ACD BCD        ， 180 102ADC CDB    ； ∴ ACB ADC   ， A A  ， ∵ 180 , 180ACB A B ADC DCA A         ， ∴ B ACD  ， ∴ 此种情况符合题意； ③当CD CB 时，这种情况不存在； 综上所述： 108ACB  或117或84或102．.....13 分 23．（14 分）如图1：在四边形 ABCD中， AB AD ， 120BAD  ， 90B ADC    ， E F， 分别是 BC， CD上的点，且 60EAF  ，探究图中线段 BE ，EF ，FD之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG BE ，连接 AG，先证明 ABE ADG△ ≌△ ，再 证明 AEF AGF ≌ ，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图2，若在四边形 ABCD中， AB AD ， 180B ADF   ，E F， 分别是BC、CD上的点，且 1 2 EAF BAD   ，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形 ABCD中， AB AD ， 180B ADC   ，E F， 分别是边BC、CD延长线上的点，且 1 2 EAF BAD   ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系， 并证明． 【详解】（1）解：如图1，延长FD到点G，使DG BE ，连接 AG，.....1 分 在 ABE 和 ADG△ 中， AB AD B ADG BE DG       ， ∴  SASABE ADG ≌ ，.....2 分 ∴ AE AG ， BAE DAG  ， BAE DAF DAG DAF     ， 即 GAF BAE DAF     ， ∵ 120BAD  ， 60EAF  ， ∴ 120 60 60BAE DAF      ， ∴ 60GAF  ∠ ， ∴ GAF EAF  ， 在 AGF 和 AEF△ 中， AF AF GAF EAF AG AE       ， ∴  SASAGF AEF ≌ ，.....3 分 ∴ FG EF ， ∵ FG DF DG  ， ∴ EF BE FD  ，.....4 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 故答案为：EF BE FD  ； （2）解：（1）中的结论EF BE FD  仍然成立．.....5 分 证明：如图2中，延长CB至M ，使 BM DF ，连接 AM ，.....6 分 ∵ 180ABC D   ， 1 180ABC   ， ∴ 1 D   ， 在 ABM 与 ADF△ 中， 1 AB AD D BM DF       ， ∴  SASABM ADF ≌ ，.....7 分 ∴ AF AM ， 2 3  ， ∵ 1 2 EAF BAD   ， ∴ 1 2 4 2 BAD EAF      ， ∴ 3 4 EAF    ， 即 MAE EAF   ， 在 AME△ 与 AFE△ 中， AM AF MAE EAF AE AE       ， ∴  SASAME AFE ≌ ，.....8 分 ∴ EF ME ， ∵ EF BE BM  ， ∴ EF BE DF  .....9 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 （3）解：结论EF BE FD  不成立，结论：EF BE FD  ．.....10 分 证明：如图3中，在 BE 上截取BG，使BG DF ，连接 AG，.....11 分 ∵ 180B ADC   ， 180ADF ADC   ， ∴ B ADF  ， 在 ABG 与 ADF△ 中， AB AD ABG ADF BG DF       ， ∴  SASABG ADF ≌ ，.....12 分 ∴ BAG DAF  ， AG AF ， ∴ 1 2 BAG EAD DAF EAD EAF BAD       ， ∴ GAE EAF   ， ∴ AE AE ， ∴  SASAEG AEF ≌ ，.....13 分 ∴ EG EF ， ∵ EG BE BG  ， ∴ EF BE FD  ．.....14 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7 分） 18．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9 分） 20．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学上学期期末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八上全部。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，5，9 D．4，5，6 3．已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点坐标为（　　） A． B． C． D． 7．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，．添加下列的一个选项后．不能证明的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，，是的角平分线，，交于点O，，，以下错误的是（   ） A． B． C． D．若的周长为m，，则 10．如图，已知和均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上；与交于点O，与交于点N，与交于点M，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 2、 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式： ． 12．某种流感病毒直径大约是0.000012厘米，该数据用科学记数法可表示为 厘米． 13．如图，已知直线，的顶点在直线上，，，若，则的度数是 ．    14．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 15．如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， °． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1 17．（7分）如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转后得到． 求的度数； 18．（7分）如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 19．（9分）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在y轴上存在一点P，使得周长最小，请直接写出周长的最小值． 20．（9分）某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． (1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)学校要一次性购买足球和篮球共200个，但要求总费用不超过15500元，学校最多可购买多少个篮球？ 21．（9分）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 22．（13分）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； 【概念应用】 （3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 23．（14分）如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期期末测试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八上全部。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．下列图形是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，5，9 D．4，5，6 3．已知一个多边形的内角和为1080，则这个多边形为（ ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 4．下列计算正确的是（ ） A．2 3 5a b ab  B．    2 2a b a b a b    C． 22 3 6a b ab D．  23 5a a 5．根据分式的基本性质，分式 a a b   可变形为（ ） A． a a b  B． a a b C． a a b   D． a a b   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．如图，在平面直角坐标系中， ABC 为等腰直角三角形， 90ACB AC BC   ， ．点  0, 1B  ，点  1,1C ．则 点A 坐标为（ ） A．  1,3 B．  1.5,3 C．  1.5, 2 D．  1,2 7．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一 部分师生骑自行车先走，过了20min 后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车 速度的 3 倍，设骑车的速度为 km / hx ，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． 10 1 10 3 3x x   B． 10 10 1 3 3x x   C． 10 10 20 3x x   D． 10 10 20 3x x   8．如图， AE DF∥ ， AE DF ．添加下列的一个选项后．不能证明 ACE DBF ≌ 的是（ ） A． E F   B．EC BF C． EC BF D． AB CD 9．如图，AE，BD是 ABC 的角平分线，AE，BD交于点 O，OF AB ， 60C  ，以下错误的是（ ） A． 120AOB   B． AD BE AB  C． AOB AOD BOES S S △ △ △ D．若 ABC 的周长为 m，OF n ，则 ABCS mn 10．如图，已知 ABC 和 CDE 均是等边三角形，点 B、C、D在同一条直线上；BE 与 AD交于点 O，AD与 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 CE交于点 N，AC与 BE 交于点M，连接OC、MN，则下列结论：① AD BE ；②ME BM ；③MN BD∥ ； ④ BOC DOC  ；⑤OB AO OC  ，其中正确的结论个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分。 11．分解因式： 2 4amn am  ． 12．某种流感病毒直径大约是 0.000012 厘米，该数据用科学记数法可表示为 厘米． 13．如图，已知直线a b∥ ，Rt ABC△ 的顶点A 在直线a上， 90C  ， 55BAC  ，若 2 35  ，则 1 的度数是 ． 14．如图，在 ABC 中， 90B  ， 6AB BC  ，将 ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到 ADE ，则点D到 BC的距离是 ． 15．如图，在四边形 ABCD中， 90B D    ， 55C  ，M，N分别是边BC，CD上的动点，当 AMN 的 周长最小时， MAN  °． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 三、解答题：本大题共 8小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7 分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0+ 3 27 +（﹣ 1 3 ） ﹣1 17．（7 分）如图，在等腰直角三角形 ABC中， , 90BA BC ABC   ，点 D 在 AC上，将 ABD 绕点 B 顺时针旋转90°后得到 CBE ． 求 DCE 的度数； 18．（7 分）如图， AC AD ，线段 AB经过线段CD的中点 E，求证：BC BD ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 19．（9 分）如图，平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点的坐标分别为  3,4A  ，  4,1B  ，  1,2C  ． (1)在图中作出 ABC 关于 x轴的对称图形 1 1 1A BC△ ； (2)求 ABC 的面积； (3)在 y轴上存在一点 P，使得 PAC 周长最小，请直接写出 PAC 周长的最小值． 20．（9 分）某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个足球的价格都相同，每个篮球 的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的 2 倍少 30 元，用 1200 元购买足球的数量是用 900 元购买 篮球数量的 2 倍． (1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)学校要一次性购买足球和篮球共 200 个，但要求总费用不超过 15500 元，学校最多可购买多少个篮球？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 21．（9 分）图 1 是一个长为2a、宽为 2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图 2 的 形状拼成一个正方形． (1)观察图 2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式 2a b ,  2a b ，ab之间的等量关系为________； (2)运用得到的公式，计算：若 m、n为实数，且 5 4mn m n  ， ，求m n 的值． (3)如图 3 所示，两正方形 ABCD和正方形DEFG边长分别为 a、b，且 5 5a b ab  ， ，求图中阴影部分的 面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 22．（13 分）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个 三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似 三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】 （1）如图 1，在 ABC 中， 36A AB AC   ， ，CD平分 ACB ，则 CBD△ 与 ABC （填“是”或“不是”） 互为“类似三角形”． （2）如图 2，在 ABC 中，CD平分 ACB ， 36A  ， 48B  ．求证：CD为 ABC 的完美分割线； 【概念应用】 （3）在 ABC 中， 54A  ，CD是 ABC 的完美分割线，直接写出 ACB 的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 23．（14 分）如图1：在四边形 ABCD中， AB AD ， 120BAD  ， 90B ADC    ， E F， 分别是 BC， CD上的点，且 60EAF  ，探究图中线段 BE ，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG BE ，连接 AG，先证明 ABE ADG△ ≌△ ，再 证明 AEF AGF ≌ ，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图2，若在四边形 ABCD中， AB AD ， 180B ADF   ，E F， 分别是BC、CD上的点，且 1 2 EAF BAD   ，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形 ABCD中， AB AD ， 180B ADC   ，E F， 分别是边BC、CD延长线上的点，且 1 2 EAF BAD   ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系， 并证明．