精品解析：山东省泰安第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

泰安一中2024-2025学年上学期10月份学情检测 高一数学试题卷 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，且，则集合的子集共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 2. 全称命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列每组集合是相等集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 与的大小无法判断 6. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合U，A，B的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知关于的不等式（）的解集为，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为4 D. 若，则的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出“”的一个必要不充分条件为______. 13. 已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是______. 14. 设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知集合，， （1）若，求实数的值： （2）若，求实数的值. 16. 已知全集，集合，，. （1）求和 （2）若，求实数的取值范围. 17. （1）已知，解关于x的不等式； （2）设命题p：，，若p为真命题，求实数a的取值范围. 18. 现要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需要维修)，其他三面围墙需要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用旧墙长度为，总费用为y（单位：元） （1）写出总费用y关于x的表达式； （2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 19. 问题：正数a，b满足，求的最小值. 有一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）正数a，b满足，求的最小值； （2）若正数a，b，x，y满足，求证： （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中2024-2025学年上学期10月份学情检测 高一数学试题卷 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，且，则集合的子集共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】求出全集和集合，进而计算出集合的子集个数. 【详解】由题意得，全集，， ，所以集合的子集共有个. 故选：D 2. 全称命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定即可得解. 【详解】由全称量词命题的否定知“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式后根据充分条件、必要条件求解. 【详解】因为， 且，但推不出， 所以是的充分不必要条件， 故选：A 4. 下列每组集合是相等集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 与的大小无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以，故. 故选：A. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集与方程的根的关系可解的值，进而解不等式. 【详解】由题意得，和是方程的两个根，且； 则，解得，； 因此不等式为，解得； 则不等式的解集为， 故选：A 7. 已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 8. 关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】整理可得，分、和三种情况解不等式，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，即为， 令，解得或，且， 若，不等式的解集为， 由题意可得：； 若，不等式的解集为，不合题意； 若，不等式的解集为， 由题意可得：，解得； 综上所述：实数a的取值范围是或. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合U，A，B的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可. 【详解】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确； 对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合， 阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误； 对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素 构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确； 对于D，由于，所以 ， 与选项A相同，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式性质判断A，取特殊值判断BC，利用作差法判断D. 【详解】由不等式的性质知，，则，故A正确； 当时，，但，故B错误； 当时，，但，故C错误； 因为，， 所以，，所以，即， 故D正确. 故选：AD 11. 已知关于的不等式（）的解集为，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为4 D. 若，则的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的解集判断该函数开口向上，从而判断A选项；又因为方程只有一个解，根据求解的值；再根据均值不等式计算CD即可. 【详解】选项A中，因为关于的不等式（）的解集为， 所以判断二次函数开口向上，即，选项A正确； 选项B中，因为方程只有一个解，得， 解得，选项B错误； 选项C中，因为，且，所以，， 当且仅当，即，时，取到最小值，选项C正确； 选项D中，若，则，， 当且仅当，即时等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出“”的一个必要不充分条件为______. 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】若，则不一定有；若则， 所以是的必要不充分条件，即的一个必要不充分条件是. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过求解来确定实数的取值范围. 【详解】对于二次函数，. 根据题意，令，即得成立， 解得. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由集合新定义以及集合的运算求解即可； 【详解】由题意可得，所以 所以，故， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知集合，， （1）若，求实数的值： （2）若，求实数的值. 【答案】（1）或3 （2）或或 【解析】 【分析】（1）由可求出，并分别验证即可； （2）由题意可知，分和两种情况讨论即可求. 【小问1详解】 ，， ∴或， ∴或2或3. 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不合题意，舍去； 当时，，此时，符合题意. 综上，或3. 【小问2详解】 ，∴， 当时，，符合题意； 当时，， ∴或4，∴或. 综上，或或. 16. 已知全集，集合，，. （1）求和 （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、并集和补集的定义求解即可； （2）根据集合交集的定义和集合间的包含关系，列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为全集，集合，， 所以， 又或， 所以. 【小问2详解】 ①当即时，，满足，所以； ②当即时， 要使，有或，解得或， 又，所以或， 综上的取值范围是. 17. （1）已知，解关于x的不等式； （2）设命题p：，，若p为真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当a＝－1时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的大小关系分类讨论； （2）命题为真，一种方法用分离参数法转化为用基本不等式求最小值，第二种方法转化为求二次函数的最小值不大于0. 【详解】（1）①当时，不等式等价于，无解； ②当时，，则； ③当时，，则； 综上，当a＝－1时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； （2）法1：由已知，存在，满足成立， ，，可等价转化为存在，满足，即成立 记，，当且仅当取等号， ∴时，t的最小值为1，只需，便可满足p为真命题 综上，. 法2： 命题p等价转化为存在，满足成立 记，是开口向上的二次函数，对称轴 ①当，时，代入，恒成立，不合题意； ②当，时，只需，解得． 综上，. 18. 现要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需要维修)，其他三面围墙需要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用旧墙长度为，总费用为y（单位：元） （1）写出总费用y关于x的表达式； （2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】（1） （2）当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元 【解析】 【分析】（1）首先设矩形的另一边长为，根据题意列出关于总费用的函数关系，并利用，进行化简函数，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用基本不等式，即可求函数的最小值. 【小问1详解】 设矩形的另一边长为， 则， 由已知，得所以. 【小问2详解】 当且仅当即时等号成立， ∴当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 19. 问题：正数a，b满足，求的最小值. 有一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）正数a，b满足，求的最小值； （2）若正数a，b，x，y满足，求证： （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】（1）9 （2） 证明：， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且时，等号成立. （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题干中的方法，将与相乘，即可求最值； （2）根据题干中的方法，将与相乘，化简后利用基本不等式即可得证； （3）记，，根据可求的值，再利用可求最值. 【小问1详解】 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1 ∴ 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记， 构造， 由，解得， 因为，所以，，， 所以 取等号时，，解得，即， 所以时，M取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $