专题03 勾股定理（考点串讲，5大考点+7大题型突破+3大技巧突破+2大易错剖析+5道期末预测题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

八年级数学上学期·期末复习大串讲 专题03 勾股定理 苏科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 5大常考点：知识梳理 7大题型典例剖析+3大技巧 2大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目录 考点一 勾股定理 考点二 勾股数 考点三 勾股定理逆定理 考点四 直角三角形的判定 考点五 勾股定理的实际应用 考点一 勾股定理 1．（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）如图，做一个长，宽的长方形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为 ． 2．（2023上·重庆忠县·九年级重庆市忠县忠州中学校校考期中）在中，，是的中线，若，，则长为 ． 3．（2023上·山西太原·八年级统考期中）如图，在中，，，，若的平分线交于点，则的长为 ． 【详解】解：在中，，，， ，如图，作于， 平分，，，， ，， ，， ，故答案为：． 考点二 勾股数 1．（2023上·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）下面各组a、b、c，是勾股数的是 ．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【详解】解：（1），能构成勾股数，故符合题意； （2），能构成勾股数，故符合题意； （3），不能构成勾股数，故不符合题意． （4），，均不是整数，故不符合题意； 故答案为：（1）（2）． 考点三 勾股定理逆定理 1．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）三角形的三边长分别是，可以判断这是 三角形． 直角 2．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长为5、、，则该三角形的面积为 【详解】解：∵，， ∴，∴三角形的直角三角形，直角边是和， ∴三角形的面积是，故答案为：5． 3．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）若，三边长分别是，，，则是 三角形． 直角 考点四 直角三角形的判定 1. （2023上·山东青岛·八年级校考期中）若的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，a，b，c分别是的对边，在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 考点五 勾股定理的实际应用 1．若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯． （1）求地毯的长是多少米？ （2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？ 【详解】（1）， ， ， ∴地毯的长为7m； （2）地毯的面积为， ∴铺这个楼梯所需的花费为（元）． 2．如图，有两棵树，大树AC高为10米，小树BD高为5米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，求小鸟飞行的最短路程． 【详解】解：如图，过B点作于点E，则四边形EBDC是长方形，连接AB． ∵米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为13米． 考点五 勾股定理的实际应用 3．如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【详解】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行， ∴∠CAB＝90°， 在Rt△ABC中，∠CAB＝90°， ∵AC＝16×3＝48，BC＝60， ∴AB36， ∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时， 答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时． 考点五 勾股定理的实际应用 4．（21-22八年级·全国·假期作业）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，连接B交EC于F，则B即为最短距离． ∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处， ∴D＝50cm，BD＝120cm， ∴在直角△DB中，B＝＝130（cm）． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm． 考点五 勾股定理的实际应用 5．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 【详解】解：米，米，米， ， ， ， （米）， （米）． 题型剖析 题型一：利用等面积法求高 1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）若直角三角形两条直角边的长分别为3和6，则该直角三角形斜边上的高为 ． 【详解】解：由勾股定理该三角形的斜边为 设斜边上高为h，由面积法 ∴，故答案为：． 2．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，的面积是 ，点A到BC边的距离为 ． 【详解】解：根据题意可得： ， 根据勾股定理可得：， 设点A到边的距离为h，， 则，解得：， 故答案为：，． 题型剖析 题型二：勾股定理与无理数 1．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 【详解】（1）解：由题意，，，， 在中，， ∴， ∴点C表示的数为， 故答案为：； 题型剖析 题型二：勾股定理与无理数 1．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． （2）解：竹竿长x尺， 由题意，竹竿，门高 尺，门宽尺， 在中， ∴， ∴， 解得， 答：竹竿长10尺． 题型剖析 题型三：已知两点坐标求两点距离 1．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 ． 题型剖析 题型四：以直角三角形三边围成的图形面积 1．（2023上·江苏淮安·八年级统考期中）如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，．若，，则 ． 2 2．（2023上·辽宁本溪·八年级统考期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为 ． 【详解】解：设正方形，，，的边长分别为，，，，中间正方形的边长为 ∴，，，，， 根据所有三角形都是直角三角形， ∴，则，即， ∵， ∴，即正方形的面积为， 故答案为：． 题型剖析 题型五：勾股定理与折叠问题 1．（2023上·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是 ． 【详解】解：由折叠的性质可得 ， ∵，∴， ∴，∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得，∴， 故答案为：． 题型剖析 题型五：勾股定理与折叠问题 2．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）如图，长方形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在对角线上，则的长为 ． 【详解】解：在中，， ， ∵把沿折叠，使点B落在对角线上， ，，， ， 设，则，， 在中，， ，解得， ．故答案为：3． 题型剖析 题型六：利用勾股定理证明线段的平方关系 1．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 题型剖析 题型六：利用勾股定理证明线段的平方关系 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 题型剖析 题型七：利用勾股定理逆定理求解 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图所示，在中，，，，．求： (1)的长； (2)点到的距离． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ， ； （2）过点D作垂足为， 则为点到的距离， ， ， 解得：， 点到的距离为． 题型剖析 题型七：利用勾股定理逆定理求解 1．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，． (1)求的度数； (2)求出四边形的面积． （2）解：由（1）得 ． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 技巧突破 技巧一：勾股定理与网格问题 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ． 【详解】解：如图， 由图可知： ，， ∴， 由图可知： ∴， ∴， ∴， 故答案为： 技巧突破 技巧一：勾股定理与网格问题 2．（23-24八年级·江苏·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均在格点上，线段与竖直网格线相交于点D，则线段的长为 ． 【详解】解：如图， 在和中，， ∴，∴， ∵，∴， 在中，根据勾股定理得： ， 故答案为：． 技巧突破 技巧二：用勾股定理构造图形解决问题 解题方法：勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一，若图中没有含特征线段的直角三角形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形. 1．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面高度为米（米），当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米（米）的学生走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为（  ）  A．3米 B．2米 C．米 D．米 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，学生头顶离感应器的距离为， 故选：B． 技巧突破 技巧二：用勾股定理构造图形解决问题 解题方法：勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一，若图中没有含特征线段的直角三角形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形. 2．（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为 ． 【详解】解：连接，，如图所示，为最长边 由题意可知， 在中，，， 那么 故答案为：13． 技巧突破 技巧三：网格中判断直角三角形 解题方法：根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 1．（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 2．（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则（　　） A． B． C． D． 技巧突破 技巧三：网格中判断直角三角形 解题方法：根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 3．（2021上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（    ） A．的面积为10 B． C． D．点到直线的距离是2 【详解】解：，，， ， ，故B、C正确，不符合题意； ，故A错误，符合题意； 设点到直线的距离是， ，，， 点到直线的距离是2，故D正确，不符合题意；故选：A． 易混易错 类型一：已知直角三角形的两边求第三边 分类讨论思路：在运用勾股定理时，当斜边或直角未定时，需要分类讨论.在解决有关高线的问题中，当三角形的形状未定时，需要注意分类讨论，一般分为锐角三角形（高在三角形内部）和钝角三角形（高在三角形外部）两种情况，分别画图计算即可.在一些几何综合探究题和存在性问题中也经常需要应用分类讨论思路. 1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为 ( ) A．4 B．4或34 C．16或34 D．4或 解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x==4； ②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x==． 故选D． 易混易错 类型二：机械应用勾股定理逆定理求解而出错 1. 在解答“判断由长为 的三条线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的，你认为小明的解答正确吗？请说明理由． 解：设， ∴ 这三条线段组成的三角形不是直角三角形． 【详解】解：小明的做法不正确， 理由：设， ∴，， ∴． ∴这三条线段组成的三角形是直角三角形． 押题预测 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为，为的中点，是对角线上一动点，连接、，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是 ． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴ ∵点和关于对称， 当与重合时，的最小值即为的长， 在中，根据勾股定理，得 ． 的最小值为 故答案为． 押题预测 2．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 押题预测 3．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，在正方形的边上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形的边长为，那么第个正方形的面积为 ． 【详解】可以发现，第一个正方形的边长为， 第个正方形的边长为 ， 第个正方形的边长为 第个正方形的边长为 ， ∴第个正方形的面积 ， 故答案为：． 押题预测 4．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了提高同学们的数学核心素养，2024年春季学期昭通市某学校组织了一次研学活动，要求同学们合作搭建帐篷．如图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点A支撑在水平的支架上，一根支架于点B，另一根支架的端点C在线段上，且．经测量，，求的长． 【详解】解：设，则，， ， ， 在中，， ，解得． ∴的长为． 押题预测 5．（23-24八年级下·云南红河·期末）水利是农业的命脉，开远民间历来重视兴修水利，坝区明代即已筑堰修渠，开通东沟、西沟，引泸江、南洞水灌溉农田，经历代不断修拓完善，成为城郊灌溉干渠．这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血，历经岁月磨砺、时光雕琢，成为最美的风景，在开远东沟的一侧有一个花卉基地，基地到东沟原有两个取水点，其中，为方便花卉基地取水，决定在东沟新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否为从花卉基地到东沟最近的路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原来的路少多少米． 【详解】（1）解：∵，，， ， ， ∴为直角三角形， ， ∴是从花卉基地到东沟最近的路； （2）设，则． ，， ∴，即，解得：． ， ，， 即新路比原来的路少米． $$